1、第2讲 等差数列及其前n项和 基础题组练1(一题多解)(2019高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知S40，a55，则()Aan2n5Ban3n10CSn2n28n DSnn22n解析：选A.法一：设等差数列an的公差为d，因为所以解得所以ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1dn24n.故选A.法二：设等差数列an的公差为d，因为所以解得选项A，a12153；选项B，a131107，排除B；选项C，S1286，排除C；选项D，S12，排除D.故选A.2(一题多解)(2020沈阳质量监测)在等差数列an中，若Sn为前n项和，2a7a85，则S11的值是()A55 B11C
2、50 D60解析：选A.通解：设等差数列an的公差为d，由题意可得2(a16d)a17d5，得a15d5，则S1111a1d11(a15d)11555，故选A.优解：设等差数列an的公差为d，由2a7a85，得2(a6d)a62d5，得a65，所以S1111a655，故选A.3(一题多解)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2C4 D8解析：选C.法一：等差数列an中，S648，则a1a616a2a5，又a4a524，所以a4a22d24168，得d4，故选C.法二：由已知条件和等差数列的通项公式与前n项和公式可列方程组，得即解得故选C.4(202
3、0焦作市统一模拟考试)九章算术是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为()A.升 B升C.升 D升解析：选A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，a9，依题意有，因为a2a3a1a4，a7a92a8，故a2a3a8.选A.5设等差数列an的前n项和为Sn，若am4，Sm0，Sm214(m2，且mN+)，则a2 017的值为()A2 018 B4 028C5 037 D3 019
4、解析：选B.由题意得解得所以an4(n1)22n6，所以a2 01722 01764 028.故选B.6设等差数列an的前n项和为Sn，若a62a3，则_解析：.答案：7在等差数列an中，公差d，前100项的和S10045，则a1a3a5a99_解析：因为S100(a1a100)45，所以a1a100，a1a99a1a100d，则a1a3a5a99(a1a99)10.答案：108在单调递增的等差数列an中，若a31，a2a4，则a1_解析：由题知，a2a42a32，又因为a2a4，数列an递增，所以a2，a4.所以公差d.所以a1a2d0.答案：09已知等差数列an的前三项的和为9，前三项的积
5、为15.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若an为递增数列，求数列|an|的前n项和Sn.解：(1)设公差为d，则依题意得a23，则a13d，a33d，所以(3d)(3)(3d)15，得d24，d2，所以an2n1或an2n7.(2)由题意得an2n7，所以|an|，n3时，Sn(a1a2an)n6nn2；n4时，Sna1a2a3a4an2(a1a2a3)(a1a2an)186nn2.综上，数列|an|的前n项和Sn.10已知等差数列an的公差d0.设an的前n项和为Sn，a11，S2S336.(1)求d及Sn；(2)求m，k(m，kN+)的值，使得amam1am2amk65.解：(1)由
6、题意知(2a1d)(3a13d)36，将a11代入上式解得d2或d5.因为d0，所以d2.从而an2n1，Snn2(nN+)(2)由(1)得amam1am2amk(2mk1)(k1)，所以(2mk1)(k1)65.由m，kN*知2mk1k11，故解得即所求m的值为5，k的值为4.综合题组练1等差数列an中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为()A1 BC. D解析：选B.，若a1d，则；若a10，d0，则1.因为a1d0，所以0，所以该常数的可能值的集合为.2(2020晋冀鲁豫名校期末联考)我国南北朝时期的著作张邱建算经有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三
7、人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两人所得金相差数额绝对值的最小值是()A.斤 B斤C.斤 D斤解析：选C.设第n个人得金an斤，由题意可知an是等差数列，设公差为d，则有解得则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤故选C.3若数列an是正项数列，且n2n，则a1_解析：当n1时，2a14，又n2n，所以当n2时，(n1)2(n1)n2n，得2n，即an4n2，所以4n，所以a12n22n.答案：2n22n4若an是等差数列，首项a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170
8、成立的最大正整数n_解析：因为a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170，所以d0，a2 0170，S4 0334 033a2 0170成立的最大正整数n是4 032.答案：4 0325(2020湖北仙桃、天门、潜江模拟)已知数列an满足a12，(n2)an(n1)an12(n23n2)，设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等差数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解：(1)因为数列an满足(n2)an(n1)an12(n23n2)，所以将n1代入得3a12a212.又a12，所以a29.将n2代入得4a23a324，所以a320.从而b11，b23
9、，b35.(2)数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列理由如下：将(n2)an(n1)an12(n23n2)两边同时除以(n1)(n2)可得，化简可得2，即bn1bn2，所以数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列(3)由(2)可得bn12(n1)2n1，所以an(n1)bn(n1)(2n1)2n2n1.6(2020安徽蚌阜模拟)在数列an，bn中，设Sn是数列an的前n项和，已知a11，an1an2，3b15b2(2n1)bn2nan1，nN*.(1)求an和Sn；(2)当nk时，bn8Sn恒成立，求整数k的最小值解：(1)因为an1an2，所以an1an2，所以an是等差数列又a11，所以an2n1，从而Snn2.(2)因为an2n1，所以3b15b27b3(2n1)bn2n(2n1)1，当n2时，3b15b27b3(2n1)bn12n1(2n3)1.可得(2n1)bn2n1(2n1)(n2)，即bn2n1.而b11也满足上式，故bn2n1.令bn8Sn，则2n18n2，即2n4n2.又2104112，结合指数函数增长的性质，可知整数k的最小值是11.
