1、第 2 讲 统计与统计案例考点 1 抽样方法1简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取适用范围：总体中的个体较少2系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取适用范围：总体中的个体数较多3分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取适用范围：总体由差异明显的几部分组成例 1(1)2019全国卷某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1,2，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是()A8 号学生B200 号学生C616 号学生D815 号学生(2)2019全国卷西游记三国演
2、义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A0.5 B0.6 C0.7 D0.8【解析】(1)本题考查系统抽样；考查了数据处理能力；考查的核心素养为数据分析将 1 000 名学生分成 100 组，每组 10 人，则每组抽取的号码构成公差为 10 的等差数列an，由题意知 a546，则 ana5(n5)1010n4，nN*，
3、易知只有 C 选项满足题意故选 C.(2)本题主要考查用样本估计总体；考查学生对实际问题的处理能力和数据分析能力；考查了数据分析的核心素养在样本中，仅阅读过西游记的学生人数为 908010，又由既阅读过西游记又阅读过红楼梦的学生人数为 60，得阅读过西游记的学生人数为 106070，所以在样本中阅读过西游记的学生人数所占的比例为 701000.7，即为该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值【答案】(1)C(2)C(1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；(3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体
4、容量中的比例.对接训练12019河北枣强中学期末总体由编号为 01,02，19,20 的 20个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 6 个数字开始向右读(每两个连续数字组成一个编号)，则选出来的第 5 个个体的编号为()21 16 65 08 90 34 20 76 43 81 26 34 91 64 17 50 71 59 45 0691 27 35 36 80 72 74 67 21 33 50 25 83 12 02 76 11 87 05 26A12 B07C15 D16解析：从随机数表第 1 行的第 6 个数字开始由左到右依次选取两个数字
5、中小于 20 的编号依次为 03,07,12,16,07,15，其中第二个和第五个都是 07，重复，所以选出的 5 个个体的编号为 03,07,12,16,15，则第5 个个体的编号为 15.故选 C.答案：C22019惠州市高三第二次调研某班共有 56 人，学号依次为1,2,3，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知学号为 2,30,44 的同学在样本中，则样本中还有一位同学的学号为_解析：由题意得，需要将 56 人按学号从小到大分成 4 组，每组抽取第 2 个学号对应的同学，所以还有一位同学的学号为 114216.答案：16考点 2 用样本估计总体1频率分布直方图中横坐标
6、表示组距，纵坐标表示频率组距，频率组距频率组距.2频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1.3利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和例 2(1)2018江苏卷已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5位裁判打出的分数的平均数为_；(2)2017全国卷为评估一种农作物的种植效果，选了
7、 n 块地作试验田这 n 块地的亩产量(单位：kg)分别为 x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()Ax1，x2，xn的平均数 Bx1，x2，xn的标准差Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn的中位数【解析】(1)这 5 位裁判打出的分数分别是 89,89,90,91,91，因此这 5 位裁判打出的分数的平均数为8989909191590.(2)因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差故选 B.【答案】(1)90(2)B众数、中位数、平均数与直方图的关系(1)众数为频率分布直方图中
8、最高矩形的底边中点的横坐标(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之积的和.对接训练32019河北石家庄模拟已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习 10 组，每组罚球 40 个，每组投中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是()A甲投中个数的极差是 29B乙投中个数的众数是 21C甲的投中率比乙高D甲投中个数的中位数是 25解析：由茎叶图可知甲投中个数的极差为 37829，故 A 正确；易 知 乙 投 中 个 数 的 众 数 是 21，故 B 正 确；甲 的 投 中 率 为812
