1、辽宁省丹东市2020届高三数学下学期总复习质量测试试题（二）理（含解析）本试卷共23题，共150分，共5页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小
2、题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.【详解】由，解得或，所以，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求得条件“”的等价条件，由此判断出充分、必要条件.【详解】条件“”等价于“”，所以“” 是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的
3、判断，属于基础题.3.已知复数为纯虚数，则实数（ ）A. 0B. C. 1D. -1【答案】C【解析】【分析】利用复数除法运算进行化简，根据纯虚数的概念求得的值.【详解】依题意，由于为纯虚数，所以，解得.故选：C【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.4.天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即，其中为中心天体质量，为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为60亿千米
4、，取，则冥王星的公转周期约为（ ）A. 157年B. 220年C. 248年D. 256年【答案】C【解析】【分析】利用列方程组，化简后求得冥王星的公转周期.【详解】设地球椭圆轨道的半长轴为，公转周期.设冥王星椭圆轨道的半长轴为，公转周期.则，两式相除并化简得，所以年.故选：C【点睛】本小题主要考查椭圆的基本概念，属于基础题.5.已知平面向量，满足，那么与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设与的夹角为，由题得，再代入向量的夹角公式化简即得解.【详解】由题得，所以.设与的夹角为，所以.因为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，考查向量的夹角的计算，
5、意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别讨论四个函数的奇偶性及单调性，可选出答案.【详解】对于选项A，是上的偶函数，不符合题意；对于选项B，是非奇非偶函数，不符合题意；对于选项C，是奇函数，又是上增函数，符合题意；对于选项D，因为函数在和上都单调递减，在其定义域上不是单调函数，不符合题.故选：C【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.7.如图是某圆锥的三视图，其正视图是一个边长为1的正三角形，圆锥表面上的点M，N在正视图上的对应点分别是A、B则在此圆锥
6、的侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ） A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图可知几何体的直观图为圆锥，则圆锥的侧展图如图所示，再根据三视图中的数据，即可得答案；【详解】由三视图可知几何体的直观图为圆锥，圆锥的底面周长为，圆锥侧展图的圆心角为，由三视图可得，点在侧展图的位置，如图所示，.故选：B.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、圆锥表面上两点间的最短距离，考查空间想象能力、运算求解能力.8.在中，则（ ）A. 7B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件求得，由此求得，进而求得.【详解】由两边平方并化简得，由于，所以.所以.由得，所以
7、.所以.故选：A【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.9.5名志愿者中有组长和副组长各1人，组员3人，社区将这5人分成两组，一组2人，一组3人，去两居民小区进行疫情防控巡查，则组长和副组长不在同一组的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得基本事件的总数，然后求得事件“组长和副组长不在同一组”包含的基本事件数，再由古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】名志愿者，安排到两个社区，一组人，一组人，基本事件的总数为.事件“组长和副组长不在同一组”包含的基本事件数为.所以组长和副组长不在同一组的概率为.故选：D【点睛】本小
8、题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.10.已知函数，若存在实数，满足，且，则的最小值为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，画出函数图象，利用，得到，可得，构造函数，利用导数求得结果.【详解】作出函数的图象，如图所示：因为，结合图象可知，可得，令，解得，可以判断函数在上单调减，在上单调增，所以在处取得最小值，且，故选：D.【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有利用函数值相等，找出自变量所满足的条件，构造函数，利用导数求最值，属于中档题目.11.已知为双曲线：的一个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（
9、）A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据列方程，求得，由此求得，进而求得椭圆的离心率.【详解】依题意，双曲线的渐近线方程为或.不妨设过作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，如下图所示.点到渐近线即的距离为.所以.由于，所以.设，则，即，即，解得（负根舍去），即，所以.故C选项正确.依题意，双曲线的渐近线方程为或.不妨设过作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，如下图所示.点到渐近线即的距离为.所以.由于，所以.所以.根据双曲线渐近线的对称性可知：，所以，此时，即不符合题意.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于中档题.12.关
