1、核心素养测评十三 导数与导数的运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列求导运算正确的是()A.=1+B.(log2x)=C.(5x)=5xlog5x D.(x2cos x)=-2xsin x【解析】选B.A.=1-,故错误;B.符合对数函数的求导公式,故正确;C.(5x)=5xln 5,故错误;D.(x2cos x)=2xcos x-x2sin x,故错误.2.若函数f(x)=,则f(0)等于()A.1B.0C.-1D.-2【解析】选A.函数的导数f(x)=,则f(0)=1.3.某炼油厂的一个分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时时,原油温度(单位:
2、)为f(x)=x3-x2+8(0x5), 那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是()A.8B.C.-1D.-8【解析】选C.因为f(x)=x3-x2+8(0x5), 所以f(x)=x2-2x=-1, 又0x5, 故当x=1时,f(x)有最小值-1,即原油温度的瞬时变化率的最小值是-1.4.(2020广元模拟)已知函数f(x)=x2+cos x,则其导函数f(x)的图像大致是()【解析】选A.因为f(x)=x-sin x,这是一个奇函数,图像关于原点对称,故排除B,D两个选项.f=-fB.f=fC.ff.2.(5分)(2020阜阳模拟)设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点,则曲线在点P处切线的倾
3、斜角的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选C.因为y=3x2-,故切线的斜率k-,所以切线的倾斜角的取值范围为.3.(5分)(2020亳州模拟)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+8=0的最短距离是()A.2 B.2C.2D.【解析】选A.设M(x0,ln(2x0-1)为曲线上的任意一点,则曲线在点M处的切线与直线2x-y+8=0平行时,点M到直线的距离即为曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+8=0的最短距离.因为y=,所以=2,解得x0=1,所以M(1,0).记点M到直线2x-y+8=0的距离为d,则d=2.4.(10分)已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2
4、上的两点.(1)在曲线y=x2上分别求过点P,Q的切线方程.(2)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.【解析】(1)因为y=2x,所以过点P,Q的切线斜率分别为-2,4,所以过点P的切线方程为:y-1=-2(x+1);即y=-2x-1;过点Q的切线方程为:y-4=4(x-2);即y=4x-4.(2)设切点为,kPQ=1,因为切线和直线PQ平行,且切线的斜率为2x0,所以2x0=1,所以x0=,所以切点为,所以切线方程为y-=x-,即y=x-.5.(10分)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,bR).(1)若函数f(x)的图像过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值.(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.【解析】f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以=4(1-a)2+12a(a+2)0,即4a2+4a+10,所以a-.所以a的取值范围为.
