1、9.5抛物线及其性质【考点集训】考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2019届广东顶级名校期中联考,3)已知抛物线x2=ay(a0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是() A.2B.3C.4D.5答案C2.(2018河南中原名校12月联考,11)已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()A.x2=833yB.x2=4y C.x2=12y D.x2=24y答案D3.(2018云南玉溪模拟,14)已知F是抛物线y=x2
2、的焦点,M、N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN的中点到x轴的距离为.答案54考点二抛物线的几何性质1.(2015陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0) B.(1,0)C.(0,-1) D.(0,1)答案B2.(2017广东中山一调,5)已知抛物线x2=2py(p0)的准线与椭圆x26+y24=1相切,则p的值为()A.4B.3C.2D.1答案A3.(2019届安徽皖中地区9月调研,9)抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=()A.54B.
3、52C.22D.324答案D考点三直线与抛物线的位置关系1.(2019届安徽皖东第二次联考,8)若抛物线x2=2y在点a,a22(a0)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积是8,则此切线方程是()A.x-4y-8=0B.4x-y-8=0C.x-4y+8=0D.4x-y+8=0答案B2.(2014课标,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,则|AB|=()A.303B.6C.12D.73答案C3.(2019届福建福州9月质检,9)抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A、B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线
4、C的方程为()A.y=2x2 B.y2=2xC.x2=2y D.y2=-2x答案B4.(2018广东深圳二模,15)设过抛物线y2=2px(p0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y2=8px(p0)交于A,B两点,直线OP与抛物线y2=8px(p0)的另一个交点为Q,则SABQSABO=.答案3炼技法【方法集训】方法1求抛物线的标准方程的方法 1.(2018河南顶级名校12月联考,7)已知直线l过抛物线y2=-2px(p0)的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是()A.y2=-12xB.y2=-8xC.y2=-6x D.y2
5、=-4x答案B2.(2019届湖南八校第一次调研,9)在平面直角坐标系xOy中,动点P到圆(x-2)2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=-1的距离相等,则P点的轨迹方程是()A.y2=8x B.x2=8yC.y2=4x D.x2=4y答案A3.(2017河北六校模拟,14)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36,则抛物线的方程为.答案y2=16x方法2抛物线定义的应用策略1.(2014课标,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0=() A.1B.2C.4
6、D.8答案A2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线交于B、C两点,l与抛物线的准线交于点A,且|AF|=6,AF=2FB,则|BC|=()A.8B.132C.6D.92答案D3.(2019届河南顶级名校高三入学测试,15)抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则PAF周长的最小值为.答案13方法3与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法1.(2018福建莆田模拟,6)已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=8x的焦点,过F作直线l与C交于A,B两点.若|AB|=10,则OAB的重心的横坐标为() A.43B.2C.83D.3答案B2.
