1、辽宁省丹东市东港市第三中学2020届高三数学模拟考试试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第卷（选择题共60分）一、 选择题（共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知集合，集合，则有A.B.C.D.2.若复数满足，则在复平面内与复数对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.“为第一或第四象限角”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度. 某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱离贫困的
2、户数占当年贫困户总数的比）为70%，2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：实施项目种植业养殖业工厂就业服务业参加户占比40%40%10%10%脱贫率95%95%90%90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）倍A. B. C. D.5.已知正项等比数列的前项和为，则公比的值为 A. B. C. D.6.在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则 A. B. C. D.7.人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级
3、，其中0dB是人能听到的等级最低的声音. 一般地，若强度为的声音对应的等级为dB，则有，则90dB的声音与60dB的声音强度之比 A.100 B.1000 C. D.8.如图，在以下四个正方体中，使得直线与平面垂直的个数是 A.1 B.2 C.3 D.49.已知圆与抛物线的准线交于，两点，且，为该抛物线上一点，垂足为点，点为该抛物线的焦点.若是等边三角形，则的面积为 A.B.4 C.D.210.已知函数，若函数的图象上存在关于坐标原点对称的点，则实数的取值范围是A. B.C.D.11.已知为双曲线上位于右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，则的最小值为 A. B. C. D.12.已知
4、函数（，）满足，且在区间上是单调函数，则的值可能是A.3 B.4 C.5D.6第卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上.）13.等差数列中，公差，是其前项和，若，则 .14.已知实数，满足约束条件，则的最小值为 .15.圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，若圆锥的底面半径为3，则圆锥的内切球的表面积为 . 16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数. 设，则函数的所有零点之和为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分. 解答应写出文
5、字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在 ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题已知在锐角中，角，的对边分别为，的面积为，若，求的面积的大小18.（本小题满分12分）一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x（元）与销量（杯）的相关数据如下表：单价x（元）8.599.51010.5销量y（杯）120110907060（）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大?（结果四舍五入保留到整数）附：线性回归方程中
6、斜率和截距最小二乗法估计计算公式：，.19.（本小题满分12分）如图，在四边形中，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（）证明：平面；（）若为的中点，三棱锥的表面积为，求三棱锥的体积.20.(本小题满分12分)已知函数，.（）求 的单调区间；（）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点. 如果函数存在不动点，求实数的取值范围.21.（本小题满分12分）已知长度为4的线段的两个端点分别在轴和轴上运动，动点满足，记动点的轨迹为曲线.（）求曲线的方程；（）设曲线与轴的正半轴交于点，过点作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点，两点，连接，求的面积的最大值请考生在第22，23题中任选一题做答，
7、如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）【选修44：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线的极坐标方程为.（）求曲线的极坐标方程与射线的直角坐标方程；（）若射线与曲线交于，两点，求.23.（本小题满分10分）【选修4-5: 不等式选讲】已知，函数，.（）若，求的取值范围；（）若对恒成立，求的最大值与最小值之和.答案第卷（选择题共60分）一、 选择题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，集合，则有（）ABCD【详解】,故选C.2.若复数满足
8、，则与复数对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限【详解】，点位于第四象限故选：D3.“为第一或第四象限角”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【详解】时，是第一或第二象限角或终边在轴正半轴，因此“为第一或第四象限角”是“”的充分不必要条件故选：A4.C5.已知正项等比数列的前项和为，则公比的值为（）ABCD【详解】，化为：，解得故选：6.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则A. B. C. D.【解析】连接，则故答案为：C.7.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，其中0d