10、于函数，有下述四个结论：若在内单调递增，则.若在内单调递减，则.若在内有且仅有一个极大值点，则.若在内有且仅有一个极小值点，则.其中所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的单调性判断的正确性；根据三角函数的极值点判断的正确性.【详解】依题意函数，由，解得（），若在内单调递增，则.所以正确.由，解得（），若在内单调递减，则，此不等式组无解.所以错误.对于，由，解得（），依题意在内有且仅有一个解，即且，即且，即且，所以的取值范围是，所以正确.对于，由，解得（），依题意在内有且仅有一个解，即且，即且，即且，所以的取值范围是，所以错误.故正确的为.故选
11、：A【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性和极值点，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某医院职工总数为人，在年月份，每人约有次到超市或市场购物，为调查职工带口罩购物的次数，随机抽取了名职工进行调查，得到这个月职工带口罩购物次数的频率分布直方图，根据该直方图估计，年月份，该院职工带口罩购物次数不低于次的职工人数约为_.【答案】【解析】【分析】根据频率分布直方图求出院职工带口罩购物次数不低于次的频率，即可求得该院职工带口罩购物次数不低于次的职工人数.【详解】根据频率分布直方图院职工带口罩购物次数不低于次的频率为：医院职工总数为人该院职工带口罩购物次数不低于次的职工人
12、数：故答案为：.【点睛】本题解题关键是掌握频率分布直方图求频率的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.14.内角，的对边分别为，若，则_.【答案】【解析】【分析】首先利用余弦定理将题中条件整理得到，根据正弦定理可得，结合三角形内角的取值范围，最后求得结果.【详解】内角，的对边分别为，且，整理得，所以，由正弦定理得整理得，因为，所以，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理、正弦定理、已知三角函数值求角，属于简单题目.15.经过抛物线的焦点，倾斜角为的直线与交于，两点，若线段的中点的横坐标为7，那么_【答案】2【解析】【分析】由已知条件写出直线方程与抛物
13、线方程联立，由韦达定理及，即可求得结果.【详解】根据题意可以得过焦点的倾斜角为直线方程为,设，联立 可得：的中点的横坐标为7，,计算得出: ,故答案为:2.【点睛】本题考查直线和抛物线的关系，考查中点问题，考查韦达定理的应用，属于基础题.16.已知球在正方体内，且与该正方体的六个面都相切，为底面正方形的中心，与球表面相交于点，若，则的长为_.【答案】【解析】分析】球与该正方体的六个面都相切，则球的直径为4，所以半径 在直角三角形中计算出,在直角三角形中计算得到从而得解.【详解】因为球与该正方体的六个面都相切，由球的对称性得过球心 ,且平面 所以 在直角三角形中 ,所以作 ,由球的对称性得 ,又
14、 故答案为：【点睛】与球有关的组合体问题常涉及内切和外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体时，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体时，正方体的各个顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与其他旋转体组合时，通常作它们的轴截面解题；球与多面体组合时，通常过多面体的一条侧棱和球心及“切点”或“接点”作截面图进行解题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
15、.17.在数列中，.（1）设，证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）设为数列的前项和，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据题意，得到，进而可证明结论成立；得出，从而可求出；（2）由（1）的结果，得到，根据错位相减法，即可求出，从而可证明结论成立.【详解】（1）因为，所以.又，所以是首项为，公比为的等比数列.于是，故.（2）.两边同乘以得.以上两式相减得.故.【点睛】本题主要考查等比数列的证明，以及错位相减法求数列的和，属于常考题型.18.如图，在四棱锥中，底面，四边形是菱形，点在线段上.（1）证明：平面平面；（2）若，二面角的余弦值为，求的值.【答案
16、】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据菱形的对角线垂直以及直线与平面垂直的性质可证平面，再根据平面与平面垂直的判定定理可证平面平面；（2）以，为轴，轴，以平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，根据平面的法向量可解得结果.【详解】（1）因为四边形是菱形，所以.因为平面，所以.因为，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）因为，设，分别以，为轴，轴，以平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 设，则，.设平面的一个法向量为，则，即，取，则，则.设平面的一个法向量为，则，即取，则，则.，因为，所以，所以，所以.于是.【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定定理，考查了二面角的
