1、匀变速直线运动章末知识梳理【学习目标】1、正确理解描述质点运动的物理量，即位移和路程、速度（平均速度和瞬时速度）和加速度。2、熟练掌握匀变速直线运动的特点、规律及自由落体运动的规律，并能在实际问题中加以运用。3、正确理解并熟练掌握匀速直线运动和匀变速直线运动的x-t图象、v-t图象的物理意义。【知识网络】【要点梳理】要点一、质点的概念要点诠释：1、定义用来代替物体的有质量的点称为质点。2、说明质点是一个理想化的模型，是对实际物体科学的抽象，真正的质点是不存在的。在实际所研究的问题中，如果物体的形状和大小对所研究运动的影响可以忽略不计时，可将物体视为质点。一个物体能否被看成质点，与物体的大小无关
2、。要点二、几个基本概念的区分要点诠释：物理量概念或物理意义标、矢量对应运动量区别与联系时间和时刻时刻一瞬间标量状态量时刻在时间轴上表示轴上一点， 通常说法有：第几秒末、第几秒初、第几秒时时间是两个时刻间的间隔，在时间表示轴上一段，通常说法有：前（头）几秒内，后几秒内、第几秒内时间一段时间，两时刻间隔标量过程量位移和路程位移表示质点的位置变化的物理量矢量方向：由初位置指向末位置过程量与时间相对应位移是矢量，是由初位置指向末位置的有向线段； 路程是质点运动所通过的实际轨迹的长度。一般情况下，路程不等于位移的大小，只有在单向直线运动中，路程才等于位移的大小路程质点运动轨迹的长度标量过程量与时间相对应
3、速度瞬时速度运动物体在某一时刻（或某一位置）的速度矢量方向：物体的运动方向状态量与时刻相对应平均速度是指质点通过的总位移与所用时间的比值，是矢量，方向与位移的方向相同；表示运动物体在某一段时间内的平均快慢程度，只能粗略地描述物体的运动。做变速运动的物体，不同时间（或不同位移）内的平均速度一般是不同的，因此，平均速度必须指明是对哪段时间（或哪段位移）而言的。瞬时速度可以精确地描述物体的运动，在公式中，如果时间t非常短，接近于零，表示的是某一瞬时，这时的速度称为瞬时速度。平均速率是指质点通过的总路程与所用时间的比值，是标量。平均速度物体的位移与发生这段位移所用时间的比值，矢量方向：与物体位移方向相
4、同。过程量与时间相对应平均速率质点通过的总路程与所用时间的比值标量过程量与时间相对应要点三、加速度的物理意义要点诠释：1、定义物体速度的变化与完成这一变化所用时间的比值，叫做物体的加速度，用a来表示，即,式中表示速度的变化量，表示开始时刻的速度（初速度），表示经过一段时间t后末了时刻的速度（末速度）2、物理意义加速度是表示速度变化快慢的物理量。3、单位在国际单位制中，加速度的单位是，读作米每二次方秒。4、矢量加速度是矢量，它的方向同速度变化的方向。5、速度、速度的变化、加速度的区别与联系物理量公式物理意义区别与联系速度也称为“位置变化率”，描述物体运动快慢的物理量，是运动状态量，对应于某一时刻
5、（或某一位置）的运动快慢和方向。加速度a与速度无直接联系，与也无直接联系，大，a不一定大；大，a也不一定大。速度的变化描述速度改变的物理量，是运动过程量，对应于某一段时间（或发生某一段位移），若取为正，则表示速度增加，表示速度减小，表示速度不变。加速度也称为“速度变化率”，表示在单位时间内的速度变化量，反映了速度变化的快慢及方向。要点四、匀变速直线运动及其规律要点诠释：1匀变速直线运动定义：在任意相等的时间内，速度的变化都相等的直线运动。特点：a恒定不变对于做匀变速运动的质点，当质点的加速度与速度方向相同时，表示质点做加速运动；当质点的加速度与速度方向相反时，表示质点做减速运动。2匀变速直线运
