1、第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2015泰安模拟)不等式组所表示的平面区域的面积为_解析作出不等式组对应的区域为BCD，由题意知xB1，xC2.由得yD，所以SBCD(xCxB).答案2(2014湖北卷)若变量x，y满足约束条件则2xy的最大值是_解析画出可行域如图(阴影部分)设目标函数为z2xy，由解得A(3,1)，当目标函数过A(3,1)时取得最大值，zmax2317.答案73(2015扬州检测)已知x，y满足约束条件则z3x4y的最小值是_解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x4y0，平移该直线，当平移到经
2、过该平面区域内的点时，相应直线在x轴上的截距达到最小，此时3x4y取得最小值.答案4(2015扬州调研)若A为不等式组表示的平面区域，则当a从2连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为_解析平面区域A如图所示，所求面积为S222.答案5(2014成都诊断)在平面直角坐标系 xOy中，P为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为_解析作出可行域如图所示，当点P位于的交点(1,1)时，(kOP)max1.答案16(2015济南模拟)已知变量x，y满足约束条件目标函数zx2y的最大值为10，则实数a的值为_解析结合图形求解作出不等式组对应的平面区域，当目标函数经过点
3、(a，a1)时取得最大值10，所以a2(a1)10，解得a4.答案47在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则OM的最小值是_解析如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O到直线xy20的垂线段长是OM的最小值，OMmin.答案8(2015盐城调研)设x，y满足约束条件若目标函数zabxy(a0，b0)的最大值为35，则ab的最小值为_解析可行域如图所示，当直线abxyz(a0，b0)过点B(2,3)时，z取最大值2ab3，于是有2ab335，ab16，所以ab228，当且仅当ab4时等号成立，所以(ab)min8.答案8二、解答题9(2015合肥模拟)画出不等式组表
4、示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解(1)不等式组表示的平面区域如图所示结合图中可行域得x，y3,8(2)由图形及不等式组知当x3时，3y8，有12个整点；当x2时，2y7，有10个整点；当x1时，1y6，有8个整点；当x0时，0y5，有6个整点；当x1时，1y4，有4个整点；当x2时，2y3，有2个整点；平面区域内的整点共有2468101242(个)10制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和
5、10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目，由题意知目标函数zx0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域将zx0.5y变形为y2x2z，这是斜率为2随z变化的一组平行线，当直线y2x2z经过可行域内的点M时，直线y2x2z在y轴上的截距2z最大，z也最大这里M点是直线xy10和0.3x0.1y1.8的交点解方程组得x4，y6，此时z40.567(万元)当x4，y6时，z取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、
6、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大能力提升题组(建议用时：25分钟)1(2014福建卷改编)已知圆C：(xa)2(yb)21，平面区域：若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2b2的最大值为_解析由已知得平面区域为MNP内部及边界圆C与x轴相切，b1.显然当圆心C位于直线y1与xy70的交点(6,1)处时，amax6.a2b2的最大值为621237.答案372已知实数x，y满足不等式组若目标函数zyax取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围为_解析作出不等式组对应的平面区域BCD，由zyax，得yaxz，要使目标函数yaxz仅在点(1,3)处
7、取最大值，则只需直线yaxz仅在点B(1,3)处的截距最大，由图象可知akBD，因为kBD1，所以a1，即a的取值范围是(1，)答案(1，)3(2013广东卷)给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条 ，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)
8、都在直线xy4上，故T中的点共确定6条不同的直线答案64变量x，y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围；(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围解由约束条件作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示由解得A.由解得C(1,1)由解得B(5,2)(1)z.z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率观察图形可知zminkOB.(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dminOC，dmaxOB.故z的取值范围是2,29(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax8.故z的取值范围是16,64.