9、B是人能听到的等级最低的声音.一般地，如果强度为的声音对应的等级为的dB，则有,则90dB的声音与60dB的声音强度之比A.100B.1000 C. D.【详解】令,则,则,同理,所以答案:B8如图，在以下四个正方体中，使得直线与平面垂直的个数是（） A1 B2C3D4【详解】对于A，由与所成角为，可得直线与平面不垂直；对于B，由，可得平面；对于C，由与所成角为，可得直线与平面不垂直；对于D，连接，由平面，可得，同理可得，又，所以平面.故选：B9.已知圆与抛物线的准线交于，两点，且，为该抛物线上一点，于点，点为该抛物线的焦点.若是等边三角形，则的面积为（ ）A. B. 4C. D. 2【详解】
10、由可得圆心到的距离为，即，即所以抛物线的方程为因为是等边三角形，焦点到准线的距离为2所以的边长为4所以故选：A10.已知函数若函数的图象上存在关于坐标原点对称的点，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】存在两对称点,则,即,故与有交点,先求得与相切时的斜率,进而求解即可【详解】由题,设两对称点,，则,所以,即与有交点,设与的切点为,则切线斜率为,又有,所以,即,所以当与有交点时,故选:B11.已知为双曲线上位于右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，则的最小值为A.B. C.D.【详解】由题意双曲线的渐近线为，即，设，不妨设在渐近线上，在双曲线上，则，两渐近线夹角为
11、，当且仅当时等号成立，即最小值为，D正确12已知函数（，）满足，且在上是单调函数，则的值可能是A3B4C5D6【详解】函数满足，所以函数关于对称，同时又满足，所以函数又关于对称，设周期为,，而显然是奇数，当=3时，关于对称，而，显然不单调；当=5时，关于对称，而，显然单调，故选C第卷（非选择题共90分）二、填空题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在等差数列中，首项，公差，是其前项和，若，则答案:46解：因为等差数列中，首项，公差，其前项和,所以，,解得,14.已知点满足约束条件则的最小值为_.【答案】【详解】作出可行域，如图，由图可知点到距离最小，联立和，得，所以原点到
12、点的距离的最小值为.故答案为：.15圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥的内切球的表面积为【详解】设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为，侧面积与底面积的比为,则母线l=2r,所以轴截面为边长为6的等边三角形其内切圆的半径为，所以所求内切球的表面积为16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则函数的所有零点之和为【详解】由题意知，当时，所以不是函数的零点，当时，可得，令，作出函数的图象如图所示：由图象可知，除点外，函数图象其余交点关于（0，1）中心对称，
13、横坐标互为相反数，即，由函数零点的定义知，函数的所有零点之和为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题已知在锐角中，角，的对边分别为，的面积为，若，求的面积的大小【详解】因为，所以显然，所以，又，所以若选择由得,又,，由，得又，所以若选择，所以18. (本小题满分12分)18.（本小题满分12分）一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x（元）与销量（杯）的相关数据如下表：单价x（元）8.599.51010.5销量y（杯）120110907060（
14、）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大?（结果四舍五入保留到整数）附：线性回归方程中斜率和截距最小二乗法估计计算公式：，.19. (本小题满分12分)如图，在四边形中，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面；（）若为的中点，三棱锥的表面积为，求三棱锥的体积.【详解】（1）证明：因为，所以平面，又因为平面，所以.又因为，所以平面.（2）平面，三棱锥的各面均为直角三角形，设，则，三棱锥的表面积为，为的中点，20.(本小题满分12分)已知函数，.（
15、1）求 的单调区间；（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.【详解】(1)的定义域为，对于函数，当时，在恒成立.在恒成立.在为增函数； 当时，由，得；由，得；在为增函数，在减函数.综上，当时，的单调递增区间为当时，的单调递增区间为，单调递减区间为（2），存在不动点，方程有实数根，即有解， 5分 令，6分 令，得，当时，单调递减； 当时，单调递增； ， 8分设,则,即时,将两边取对数,则 10分当时,当时 , 当时，有不动点，的范围为. 12分21.(本小题满分12分)已知长度为4的线段的两个端点分别在轴和轴上运动，动点满足，记动点的轨迹为
16、曲线.（）求曲线的方程；（）设曲线与轴的正半轴交于点，过点作互相垂直的两条直线，分别交曲线C于点，两点，连接，求的面积的最大值【详解】（）解：设.，即. 又，.从而.曲线的方程为.（）由题意可知，直线的斜率存在且不为o故可设直线的方程为，由对称性，不妨设，由，消去得，则，将式子中的换成，得：，设，则故，取等条件为即，即，解得时，取得最大值请考生在2223中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)【选修44：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程与射线的直角坐标方程；（2）若射线与曲线交于，两点，求.解：（1）由得，即，故曲线的极坐标方程为.射线的直角坐标方程为.（2）将代入，得，即，则，所以.23.(本小题满分10分)【选修4-5: 不等式选讲】已知，函数，.（1）若，求的取值范围；（2）若对恒成立，求的最大值与最小值之和.解：（1）因为，所以，两边同时平方得，即，当时，；当时，.（2）因为，所以的最小值为3，所以，则，解得，故的最大值与最小值之和为.