17、向量求法，属于中档题.19.2019年10月，工信部颁发了国内首个无线电通信设备进网许可证，标志着基站设备将正式接入公用电信商用网络.某手机生产商拟升级设备生产手机，有两种方案可供选择，方案1：直接引进手机生产设备；方案2：对已有的手机生产设备进行技术改造，升级到手机生产设备.该生产商对未来手机销售市场行情及回报率进行大数据模拟，得到如下统计表：市场销售状态畅销平销滞销市场销售状态概率预期年利润数值（单位：亿元）方案17040-40方案26030-10（1）以预期年利润的期望值为依据，求的取值范围，讨论该生产商应该选择哪种方案进行设备升级？（2）设该生产商升级设备后生产的手机年产量为万部，通过
18、大数据模拟核算，选择方案1所生产的手机年度总成本（亿元），选择方案2所生产的手机年度总成为（亿元）.已知，当所生产的手机市场行情为畅销、平销和滞销时，每部手机销售单价分别为0.8万元，（万元），（万元），根据（1）的决策，求该生产商所生产的手机年利润期望的最大值？并判断这个年利润期望的最大值能否达到预期年利润数值.【答案】（1）；选择方案见解析（2）最大值40亿元；这个年利润期望最大值可以达到预期年利润数值【解析】【分析】（1）根据概率的性质可得的取值范围，根据期望公式求出两种方案下的期望，再通过对进行讨论可得答案；（2）根据可知选择方案1，利用期望公式求出手机生产商年销售额的期望，接着求出年
19、利润期望值的最大值，再与方案1的预期平均年利润期望值进行比较可得答案.【详解】（1）由，可得的取值范围为.方案1的预期平均年利润期望值为亿元.方案2的预期平均年利润期望值为亿元.当时，该手机生产商应该选择方案1；当时，该手机生产商可以选择方案1，也可以以选择方案2；当时，该手机生产商应该选择方案2；（2）因为，该手机生产商将选择方案1，此时生产的手机的年度总成本为（亿元）.设市场行情为畅销、平销和滞销时的年销售额分别为，（亿元），那么，.因为，所以手机生产商年销售额的分布列为0.40.40.2所以.年利润期望值（亿元）.当时，年利润期望取得最大值40亿元.方案1的预期平均年利润期望值为（亿元）
20、.因为，因此这个年利润期望的最大值可以达到预期年利润数值.【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望公式，属于中档题.20.设函数.（1）设是的极值点，求，并讨论的单调性；（2）若，证明：在区间内，存在唯一的极小值点，且.【答案】（1），的单调减区间是，单调递增区间是（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）利用可导函数在极值点处的导数值等于0可得，再验证函数在处取得极值，再根据导数符号可求得单调区间；（2）根据导函数在内的单调性以及零点存在性定理可得导函数在内有唯一零点，从而可得函数在内存在唯一的极小值点，根据极值点的范围可证极值为正数.【详解】（1）定义域为，.由题设，所以.此
21、时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是的极小值点.综上，的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）因为，所以在内单调递增.因为，所以存在，使得.当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在区间内有唯一的极小值点，没有极大值点.由得，于是.因为当时，所以.综上，在区间内有唯一的极小值点，没有极大值点，且.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，考查了零点存在性定理的应用，属于中档题.21.已知椭圆：经过点，两个焦点为，.（1）求的方程；（2）设圆：，若直线与椭圆，圆都相切，切点分别为和，求的最大值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）由、以及点在椭圆上可解得，；（2）设
22、：，利用直线与椭圆相切求出切点的坐标，根据以及基本不等式可得最大值.【详解】（1）由题意，所以，的方程可化为.因为经过点，所以，解得或（舍去）.，所以，于是的方程为.（2）设：，代入得.由，得.设，则，.因为与圆相切，所以圆心到距离，即.由得，.所以圆的切线长.因为，当时取等号，因为，所以的最大值为1.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相切的位置关系，考查了直线与圆相切的位置关系，考查了基本不等式，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为
23、参数）以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程（1）求曲线的极坐标方程；（2）设，为曲线上位于轴上方的两点，且，射线，分别与相交于点和点，当面积取最小值时，求四边形的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）消去参数得曲线的普通方程，代入，后可得极坐标方程；（2）用极坐标求解，不妨设，求出，由可得【详解】（1）消去中的参数得将，代入得的极坐标方程为 （2）不妨设，则，面积为，时，面积取最小值为此时，可得，面积为，因此四边形的面积为【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查极坐标的应用极坐标方程与直角坐标方程之间通过公式，实现互化选修4-5：不等式选讲23.已知函数（1）当时，求的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）当时，分别讨论，和时，即可求得答案；（2）由（1）可知当时，在内恒成立；讨论和时，在上是否恒成立，即可求得答案.【详解】（1）当时，当时，此时的解集为；当时，此时的解集为；当时，此时的解集为综上所述的解集为：（2）由（1）可知当时，在内恒成立；当时，在内恒成立；当时，在内，不满足在上恒成立的条件综上所述.【点睛】本题主要考查了求解绝对值不等式和根据不等式恒成立求参数范围，解题关键是掌握不等式基础知识和讨论法解不等式步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