7、(2018湖北武汉模拟,9)过点P(2,-1)作抛物线x2=4y的两条切线,切点分别为A,B,PA,PB分别交x轴于E,F两点,O为坐标原点,则PEF与OAB的面积之比为()A.32B.33C.12D.34答案C3.(2019届河南洛阳期中检测,20)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,抛物线上一点P的纵坐标为3,且|PF|=4,过M(m,0)作抛物线C的切线MA(斜率不为0),切点为A.(1)求抛物线C的方程;(2)求证:以FA为直径的圆过点M.解析(1)|PF|=yP+p2,4=3+p2,p=2.抛物线C的方程为x2=4y.(4分)(2)证明:设Ax0,x024(x00),切线M
8、A的斜率为k(k0).x2=4y,y=x24,y=x2,k=x02.(5分)切线MA的方程为y-x024=x02(x-x0),即y=x02x-x024.(6分)切线过M(m,0),x0m2-x024=0.又x00,x0=2m.(8分)F(0,1),M(m,0),Ax0,x024(x00),MFMA=(-m,1)x0-m,x024=(-m,1)(m,m2)=0,(10分)FMA=90,因此,以FA为直径的圆过点M.(12分)过专题【五年高考】A组统一命题课标卷题组1.(2016课标全国,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k0)与C交于点P,PFx轴,则k=() A.12B
9、.1C.32D.2答案D2.(2018课标全国,20,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:ABM=ABN.解析(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=12x+1或y=-12x-1.(2)证明:当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以ABM=ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x10,x20.由y=k(x-2),y2=2x得ky2-2y-4k=
10、0,可知y1+y2=2k,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2).将x1=y1k+2,x2=y2k+2及y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2y1y2+4k(y1+y2)k=-8+8k=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN.综上,ABM=ABN.3.(2016课标全国,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在
11、线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析由题设知F12,0.设l1:y=a,l2:y=b,易知ab0,且Aa22,a,Bb22,b,P-12,a,Q-12,b,R-12,a+b2.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以ARFQ.(5分)(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF=12|b-a|FD|=12|b-a|x1-1
12、2,SPQF=|a-b|2.由题设可得212|b-a|x1-12=|a-b|2,所以x1=0(舍去)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得2a+b=yx-1(x1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)B组自主命题省(区、市)卷题组考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2014辽宁,8,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为() A.-43B.-1C.-34D.-12答案C2.(2016浙江,19,15分)
13、如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.解析(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得p2=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t0,t1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s0),由y2=4x,x=sy+1消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以,B1t2,-2t.又
14、直线AB的斜率为2tt2-1,故直线FN的斜率为-t2-12t.从而得直线FN:y=-t2-12t(x-1),直线BN:y=-2t.所以Nt2+3t2-1,-2t.设M(m,0),由A,M,N三点共线得2tt2-m=2t+2tt2-t2+3t2-1,于是m=2t2t2-1.所以m2.经检验,m2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).思路分析(1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的方程,与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程,联立可得N点坐标,最后利用A,M,N三点共线可得kAN=kAM,最终求出结果
15、.考点二抛物线的几何性质1.(2016四川,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是() A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)答案D2.(2014安徽,3,5分)抛物线y=14x2的准线方程是()A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2答案A3.(2018北京,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案(1,0)4.(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC=120,则圆的方程为.答案(x+1)2+(y-
16、3)2=1考点三直线与抛物线的位置关系1.(2014湖南,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.答案(-,-1)(1,+)2.(2015浙江,19,15分)如图,已知抛物线C1:y=14x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解析(
17、1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2.因此,点B的坐标为2t1+t2,2t21+t2.(2)由(1)知|AP|=t1+t2,和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=t21+t2,设PAB的面积为S(t),所以S(t)=
18、12|AP|d=t32.C组教师专用题组考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2013课标,8,5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为C上一点,若|PF|=42,则POF的面积为() A.2B.22C.23D.4答案C2.(2011课标,9,5分)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则ABP的面积为()A.18B.24C.36D.48答案C3.(2017山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|
