1、20202021学年度第一学期月考高二年级数学试题一选择题1. 数列，3，则是这个数列的第（ ）A. 8项B. 7项C. 6项D. 5项【答案】C【解析】【分析】根据已知中数列的前若干项，我们可以归纳总结出数列的通项公式，进而构造关于的方程，解方程得到答案【详解】解：数列，3，可化为：数列，则数列的通项公式为：，当时，则，解得：，故是这个数列的第6项.故选：C点睛】本题考查的知识点是数列的函数特性，数列的通项公式，其中根据已知归纳总结出数列的通项公式，是解答的关键2. 若数列满足，则数列是（ ）A. 递增数列B. 递减数列C. 常数列D. 摆动数列【答案】A【解析】【分析】作差可得恒成立,所以
2、是递增数列.【详解】，即是递增数列故选:A【点睛】本题考查了数列的单调性的判断,作差(或作商)是判断数列单调性的常用方法,本题属于基础题.3. 等差数列的前项和，若，则( )A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】C【解析】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.考点：等差数列的性质.4. 已知数列为等差数列，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由等差数列性质可得a7=，而tan（a2+a12）=tan（2a7），代值由三角函数公式化简可得【详解】数列an为等差数列且a1+a7+a13=4，a1+a7+a13=3a7=4，解得a7=，tan（a2+a12
3、）=tan（2a7）=tan=tan（3）=tan=故选D【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及三角函数中特殊角的正切函数值的运算，属基础题5. 在中，内角，的对边分别为，若，则等于（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】分析】由于中，利用正弦定理将等式两边的边化成相应角的正弦即可求解【详解】解：中，由正弦定理得：，又，又为三角形内角，或故选：D【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，着重考查正弦定理的转化与应用，属于基础题6. 已知数列为等差数列，其前n项和为，2a7a85，则S11为A. 110B. 55C. 50D. 不能确定【答案】B【解析】数列为等差数列，2a7a8
4、5，,可得a6=5，S11=55故选：B7. 下列四个命题：任何数列都有通项公式；给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列；给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式；数列的通项公式是项数n的函数其中正确的有（ ）A 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据数列的表示方法以及数列的通项公式的定义即可判断各命题的真假【详解】对，根据数列的表示方法可知，不是任何数列都有通项公式，比如：的近似值构成的数列，就没有通项公式，所以错误；对，根据数列的表示方法可知，正确；对，给出了数列的有限项，数列的通项公式形式不一定唯一，比如：，其通项公式既可以写成，也可以写成，错误；对，
5、根据数列通项公式的概念可知，正确故选：B【点睛】本题主要考查数列的表示方法以及数列的通项公式的定义的理解，属于基础题8. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosAbcosB，且c2a2+b2ab，则ABC的形状为（ ）A. 等腰三角形或直角三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理将边化角转化acosAbcosB，逆用余弦定理转化c2a2+b2ab，即可判断三角形形状.【详解】因为acosAbcosB，故可得，即，又，故可得或；又c2a2+b2ab，即，又，故可得.综上所述，.故三角形是等边三角形.故选：.【点睛】本
6、题考查利用正余弦定理判断三角形形状，属综合基础题.9. 已知的三个内角之比为，那么对应的三边之比等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】已知ABC的三个内角之比为,有,再由,可得，故三内角分别为.再由正弦定理可得三边之比，故答案为点睛：本题考查正弦定理的应用，结合三角形内角和等于，很容易得出三个角的大小，利用正弦定理即出结果10. 已知数列首项，且当时满足，若的三边长分别为、，则最大角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意得数列为等差数列，则可求出、，然后利用余弦定理求解最大角的余弦值.【详解】当时满足，则数列为首项是公差为的等差数列，则、分别为，
7、则最大角的余弦值为，故选：D.【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查等差数列的概念及通项的运用，较简单.11. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是（ ）A. 10海里B. 10海里C. 20海里D. 20海里【答案】A【解析】【分析】先确定CAB和ACB,然后由正弦定理可直接求解.【详解】如图所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10 (海里)故选：A【点睛】本题考查利用正弦定理解
8、三角形，属于基础题.12. 已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，设每一行的和为，可得，继而可求解，表示，裂项相消即可求解.【详解】由题意，设每一行的和为 故因此：故故选：D【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.二填空题13. 已知中，那么_【答案】45【解析】【分析】直接利用正弦定理即可得解【详解】解：由正弦定理可得：，即，又因为，即，则，所以.故答案为：【点睛】本题考查了利用正