6、动的规律(1)基本规律 速度公式 位移公式 说明：a、以上四式只适用于匀变速直线运动；b、式中 、 、和均为矢量，应用时要规定正方向，凡是与正方向相同者取正值，相反者取负值（通常将的方向规定为正方向），所求矢量为正值表示与正方向相同，为负者表示与正方向相反。(2)一些有用的推论a做匀变速直线运动的物体，在任何两个连续相等的时间内的位移的差是一个恒量：b做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度，等于该段时间的中间时刻的瞬时速度 ： c做匀变速直线运动的物体，在某段位移中点的瞬时速度 d初速度为零的匀变速直线运动前1秒、前2秒、前3秒内的位移之比为149第1秒、第2秒、第3秒内的位移之比为1
7、35前1米、前2米、前3米所用的时间之比为第1米、第2米、第3米所用的时间之比为要点五、自由落体运动及其规律要点诠释：、自由落体运动（1）定义：物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动（2）特点：初速度v0=0，加速度a=g 的匀加速直线运动、自由落体的运动规律（说明：只需将v0=0,a=g代入匀变速直线运动的公式中即可）（1）基本规律 速度公式： 位移公式：（2）自由落体运动的有关推论： 中间时刻的瞬时速度 连续相等时间间隔内的位移之差是 前1秒、前2秒、前3秒内的位移之比为149 第1秒、第2秒、第3秒内的位移之比为135 前1米、前2米、前3米所用的时间之比为 第1米、第2米、第3米所用
8、的时间之比为要点六、质点运动规律的图象描述要点诠释：用图象表述物理规律是物理学中常用的一种处理方法，图象具有简明、直观等特点对于物理图象需要从图象上的轴、点、线、面、斜率、截距等方面来理解它的物理意义，因为不同的物理函数图象中，这几方面所对应的物理意义不同。1、位移时间图象（x-t图象）（1）物理意义：表示质点位移随时间变化的关系图象注意：位移图象不是质点运动轨迹。（2）从图象可获得的信息a位移与时刻的对应关系；图象与位移轴的交点表示物体的初位移，两条图象的交点表示两质点相遇。b图象的斜率表示速度的大小和方向（斜率的正负表示速度的方向）。c判断物体的运动性质：图象与时间轴平行表示物体静止；若位
9、移图象是倾斜的直线，表示物体做匀速直线运动；若位移图象是曲线，表示物体做变速运动。2、速度时间图象（v-t图象）（1）物理意义：反映质点速度随时间变化的关系图象。（2）从图象可获得的信息a瞬时速度与时刻的对应关系；图象与v轴的交点表示初速度，两条图象交点表示速度相等；根据速度的正负判断运动的方向，速度为正，表示物体沿正方向运动；速度为负，表示物体沿负方向运动。注意：v-t图象相交的点不是质点相遇的点（只有从同一地点出发，且“面积”代数累计相等时，质点才会相遇）。b判断物体运动的性质：在v-t图象中，平行于时间轴的直线表示匀速直线运动；和时间轴重合的直线表示静止；倾斜的直线表示匀变速直线运动；曲
10、线表示变加速直线运动。c速度图象的斜率表示加速度的大小和方向（斜率的正负表示加速度的方向） d速度图象和时间轴所围成的面积表示位移的大小，且t轴上方取正值，t轴下方取负值，总位移为其代数和。要点七、用打点计时器测速度和加速度要点诠释：1、用打点计时器测速度打点计时器是记录运动物体在一定时间间隔内位移的仪器。电磁打点计时器的工作电压为交流46V，电火花计时器的工作电压为交流220V，当电源频率为50Hz时，它们每隔0.02s打一个点。在纸带上打点后，用即可求得包含测量点在内的两点间的平均速度。若两点离得较近，便可将此平均速度作为该测量点的瞬时速度。2、用打点计时器测加速度（1）判定被测物体的运动
