1、加课练(3)正弦定理与余弦定理A组基础题组1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos 2A=sin A,bc=2,则ABC的面积为() A.12 B.14C.1 D.2答案A由cos 2A=sin A,得1-2sin2A=sin A,解得sin A=12(负值舍去),由bc=2,可得ABC的面积S=12bcsin A=12212=12.故选A.2.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2B=2sin Asin C,cos B=14,ac,则ac=()A.32 B.2C.3 D.4答案B由正弦定理,得b2=2ac,又cos B=a2+c2-b22ac=14,
2、即a2+c2-2ac2ac=14,整理得2ac2-5ac+2=0,又ac,所以ac=2,故选B.3.(2018广东七校联考(一)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=223,a=3,SABC=22,则b的值为()A.6B.3C.2D.2或3答案D因为SABC=22=12bcsin A,sin A=223且A0,2,所以bc=6,cos A=13,又a=3,由余弦定理得9=b2+c2-2bccos A=b2+c2-4,所以b2+c2=13,可得b=2或b=3.4.在ABC中,已知AB=2,AC=5,tanBAC=-3,则BC边上的高等于()A.1 B.2C.3D.2
3、答案AtanBAC=-3,sinBAC=31010,cosBAC=-1010,BC2=AC2+AB2-2ACABcosBAC=5+2-252-1010=9,BC=3,SABC=12ABACsinBAC=122531010=32,BC边上的高为2SABCBC=2323=1.故选A.5.在梯形ABCD中,ABCD,AB=1,AC=2,BD=23,ACD=60,则AD=()A.2 B.7C.19 D.13-63答案B在梯形ABCD中,ABCD,ACD=60,BAC=60.在ABC中,AB=1,AC=2,由余弦定理,得BC=4+1-221cos60=3,AB2+BC2=AC2,ABC=BCD=90.在
4、BCD中,由勾股定理,得CD=(23)2-(3)2=3,在ACD中,由余弦定理,得AD=9+4-232cos60=7.故选B.6.在ABC中,若sin Asin Bsin C=346,则cos B=.答案2936解析由正弦定理,得abc=sin Asin Bsin C=346.不妨设a=3m,b=4m,c=6m(m0),则cos B=a2+c2-b22ac=2936.7.在ABC中,A=60,AC=4,BC=23,则ABC的面积等于.答案23解析由BCsinA=ACsinB,得sin B=ACBCsin A=42332=1,B=90,故C=30,SABC=12ACBCsin C=1242312
5、=23.8.已知在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,BAC=2,点D在边BC上,AD=1,且BD=2DC,BAD=2DAC,则sinBsinC=.答案32解析由BAC=2及BAD=2DAC,可得BAD=3,DAC=6.令DC=x(x0),则BD=2x.因为AD=1,在ADC中,由正弦定理得1sinC=xsin6,所以sin C=12x,在ABD中,sin B=sin32x=34x,所以sinBsinC=34x12x=32.9.在ABC中,已知内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2ccos B=2a+b.(1)求C;(2)若a+b=6,ABC的面积为23,求c.解析(1)由正弦
6、定理得2sin Ccos B=2sin A+sin B,又sin A=sin(B+C),2sin Ccos B=2sin(B+C)+sin B,2sin Ccos B=2sin Bcos C+2cos Bsin C+sin B,2sin Bcos C+sin B=0(sin B0),cos C=-12.又C(0,),C=23.(2)由ABC的面积S=12absin C=23,得34ab=23,ab=8,c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=36-8=28,c=27.10.(2018天津文,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
7、bsin A=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析(1)在ABC中,由asinA=bsinB,可得bsin A=asin B,又由bsin A=acosB-6,得asin B=acosB-6,即sin B=cosB-6,可得tan B=3.又因为B(0,),所以B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,得b2=a2+c2-2accos B=7,故b=7.由bsin A=acosB-6,可得sin A=37.因为ac,故cos A=27.因此sin 2A=2sin Acos A=437,cos 2A=2cos2A-1=
8、17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=43712-1732=3314.B组提升题组1.(2018广西两校联考(二)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bc=1,b+2ccos A=0,则当角B取得最大值时,ABC的周长为() A.2+3B.2+2C.3D.3+2答案A由题意可得,sin B+2sin Ccos A=0,即sin(A+C)+2sin Ccos A=0,得sin Acos C=-3sin Ccos A,即tan A=-3tan C.又cos A=-b2c0.从而tan B=-tan(A+C)=-tanA+tanC1-tanA
9、tanC=2tanC1+3tan2C=21tanC+3tanC,由基本不等式,得1tanC+3tan C21tanC3tanC=23,当且仅当tan C=33时等号成立,此时角B取得最大值,且tan B=tan C=33,tan A=-3,即b=c,A=120,又bc=1,所以b=c=1,a=3,故ABC的周长为2+3.故选A.2.(2018课标全国文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.答案233解析由已知条件及正弦定理可得2sin Bsin C=4sin Asin Bsi
10、n C,易知sin Bsin C0,sin A=12,又b2+c2-a2=8,cos A=b2+c2-a22bc=4bc,cos A0,cos A=32,即4bc=32,bc=833,ABC的面积S=12bcsin A=1283312=233.3.(2018辽宁五校协作体联考)已知函数f(x)=cos2x+3sin(-x)cos(+x)-12.(1)求函数f(x)在0,上的单调递减区间;(2)在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)=-1,a=2,bsin C=asin A,求ABC的面积.解析(1)f(x)=cos2x-3sin xcos x-12=1+cos2x2
11、-32sin 2x-12=-sin2x-6,2k-22x-62k+2,kZ,k-6xk+3,kZ,又x0,函数f(x)在0,上的单调递减区间为0,3和56,.(2)由(1)知f(x)=-sin2x-6,f(A)=-sin2A-6=-1,ABC为锐角三角形,0A2,-62A-656,2A-6=2,即A=3.又bsin C=asin A,bc=a2=4,SABC=12bcsin A=3.4.如图,在ABC中,AB=2,cos B=13,点D在线段BC上.(1)若ADC=34,求AD的长;(2)若BD=2DC,ACD的面积为423,求sinBADsinCAD的值.解析(1)在ABC中,cos B=13,sin B=223.在ABD中,ABsinADB=ADsinB,又AB=2,ADB=4,sin B=223,AD=83.(2)BD=2DC,SABD=2SADC,SABC=3SADC,又SADC=423,SABC=42,SABC=12ABBCsinABC,BC=6.SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD,SABD=2SADC,sinBADsinCAD=2ACAB,在ABC中,AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC,AC=42,sinBADsinCAD=2ACAB=42.
