1、课时跟踪检测（七十八） 绝对值不等式1.(2019沈阳模拟)已知函数f(x)|x1|xa|.(1)若函数f(x)的值域为2，)，求实数a的值；(2)若f(2a)f(2)，求实数a的取值范围.解：(1)|x1|xa|(x1)(xa)|a1|，|a1|2，解得a3或a1.(2)由f(2a)f(2)，得3|a1|a2|1，则或或解得a0或a2或a2，综上，实数a的取值范围是(，0.2.已知f(x)|2x3|2x1|.(1)求不等式f(x)2的解集；(2)若存在xR，使得f(x)|3a2|成立，求实数a的取值范围.解：(1)不等式f(x)2等价于或或解得x 或x0，不等式f(x)2的解集是(，0).(
2、2)f(x)|(2x3)(2x1)|4，f(x)max4，|3a2|4，解得a2，实数a的取值范围是.3.(2018成都模拟)已知函数f(x)|x2|k|x1|，kR.(1)当k1时，若不等式f(x)4的解集为x|x1xx2，求x1x2的值；(2)当xR时，若关于x的不等式f(x)k恒成立，求k的最大值.解：(1)由题意，得|x2|x1|4.当x2时，原不等式可化为2x5，2x；当x1时，原不等式可化为2x3，x1；当1x2时，原不等式可化为34，1x2.综上，原不等式的解集为，即x1，x2.x1x21.(2)由题意，得|x2|k|x1|k在xR上恒成立，则当x2时，不等式3kk成立，k0.当
3、x2或x0时，|x1|1，不等式|x2|k|x1|k恒成立.当2x1时，原不等式可化为2xkxkk，可得k1，k3.当1x0时，原不等式可化为2xkxkk，可得k1，k3.综上，可得0k3，即k的最大值为3.4.(2018全国卷)已知f(x)|x1|ax1|.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围.解：(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)1的解集为.(2)当x(0,1)时|x1|ax1|x成立，等价于当x(0,1)时|ax1|1成立.若a0，则当x(0,1)时，|ax1|1，不满足题意；若a0，则|ax
4、1|1的解集为，所以1，故0a2.综上，a的取值范围为(0,2.5.(2018甘肃第二次诊断检测)设函数f(x)|x3|，g(x)|x2|.(1)解不等式f(x)g(x)2；(2)对于实数x，y，若f(x)1，g(y)1，证明：|x2y1|3.解：(1)解不等式|x3|x2|2.当x2时，原不等式可化为3x2x2，可得x，所以x2.当2x3时，原不等式可化为3xx22，可得12，所以2x3.当x3时，原不等式可化为x3x22，可得x，所以3x.综上，不等式f(x)g(x)2的解集为.(2)证明：|x2y1|(x3)2(y2)|x3|2|y2|123，当且仅当或时等号成立.6.设函数f(x)5|
5、xa|x2|.(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围.解：(1)当a1时，f(x)当x1时，由2x40，解得2x1；当1x2时，显然满足题意；当x2时，由2x60，解得2x3，故f(x)0的解集为x|2x3.(2)f(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且当x2时等号成立.故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(，62，).7.(2018全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)当x0，)时，f(x)axb，求ab的最小值.解：(1)f(x)yf(x)的图象如图所示.(
6、2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值为5.8.设函数f(x)|x2m|(m0).(1)求证：f(x)8恒成立；(2)求使得不等式f(1)10成立的实数m的取值范围.解：(1)证明：由绝对值三角不等式的性质及m0，得f(x)|x2m|2m2 8，当且仅当2m，即m2时取等号.所以f(x)8恒成立.(2)f(1)|12m|(m0)，当 12m0，即m时，f(1)1(12m)2m，由f(1)10，得2m10，化简得m25m40，解得m1或m4，所以m1或m4；当12m0，即0m时，f(1)1(12m)22m.由f(1)10，得22m10，此式在0m时恒成立.综上，当f(1)10时，实数m的取值范围是(0,1)(4，).