11、是否为匀变速直线运动的方法：可以计算出相邻相等时间内的位移差x2-x1、x3-x2、x4-x3、如果它们在允许的误差范围内位移差相等，则可以判定被测物体的运动是匀变速直线运动.（2）求瞬时速度v的方法： 若纸带做匀变速直线运动，可利用平均速度公式求解。如：（3）求加速度a的方法利用任意两段相邻记数点间的位移差求解。 “逐差法”求解。如从纸带上得到6个相邻相等时间内的位移，则利用v-t图线求a：求出A、B、C、D、E、F各点的即时速度,画出v-t图线(如图所示),图线的斜率就是加速度a。（4）注意事项 实验中应先根据测量和计算得出的各x判断纸带是否做匀变速直线运动，根据估算，如果各x差值在5%以
12、内，可认为它们是相等的，纸带做匀变速直线运动。每打好一条纸带，将定位轴上的复写纸换个位置，以保证打点清晰，同时注意纸带打完后及时断开电源。 应区别计时器打出的点与人为选取的计数点，不可混淆。 不要分段测量各段位移，应一次测量完毕(可先统一量出到点O之间的距离)，读数时应估读到毫米下一位。【典型例题】类型一、位移和路程的区别和联系例1、一个电子在匀强磁场中沿半径为R的圆周运动。转了3圈回到原位置，运动过程中位移大小的最大值和路程的最大值分别是（ ）A2R，2R； B2R，6R；C2R，2R；D0，6R。【思路点拨】注意本题强调的是最大值。【答案】B【解析】位移的最大值应是2R，而路程的最大值应是
13、6R。即B选项正确。【点评】位移是表示质点位置变化的物理量，它是由质点运动的起始位置指向终止位置的矢量。而路程是质点运动路线的长度，是标量。只有做直线运动的质点始终朝着一个方向运动时，位移的大小才与运动路程相等。举一反三【变式】已知物体t时刻的末位置Q,要完全确定该物体在t=0时的初位置P,还必须知道（ ）A位移 B路程C平均速率 D平均速度【答案】A【解析】从t=0时刻的初位置P经过t时间运动到末位置Q,全过程位移是唯一确定的,即从P到Q的有向线段.故若已知末位置Q,只有知道位移才能够确定物体在t=0时刻的初位置P.类型二、瞬时速度和平均速度的区别和联系例2、甲、乙两辆汽车沿平直公路从某地同
14、时驶向同一目标，甲车在前一半时间内以速度V1做匀速直线运动，后一半时间内以速度V2做匀速直线运动；乙车在前一半路程中以速度V1做匀速直线运动，后一半路程中以速度V2做匀速直线运动，则（ ）A甲先到达 B.乙先到达 C.甲、乙同时到达D.不能确定【思路点拨】根据平均速度的定义列出时间t的表达式即可。【答案】A【解析】设甲、乙车从某地到目的地距离为x， 则对甲车有： 对于乙车有： 所以 由数学知识知，故【点评】瞬时速度是运动物体在某一时刻或某一位置的速度，而平均速度是指运动物体在某一段时间或某段位移的平均速度，它们都是矢量。当时，平均速度的极限，就是该时刻的瞬时速度。同时要注意数学不等式的应用。类
15、型三、速度、速度的变化和加速度的区别和联系例3、下列所描述的运动中，可能的有（ ）A速度变化大，加速度很小 B速度变化方向为正，加速度方向为负C速度越来越大，而加速度越来越小 D速度变化越来越大，而加速度越来越小【思路点拨】速度与加速度没有必然联系；速度变化越快，加速度越大。【答案】ACD【解析】加速度的概念：加速度是描述速度变化快慢的物理量（），加速度的方向始终与速度变化的方向一致，因此B是错误的；质点是否做加速直线运动不是由加速度大小和如何变化决定的，而是由加速度方向与速度方向共同决定的。当加速度方向与质点运动方向一致时，不论加速度大小如何变化，质点的速度都将是越来越大因此，A、C、D都是