19、+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案y=22x考点二抛物线的几何性质1.(2013课标,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=33(x-1)或y=-33(x-1)C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)D.y=22(x-1)或y=-22(x-1)答案C2.(2014陕西,11,5分)抛物线y2=4x的准线方程为.答案x=-13.(2014上海,4,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x29+y25=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为.答案x=-2考点三直线
20、与抛物线的位置关系1.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案D2.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OAOB=2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.1728D.10答案B3.(2014浙江,22,14分)已知ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,
21、PF=3FM.(1)若|PF|=3,求点M的坐标;(2)求ABP面积的最大值.解析(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以P(22,2)或P(-22,2).由PF=3FM,分别得M-223,23或M223,23.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由y=kx+m,x2=4y得x2-4kx-4m=0,于是=16k2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由PF=3FM,得(-x0,1-y0)=3(2k,2
22、k2+m-1),所以x0=-6k,y0=4-6k2-3m,由x02=4y0得k2=-15m+415.由0,k20,得-13m43.又因为|AB|=41+k2k2+m,点F(0,1)到直线AB的距离为d=|m-1|1+k2,所以SABP=4SABF=8|m-1|k2+m=16153m3-5m2+m+1.记f(m)=3m3-5m2+m+1-13f43,所以,当m=19时, f(m)取到最大值256243,此时k=5515.所以,ABP面积的最大值为2565135.4.(2014福建,21,12分)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线的方程;(2)曲线在点P
23、处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.解析(1)解法一:设S(x,y)为曲线上任意一点,依题意,点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线的方程为x2=4y.解法二:设S(x,y)为曲线上任意一点,则|y-(-3)|-(x-0)2+(y-1)2=2,依题意,知点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y-3,所以(x-0)2+(y-1)2=y
24、+1,化简得,曲线的方程为x2=4y.(2)当点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线的方程为y=14x2,设P(x0,y0)(x00),则y0=14x02,由y=12x,得切线l的斜率k=y|x=x0=12x0,所以切线l的方程为y-y0=12x0(x-x0),即y=12x0x-14x02.由y=12x0x-14x02,y=0得A12x0,0.由y=12x0x-14x02,y=3得M12x0+6x0,3.又N(0,3),所以圆心C14x0+3x0,3,半径r=12|MN|=14x0+3x0,|AB|=|AC|2-r2=12x0-14x0+3x02+32-14x0+3
25、x02=6.所以点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变.5.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即(x-1)2+y2=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=4x,x0,0,x0.(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x0),依题意,可设直线l的方程为y-1
26、=k(x+2).由方程组y-1=k(x+2),y2=4x,可得ky2-4y+4(2k+1)=0.(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=14.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点14,1.(ii)当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1).设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-2k+1k.若0,x00,由解得k12,即当k(-,-1)12,+时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.若=0,x00,x00,由解得k-1,12或-12k0,x00,由解得-1k-12或0k0)
27、的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=54|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.解析(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=8p.所以|PQ|=8p,|QF|=p2+x0=p2+8p.由题设得p2+8p=548p,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y
28、1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=m2+1|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-1my+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+4my-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4).则y3+y4=-4m,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E2m2+2m2+3,-2m,|MN|=1+1m2|y3-y4|=4(m2+1)2m2+1m2.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=12|MN|,从而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2,即4(m2+1)2+2m