9、13202224252627374010 0.535，乙 的 投 中 率 为911131418192021212340100.422 5，所以甲的投中率比乙高，C 正确；甲投中个数的中位数为2224223，D 不正确故选 D.答案：D42019河北衡水中学五调某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了 2018 年 1 月至 2018 年 11 月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据，绘制了下面的折线图根据折线图，下列结论正确的是()A月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的平均里程数B月跑步平均里程逐月增加C月跑步平均里程高峰期大致在 8 月和 9 月D1 月至 5
10、月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳解析：由折线图知，月跑步平均里程的中位数为 5 月份对应的平均里程数，A 错；月跑步平均里程不是逐月增加的，B 错；月跑步平均里程高峰期大致在 9 月和 10 月，C 错故选 D.答案：D考点 3 变量的相关性与统计案例1线性回归方程方程ybxa称为线性回归方程，其中bi1nxiyin x yi1nx2in x2，a yb x；(x，y)称为样本中心点2随机变量K2(2)abcdadbc2abcdacbd，若 K2(2)3.841，则有 95%的把握说两个事件有关；若 K2(2)6.635，则有 99%的把握说两个事件有关例
11、 3 2019全国卷某商场为提高服务质量，随机调查了 50名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K2nadbc2abcdacbd.P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】本题通过对概率与频率的关系、统计案例中两变量相关性检验考查学生的抽象概括能力与数据处理能力，重点考查数学抽象、数据分析、数学运算的核心素养；倡导学生关注生活，提高数学应用意识(1
12、)由调查数据知，男顾客中对该商场服务满意的比率为40500.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为30500.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.6.(2)K2100402030102505070304.762.由于 4.7623.841，故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.(1)求回归直线方程的关键正确理解计算b，a的公式和准确的计算在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值(2)独立性检验的关键
13、根据 22 列联表准确计算 K2，若 22 列联表没有列出来，要先列出此表K2 的观测值 k 越大，对应假设事件 H0 成立的概率越小，H0 不成立的概率越大.对接训练52019湖南长沙长郡中学调研长沙某公司对其主推产品在过去5 个月的月广告投入 xi(万元)和相应的销售额 yi(万元)进行了统计，其中i1,2,3,4,5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些数据如下：i15xi6.8，i15wi10.3，i15yi15.8，i15xiyi22.76，i15wiyi34.15，i15xi x)20.46，i15wi w)23.56，其中 wix2i，i1,2,3,4,5.(1)根据散点图
14、判断 ybxa 与 ycx2d 哪一个适宜作为月销售额 y 关于月广告投入 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及题中所给数据，建立 y 关于 x 的回归方程，并据此估计月广告投入 220 万元时的月销售额附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线 v u的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别 为 解析：(1)根据散点图可知，ycx2d 适宜作为月销售额 y 关于月广告投入 x 的回归方程类型(2)由题意知，34.15510.35 15.853.560.45，d y0.45w15.85 0.4510.3
15、5 2.233，故回归方程为y0.45x22.233，当月广告投入为 220 万元时，月销售额y0.4522022.23321 782.233(万元)故选择 ycx2d作为回归方程模型，当月广告投入为 220万元时，月销售额约为 21 782.233 万元课时作业 17 统计与统计案例12019湖南五市十校联考在某次赛车中，50 名参赛选手的成绩(单位：min)全部介于 13 到 18 之间(包括 13 和 18)，将比赛成绩分为五组：第一组13,14)，第二组14,15)，第五组17,18其频率分布直方图如图所示，若成绩在13,15)内的选手可获奖，则这 50 名选手中获奖的人数为()A39
16、 B35C15 D11解析：由频率分布直方图知成绩在15,18内的频率为(0.380.320.08)10.78，所以成绩在13,15)内的频率为 10.780.22，则成绩在13,15)内的选手有 500.2211(人)，即这 50 名选手中获奖的人数为 11，故选 D.答案：D22019湖北黄冈期末为了调查学生对某项新政策的了解情况，准备从某校高一 A，B，C 三个班级中抽取 10 名学生进行调查已知A，B，C 三个班级的学生人数分别为 40,30,30.考虑使用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按 A，B，C 三个班级依次统一编号为 1,2，10