16、正确的【点评】加速度是描述速度变化的快慢和方向的物理量，是速度的变化和所用时间的比值，加速度的大小和方向与速度的大小和方向没有必然的联系。只要速度在变化，无论速度多小，都有加速度；只要速度不变化，无论速度多大，加速度总是零；只要速度变化快，无论速度是大、是小或是零，物体的加速度就大。加速度的与速度的变化也无直接关系。物体有了加速度，经过一段时间速度有一定的变化，因此速度的变化是一个过程量，加速度大，速度的变化不一定大；反过来，大，加速度也不一定大。举一反三【变式】有下列几种情景,请根据所学知识选择对情景的分析和判断正确的说法（ ）点火后即将升空的火箭高速公路上沿直线高速行驶的轿车为避免事故紧急
17、刹车运动的磁悬浮列车在轨道上高速行驶太空的空间站在绕地球做匀速转动A因火箭还没运动,所以加速度一定为零B轿车紧急刹车,速度变化很快,所以加速度很大C高速行驶的磁悬浮列车,因速度很大,所以加速度很大D尽管空间站匀速转动,加速度也不为零【答案】BD【解析】判断加速度是否存在的依据是看合外力是否为零或看速度变化的快慢,而不是看速度大小,所以选项B正确.一个物体运动速度大,但速度不发生变化,如匀速直线运动,它的加速度为零,所以选项C错误.曲线运动的速度方向发生了变化,速度就发生了变化,所以一定有加速度,选项D正确.点火后虽然火箭速度为零,但由于合外力很大而具有很大的加速度,所以选项A错误.类型四、应用
18、“运动图象”解决质点运动问题例4、一物体自t=0时开始做直线运动，其速度图线如图所示。下列选项正确的是（ ）A在内，物体离出发点最远为30mB在内，物体经过的路程为40mC在内，物体的平均速率为7.5m/sD在内，物体的位移为50m【思路点拨】速度图线中，速度可以直接从纵坐标轴上读出，其正、负就表示速度方向，位移为速度图线下的“面积”，在坐标轴下方的“面积”为负.【答案】【解析】速度图线中，速度可以直接从纵坐标轴上读出，其正、负就表示速度方向，位移为速度图线下的“面积”，在坐标轴下方的“面积”为负。对A， ,物体向正向运动，向负向运动，故5s末离出发点最远，A错 对B，由面积法求出的位移s1=
19、35m, 的位移s2=-5m,总路程为40m,B对对C，由面积法求出的位移s=30m，平度速度为：=s/t=7.5m/s，C对，D错【点评】运动图象包括速度图象和位移图象，要能通过坐标轴及图象的形状识别各种图象，知道它们分别代表何种运动，注意速度图象和位移图象斜率的物理意义不同，x-t图象的斜率为速度，而v-t图象的斜率为加速度，图线和t轴所围的面积表示物体的位移。举一反三【变式1】龟兔赛跑的故事流传至今，按照龟兔赛跑的故事情节，兔子和乌龟的位移图象如图所示，下列关于兔子和乌龟的运动正确的是（ ）A兔子和乌龟是同时从同一地点出发的B乌龟一直做匀加速运动，兔子先加速后匀速再加速C骄傲的兔子在T4
20、时刻发现落后奋力追赶，但由于速度比乌龟的速度小，还是让乌龟先到达预定位移S3D在0T5时间内，乌龟的平均速度比兔子的平均速度大 【答案】D【解析】从图中看出，0T1这段时间内，兔子没有运动，而乌龟在做匀速运动，所以A选项错；乌龟一直做匀速运动，兔子先静止后匀速再静止，所以B选项错；在T4时刻以后，兔子的速度比乌龟的速度大，所以C选项错；在0T5时间内，乌龟位移比兔子的位移大，所以乌龟的平均速度比兔子的平均速度大，即D选项正确。【变式2】一质点从A点开始运动,沿直线运动到B点停止,在运动过程中,物体能以a1=6.4 m/s2的加速度加速,也能以a2=1.6 m/s2的加速度减速,也可以做匀速直线