29、+2m2+2m2+22=4(m2+1)2(2m2+1)m4,化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)7.(2012课标全国,20,12分)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若BFD=90,ABD的面积为42,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解析(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=2p.由抛物线定义可知A到l的
30、距离d=|FA|=2p.因为ABD的面积为42,所以12|BD|d=42,即122p2p=42,解得p=-2(舍去)或p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,ADB=90.由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|,所以ABD=30,m的斜率为33或-33.当m的斜率为33时,由已知可设n:y=33x+b,代入x2=2py得x2-233px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故=43p2+8pb=0.解得b=-p6.因为m在y轴上的截距b1=p2,所以|b1|b|=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3
31、.当m的斜率为-33时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.8.(2010全国,22,12分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为D.(1)证明:点F在直线BD上;(2)设FAFB=89,求BDK的内切圆M的方程.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),l的方程为x=my-1(m0).(1)证明:将x=my-1代入y2=4x并整理得y2-4my+4=0,从而y1+y2=4m,y1y2=4.直线BD的方程为y-y2=y2+y1x2-x1(x-x2),即y-y2=4y2-y1x-y224.令y
32、=0,得x=y1y24=1.所以点F(1,0)在直线BD上.(2)由(1)知,x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,x1x2=(my1-1)(my2-1)=1.因为FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),FAFB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2,故8-4m2=89,解得m=43.所以l的方程为3x+4y+3=0,或3x-4y+3=0.又由知y2-y1=(4m)2-44=437,故直线BD的斜率为4y2-y1=37,因而直线BD的方程为3x+7y-3=0,或3x-7y-3=0.因为KF为BKD的平分线,故可设圆心M(
33、t,0)(-1t0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若|FM|MN|=55,则p的值等于()A.18B.14C.2D.4答案C5.(2019届湖北武汉重点中学期初调研,12)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=()A.4B.6C.8D.10答案B6.(2019届广东韶关第一中学9月月考,11)直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦点F且与抛物线交于A,B两点,则|AF|BF|AF|+|BF|=()A.a2B.a4C.2aD.4a答案B7.(2019届广东佛山第一中学9月月考,11)已知P为抛物线y
34、=ax2(a0)准线上一点,过点P作抛物线的切线PA,PB,切点分别为A,B.若切线PA的斜率为13,则切线PB的斜率为()A.-aB.-3C.-13D.-1a答案B8.(2017江西新余、宜春联考,11)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足AFB=23,设线段AB的中点M在l上的投影为N,则|MN|AB|的最大值是()A.3B.32C.33D.34答案C二、填空题(共5分)9.(2017安徽黄山二模,14)已知抛物线C:y2=8x,焦点为F,点P(0,4),点A在抛物线上,当点A到抛物线准线l的距离与点A到点P的距离之和最小时,延长AF交抛物线于
35、点B,则AOB的面积为.答案45三、解答题(共20分)10.(2018广东惠州调研,20)已知圆x2+y2=12与抛物线x2=2py(p0)相交于A,B两点,点B的横坐标为22,F为抛物线的焦点.(1)求抛物线的方程;(2)若过点F且斜率为1的直线l与抛物线和圆交于四个不同的点,从左至右依次为P1,P2,P3,P4,求|P1P2|-|P3P4|的值.解析(1)设B(22,y0),由题意得(22)2+y02=12,(22)2=2py0,解之得y0=2,p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.(2)设点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4),由题意知P1,P3
36、在圆上,P2,P4在抛物线上.因为直线l过点F且斜率为1,所以直线l的方程为y=x+1.联立y=x+1,x2+y2=12,得2x2+2x-11=0,所以x1+x3=-1,x1x3=-112,所以|P1P3|=1+12(x1+x3)2-4x1x3=2(-1)2-4-112=46.由y=x+1,x2=4y,得x2-4x-4=0,所以x2+x4=4,x2x4=-4.所以|P2P4|=1+12(x2+x4)2-4x2x4=242-4(-4)=8.由题意易知|P1P2|=|P1P3|-|P2P3|,|P3P4|=|P2P4|-|P2P3|,-得|P1P2|-|P3P4|=|P1P3|-|P2P4|,|P
37、1P2|-|P3P4|=46-8.11.(2019届广东佛山第一中学9月月考,20)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线C上的点M(2,y0)到F的距离为3.(1)求抛物线C的方程;(2)斜率存在的直线l与抛物线相交于相异的两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1+x2=4.若线段AB的垂直平分线交x轴于点G,且GAGB=5,求直线l的方程.解析(1)由抛物线定义知|MF|=2+p2,所以2+p2=3,解得p=2,所以,抛物线C的方程为y2=4x.(2)设线段AB的中点坐标为(2,m),则y1+y2=2m.因为直线l的斜率存在,所以m0,kAB=y2-y1x2-x1=y2
38、-y1y224-y124=2m,所以直线AB的方程为y-m=2m(x-2),即2x-my+m2-4=0.由2x-my+m2-4=0,y2=4x,得y2-2my+2m2-8=0,其中0,即m28,y1+y2=2m,y1y2=2m2-8,线段AB的垂直平分线方程为y-m=-m2(x-2),令y=0,得x=4,所以G(4,0),所以GA=(x1-4,y1),GB=(x2-4,y2).因为GAGB=5,所以(x1-4)(x2-4)+y1y2=5,即x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2=5,也即y12y2216-44+16+y1y2=5,把代入得(m2-4)2+8(m2-4)-20=0,化简,得(m2+6)(m2-6)=0,所以m2=68,所以m=6.所以直线l的方程为2x-6y+2=0或2x+6y+2=0.