9、弦定理解三角形，属于基础题14. 已知等差数列的前项和为，且，则使取得最大为_【答案】6【解析】【分析】由结合 等差数列的前项和公式得到第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大【详解】因为等差数列中，所以，达到最大值时对应的项数的值为6故答案为：6【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2） 且 ；（3）且为等差数列；（4） 为等差数列.15. 设数列的前项和为，且，则数列的前项和为_【答案】；【解析】【分析】根据数列满足，得到数列是等差数列，求得，进而得到，再利用等差数列的前n项和公式求解.【详解】因为数列满足，所以数列是等差
10、数列，所以，所以，所以数列的前项和为，故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式的运算，属于基础题.16. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S.若a2sinC4sinA，(ac)212b2，则用“三斜求积”公式求得的面积为_.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理的边角互化可得ac4，代入(ac)212b2，从而可得答案.【详解】根据正弦定理及a2sinC4sinA，可得ac4，由(ac)212b2，可得a2c2b24，所以.故答案为：【点睛】本题考查了正弦
11、定理的边角互化，考查了考生的基本运算求解能力，属于基础题.三解答题17. 在中，.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理可求得的值；（2）根据同角的三角函数的关系求出，再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出，利用三角形面积公式计算即可【详解】（1）因为，所以由正弦定理得；（2）若，则，又由（1）可得，【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于基础题目.18. 已知数列满足，.（1）数列是否为等差数列？请说明理由；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）数列是以为首项，以为公差的等
12、差数列，理由见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由可得，则可证明出是等差数列；（2）由（1）的结果，先写出数列的通项公式，然后得出的通项公式.【详解】解：（1）数列是等差数列，理由如下：由可得：，即，根据等差数列的定义可知数列是以为首项，公差为的等差数列.（2）由（1）可知，则.【点睛】本题考查等差数列的判断及证明，考查数列通项公式的求解问题，较简单.19. 已知的内角的对边分别为，且（1）求；（2）若成等差数列，的面积为，求【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知可得sinA=sin（A+），结合范围A（0，），即可计算求解A的值；（2）利用等差数列的性质可得b
13、+c=，利用三角形面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理即可解得a的值【详解】（1）asinB=bsin（A+）由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin（A+）sinB0，sinA=sin（A+）A（0，），可得：A+A+=，A=（2）b，a，c成等差数列，b+c=，ABC的面积为2，可得：SABC=bcsinA=2，=2，解得bc=8，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=（b+c）22bc2bccos=（b+c）23bc=（a）224，解得：a=2【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题20. 已知等
14、差数列前三项的和为，前三项的积为，（1）求等差数列的通项公式；（2）若公差，求数列的前项和.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的的公差为，由，建立方程组求解；（2）由（1）可知，根据项的正负关系求数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的的公差为由，得所以又得，即所以，或 即或（2）当公差时，1）当时，设数列的前项和为，则2）当时，当时，也满足，当时，也满足，所以数列的前项和【点睛】本题考查等差数列的通项，等差数列求和，以及含绝对值数列的前项的和，属于中档题.21. 如图，某报告厅座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位（1）求
15、第六排的座位数；（2）某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？（提示：每一排从左到右都按第一、三、五、的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排的参会人数最多）【答案】（1）19；（2）95【解析】【分析】（1）构造等差数列，写出首项及公差，利用等差数列通项公式求得结果；（2）构造等差数列，利用等差数列求和求得结果.【详解】解：（1）依题意，得每排的座位数会构成等差数列，其中首项，公差，所以第六排的座位数（2）因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多，第一排应坐5人，第二排应坐6人，第三排应坐7
16、人，这样，每排就坐的人数就构成等差数列，首项，公差，所以数列前10项和故该报告厅里最多可安排95人同时参加会议【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列求和，属中档题.22. 已知分别是角的对边，满足（1）求的值；（2）的外接圆为圆(在内部)，判断的形状，并说明理由.【答案】（1）；（2）等边三角形.【解析】试题分析：（I）根据正弦定理把化成边的关系可得，约去，即可求得；（II）设中点为，故,圆的半径为,由正弦定理可知,所以,再根据余弦定理求得，据此判断出三角形性质.试题解析：（I）由正弦定理可知, 则, ,可得.（II）记中点为，故,圆的半径为,由正弦公式可知,故,由余弦定理可知, 由上可得,又,则,故为等边三角形. 考点：正弦定理、余弦定理解三角形.