21、运动.若AB间的距离为1.6 km,质点应该怎样运动,才能使它的运动时间最短,最短时间为多少?【答案】先匀加速运动,再匀减速运动 50 s【解析】根据题意,质点运动方式可能有:先做一段时间的匀加速运动,中间经历一段时间的匀速直线运动,最后做匀减速运动至B点速度正好为零.中间不经历匀速运动,先匀加速一段时间,后做匀减速运动停在B点.分别作出两种运动的v-t图象,考虑到位置相等(两斜线部分的面积应相等).从图中容易看出第二种运动方式时间最短.由图中可看出t1t2两段时间内的平均速度为,则又因为:有:和v0=.所以:t=50 s故应先匀加速运动,再匀减速运动;最短时间为50 s.类型五、应用匀变速直
22、线运动的规律解决问题例5、一质点做匀变速直线运动，从A至B用了5s，其中前三秒的位移为18m，后三秒的位移为24m，求质点通过A点和B点的瞬时速度及质点在每一秒内的位移。【思路点拨】画出运动示意图，根据运动学公式即可求出。【答案】 5m 6m 7m 8m 9m【解析】在求解运动问题时应根据题意画出运动的示意图。 利用所给的条件，可以很容易地求出前三秒的平均速度为6m/s，即为前三秒的中间时刻vC的瞬时速度，。后三秒的平均速度为8m/s，为后三秒的中间时刻vD的瞬时速度 由题意可知自C至D所用时间为2s，速度变化。质点的加速度由AC，历时1.5s，速度应增加1.5m/s，故 由DB，历时也为1.
23、5s，速度也增加1.5m/s，故质点在第一秒内的位移 又。第二秒位移为6m，第三秒位移为7m，第四秒位移为8m，第五秒位移为9m。【点评】做匀变速直线运动的物体在整个运动过程中的加速度始终保持不变，不仅加速度的大小不变，而且方向也不变。我们在学习过程中要把握住匀变速直线运动的特点，利用规律处理实际问题。在处理问题中，要注意一题多解，例如本题由于应用了匀变直线运动的平均速度等于中间时刻的瞬时速度这一关系，大大简化了运算过程。如果套用运动学三公式，则因未知数较多，求解过程将较繁杂。举一反三：【变式1】骑自行车的人以5m/s的初速度冲上斜坡，作匀减速运动，加速度大小是0.4m/s2，经过多长时间骑车
24、人的速度减为零？经过10s，在斜坡上通过多长距离？【答案】12.5s 30m【变式2】某矿井的升降机，由井底从静止开始做匀加速直线运动，经过秒钟速度达到5m/s,又匀速上升了30s钟，最后8s钟做匀减速运动停在井口。求矿井的深度？【答案】182.5m类型六、自由落体运动例6、如图所示，悬挂的直杆AB长为L1，在其下L2处，有一长为L3的无底圆筒CD，若将悬线剪断，则直杆穿过圆筒所用的时间为多少？ 【思路点拨】画好运动的示意图是关键。【答案】【解析】直杆穿过圆筒所用的时间是从杆B点落到筒C端开始，到杆的A端落到D端结束。 设杆B落到C端所用的时间为t1,杆A端落到D端所用的时间为t2,由位移公式
25、得：，所以，【点评】自由落体运动是初速度为零的匀变速直线运动，画出运动示意图，且从下落起点开始列式计算往往比较简单。举一反三【变式】 一个物体从塔顶上下落，在到达地面前最后1s内通过的位移是整个位移的9/25，求塔高。（g取10m/s2）【答案】125m类型七、匀减速直线运动问题的处理例7、某汽车训练场地有如图设计，在平直的道路上，依次有编号为A、B、C、D、E的五根标志杆，相邻杆之间的距离L12.0 m。一次训练中，学员驾驶汽车以57.6km/h的速度匀速向标志杆驶来，教练与学员坐在同排观察并记录时间。当教练经过O点时向学员发出指令：“立即刹车”，同时用秒表开始计时。学员需要经历t的反应时间
