1、第 3章 数系的扩充与复数的引入章末复习提升1.理解复数的概念及复数相等的充要条件.2.掌握复数的运算法则及共轭复数的性质.3.掌握复数的几何意义.学习目标 栏目索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 复数的有关概念 1.虚数单位i.2.复数的代数形式zabi(a，bR).3.复数的实部、虚部、虚数与纯虚数.知识点二 复数集 答案 复数abi(a，bR)实数(b0)有理数整数分数无理数(无限不循环小数)虚数(b0)纯虚数非纯虚数(a0)(a0)知识点三 复数的四则运算 若两个复数z1a1b1i，z2a2b2i(a1，b1，a2，b2R)(
2、1)加法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；(2)减法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；(3)乘法：z1z2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i；(4)除法：1121 22 11 222222()()iza ab ba ba bzab121 22 11 2222222222i(0);a ab ba ba bzabab(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；(1i)22i；若，则31,120.12 32 i知识点四 共轭复数与复数的模1.若 zabi，则 zabi，zz为实数，zz为纯虚数(b0).2.复数
3、zabi 的模|z|a2b2，且 zz|z|2a2b2.知识点五 复数的几何形式 1.用点Z(a，b)表示复数zabi(a，bR)，用向量表示复数zabi(a，bR)，Z称为z在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0).2.任何一个复数zabi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量.OZOZ返回 知识点六 复数加、减法的几何意义 1.复数加法的几何意义 若复数 z1、z2 对应的向量OZ1、OZ2 不共线，则复数 z1z2 是以OZ1、OZ2 为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数.2.复数减法的几何意义复数 z1z2 是连结向量
4、OZ1、OZ2 的终点，并指向 Z1 的向量所对应的复数.题型探究 重点突破 解析答案 题型一 复数的基本概念 例1 满足z是实数，且z3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由.5z反思与感悟 解析答案 跟踪训练 1 设 zC，且满足 z1zR，z14是纯虚数，求 z.解 设zxyi(x，yR)，则 z1z(xyi)1xyixxx2y2 yyx2y2 i.z1zR，yyx2y20，解得 y0 或 x2y21.又z14x14 yi 是纯虚数，x140 且 y0.x14，y 154，因此复数 z14 154 i.解析答案 题型二 复数的四则运算 例 2 计算
5、2 3i12 3i 21i2 004(48i)2(48i)211 7i.解 原式i(12 3i)12 3i 21i2 1 002(48i8i4)(48i48i)11 7ii(i)1 00201i.反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 已知复数z(12i)(2i).(1)计算复数z；3i1i解 z(12i)(2i)(3i)(1i)(1i)(1i)43i42i243i(2i)62i.(2)若z2(2a1)z(1i)b160，求实数a，b的值.解(62i)2(2a1)(62i)(1i)b160，3224i6(2a1)2(2a1)ibbi160，2212ab(264ab)i0，2212ab0，264ab0
6、.解得 a3，b14.解析答案 题型三 复数与其他知识的综合应用 例3 已知关于t的一元二次方程t2(2i)t2xy(xy)i0(x，yR).(1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹；解 设实根为t，则t2(2i)t2xy(xy)i0(x，yR)，即(t22t2xy)(txy)i0.根据复数相等的充要条件，得t22t2xy0，txy0，由得tyx，代入得(yx)22(yx)2xy0，即(x1)2(y1)22.所以所求的点的轨迹方程是(x1)2(y1)22，轨迹是以点(1，1)为圆心，2为半径的圆.解析答案(2)求方程实根的取值范围.解 由得圆心为(1，1)，半径 r 2，直线 tyx 与圆有
7、公共点，从而应有|1(1)t|2 2，即|t2|2，所以4t0，故方程的实根的取值范围是4,0.反思与感悟 复数具有代数形式，且复数zabi(a，bR)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与方程、函数、数列、解析几何等知识的交汇.反思与感悟 解析答案 跟踪训练 3 复数 z 满足|z3 3i|3，求|z|的最大值和最小值.解 方法一|z3 3i|z|3 3i|，又|z3 3i|3，|3 3i|122 3，|z|2 3|3，即 3|z|3 3，|z|的最大值为 3 3，最小值为 3.方法二|z3 3i|3表示以3 3i 对应的点 P 为圆心，以 3
8、为半径的圆，如图所示，则 OP|3 3i|122 3，显然|z|maxOAOP 33 3，|z|minOBOP 3 3.巧用共轭复数的性质对复数问题进行等价变形、化简，可将复杂的问题变得简单，从而达到事半功倍的效果.共轭复数有以下常见性质：解题技巧 共轭复数的妙用(1)若 zabi(a，bR)，则 zz2a，zz2bi；(2)(z)z；(3)若 zabi(a，bR)，则|z|a2b2|z|，zza2b2|z|2|z|2；(4)zRzz；非零复数 z 是纯虚数zz0；(5)z1z2z1z2，z1z2z1z2，z1z2 z1z2(z20)；(6)zn(z)n(nZ，当 n0 时，要求 z0).例4
9、 已知AOB的三个顶点A，B，O(O为原点)对应的复数分别为z1，z2，0，若|z1|3，|z2|5，|z1z2|7，则 _.解析答案 z1z2解析|z1|3，|z2|5，|z1z2|7，z1z19，z2z225，(z1z2)(z1z2)49，z1z1z2z2z1z2z1z249，即 z1z1z2z2z2z2 z1z2z1z2 z1z1z2z2z2z2z1z2 925z2z1 49，92525z1z29z2z149，即 25z1z2215z1z2 90，z1z2 3103 310 i.3103 310 i解析答案 返回 例5 设|z|1，求|z2z1|的最大值和最小值.解 zz|z|21，|z
10、2z1|z2zzz|z|z1z|z1z|.设 zabi(a，bR)，则|z1z|2a1|.|z|1，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，1a1，0|2a1|3.|z2z1|的最大值为3，最小值为0.当堂检测 12345解析答案 1.已知A1,2，a23a1(a25a6)i，B1,3，AB3，则a的值为_.解析 由题意知，a23a1(a25a6)i3(aR)，a23a13，a25a60，即a4或a1，a6或a1，a1.1 解析答案 123452.定义新运算a bc d adbc，则满足zi z1 1 42i 的复数 z_.解析 zi z1 1 ziz42i，z42i1i(42i)
11、(1i)(1i)(1i)3i.3i123453.计算(2i15)1i222_.解析(2i15)1i222(2i)1i22 11 2ii112i(i)2.2解析答案 解析答案 123454.已知复数 z134i，z2ti，且 z1z2是实数，则实数 t_.解析 已知复数 z134i，z2ti，则 z1z2(3t4)(4t3)i，z1z2是实数，4t30，即 t34.34解析答案 123455.已知 z(1i)23(1i)2i.解 z(1i)23(1i)2i2i33i2i 3i2i(3i)(2i)(2i)(2i)55i51i，|z|1(1)2 2.(2)若z2azb1i，求实数a，b的值.解 由(1)可得z22i，z2azb2ia(1i)b2iaaib(ab)(a2)i，(ab)(a2)i1i，ab1，(a2)1，解得a3，b4.课堂小结 返回 1.复数的概念是考查复数的基础，需准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念.2.复数四则运算要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数.最后整理成abi(a，bR)的结构形式.3.复数几何意义在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义.