26、才开始刹车，刹车后汽车做匀减速直线运动，停在D标杆附近。教练记录自己经过B、C杆时秒表的读数分别为tB4.5 s，tC6.5 s，已知LOA44 m，教练距车头的距离s1.5 m。求：(1)学员的反应时间t和刹车后汽车做匀减速运动的加速度大小a；(2)汽车停止运动时，车头离标志杆D的距离x。【答案】（1）学员的反应时间；汽车开始刹车后做匀减速直线运动的加速度大小为；（2）汽车停止运动时车头前端面离D的距离为。【解析】（1）汽车从O到标志杆B的过程中：汽车从O到标志杆C的过程中：联立方程组得：，（2）汽车从开始到停下运动的距离：可得：因此汽车停止运动时车头前端面在CD之间离D：【点评】在处理质点
27、做匀减速直线运动时，一定要考虑质点速度减到零的真实位移。举一反三【变式】如图所示，小球以、加速度为沿斜面向上运动，斜面长L=10m求小球经过中点需要的时间。【答案】 类型八、追及（相遇）问题例8、在一笔直公路上有a、b、c三辆汽车，它们同时经过同一路标开始计时，此后的v-t图象示意如图，下列判断正确的是（ ）A在时刻a、b速度相等B时间内，a、b间距离在减小C 时间内，a位于b、c后面D 时刻以后，b位于a、c前面【答案】B【解析】A、根据图象可知，在t1时刻a、b速度相等故A正确B、0时刻两车同时经过公路旁的同一个路标，在t1时间内a车速度大于b的速度，a车在b车的前方，所以两车逐渐远离，距
28、离增大，故B错误；C、0t1时间内，a的位移最大，所以a位于b、c前面，t1时刻以后的一段时间内，a位于b、c前面，故C D错误。故选：A【点评】追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同一位置。可见，相遇的物体必然存在以下两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系。若同地出发，相遇时位移相等为空间条件。二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系。若物体同时出发，运动时间相等；若甲比乙早出发t，则运动时间关系为。要使物体相遇就必须同时满足位移关系和运动时间关系。举一反三【变式】火车以速率V1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距车为S
29、处有另一辆火车，它正沿相同的方向以较小的速率V2做匀速运动，于是司机立即使车做匀减速运动，加速度大小为a,要使两车不致相撞，求出a应满足关式。【答案】类型九、用打点计时器测匀变速直线运动的加速度例9、做匀变速直线运动的小车带动纸带通过打点计时器，打出的部分计数点如图所示.每相邻两计数点间还有四个点未画出来，打点计时器使用的是50 Hz的低压交流电.求打点计时器打计数点“2”时，小车的速度v2等于多少?小车的加速度a等于多少?请你依据本实验原理推断第7计数点和第8计数点之间的距离大约是多少。 【思路点拨】某点的速度用平均速度来求，加速度可用逐查法求解。【答案】0.49 m/s 0.88 m/s2
30、 9.74cm【解析】（1）（2）由于两相邻间点所用的时间为 及，且有 根据公式得： （3）举一反三【变式】在研究匀变速直线运动的实验中，算出小车经过各计数点瞬时速度如下计数点序号123456计数点对应的时刻（s）0.100.200.300.400.500.60通过计数点的速度（cms）44.062.081.0100.0110.0168.0为了计算加速度，合理的方法是（） A根据任意两计数点的速度用公式算出加速度B根据实验数据画出vt图，量出其倾角，由公式求出加速度C根据实验数据画出vt图，由图线上相距较远的两点所对应的速度、时间，用公式算出加速度D依次算出通过连续两计数点间的加速度，算出平均值作为小车的加速度【答案】C