17、0；使用系统抽样时，将学生按 A，B，C 三个班级依次统一编号为 1,2，100，并将所有编号依次平均分为 10 组如果抽得的号码有下列四种情况：7,17,27,37,47,57,67,77,87,97；3,9,15,33,43,53,65,75,85,95；9,19,29,39,49,59,69,79,89,99；2,12,22,32,42,52,62,73,83,96.关于上述样本的下列结论中，正确的是()A都可能为分层抽样B都不能为分层抽样C都可能为系统抽样D都不能为系统抽样解析：对于，既满足系统抽样的数据特征，又满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样或系统抽样；对于，只满足分层抽样
18、的数据特征，所以可能是分层抽样；对于，既满足系统抽样的数据特征，又满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样或系统抽样；对于，只满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样故选 A.答案：A32019广东惠州一调已知数据 x1，x2，x10,2 的平均值为 2，方差为 1，则数据 x1，x2，x10 相对于原数据()A一样稳定B变得稳定C变得不稳定D稳定性不可以判断解析：数据 x1，x2，x10,2 的平均值为 2，方差为 1，故 111(x12)2(x22)2(x102)2(22)21，数据 x1，x2，x10 的方差 s2 110(x12)2(x22)2(x102)21，故相对于原数据变得不
19、稳定，故选 C.答案：C42019陕西商洛质检在一次 53.5 千米的自行车个人赛中，25名参赛选手成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为 125 号，再用系统抽样的方法从中选取 5 人，已知选手甲的成绩为 85 分钟，若甲被选取，则被选取的其余 4 名选手的成绩的平均数为()A.95 B96C97 D98解析：由系统抽样法及已知条件可知被选中的其他 4 人的成绩分别是 88,94,99,107，故平均数为889499107497，故选 C.答案：C52019湖北重点高中协作体联考某镇有 A，B，C 三个村，它们的人口数量之比为：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n
20、 的样本，样本中 A 村有 15 人，则样本容量为()A50 B60C70 D80解析：设 A，B，C 三个村的人口数量分别为 3x,4x,7x，则由题意可得3x153x4x7xn，解得 n70，故选 C.答案：C62019云南昆明诊断某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份123456人均销售额658347利润率(%)12.610.418.53.08.116.3根据表中数据，下列说法正确的是()A利润率与人均销售额成正相关关系B利润率与人均销售额成负相关关系C利润率与人均销售额成正比例函数关系D利润率与人均销售额成反比例函数关系解析：画出利润率与人均销售额的散点
21、图，如图由图可知利润率与人均销售额成正相关关系故选 A.答案：A72019河南濮阳摸底根据如表数据，得到的回归方程为ybx9，则b()x45678y54321A.2 B1C0 D1解析：由题意可得 x15(45678)6，y15(54321)3，因为回归方程为ybx9 且回归直线过点(6,3)，所以 36b9，解得b1，故选 D.答案：D82019宁夏银川一中月考利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好该项运动，得到 22 列联表，并计算可得 K28.806.P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k
22、02.7063.8415.0246.6357.87910.828参照临界值表，得到的正确结论是()A有 99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别无关”B有 99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别有关”C在犯错误的概率不超过 0.05%的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关”D在犯错误的概率不超过 0.05%的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别无关”解析：由于 8.8067.879，所以根据独立性检验的知识可知有 99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别有关”，故选 B.答案：B92019安徽六安毛坦厂中学月考某位教师 2017 年的家庭总收入为 80 000 元
23、，各种用途占比统计如下面的折线图.2018 年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知 2018 年的就医费用比 2017 年增加了 4 750 元，则该教师 2018 年的家庭总收入为()A100 000 元B95 000 元C90 000 元D85 000 元解析：由已知得，2017 年的就医费用为 80 00010%8 000(元)，故 2018 年的就医费用为 8 0004 75012 750(元)，所以该教师 2018年的家庭总收入为12 75015%85 000(元)故选 D.答案：D102019华中师范大学第一附属中学期末给出下列结论：某学校从编号依次为 001,002，900
24、 的 900 个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053,098，则样本中最大的编号为 862；甲组数据的方差为 5，乙组数据为 5,6,9,10,5，那么这两组数据中甲组数据比较稳定；两个变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的值越接近于 1；对 A，B，C 三种个体按：2 的比例进行分层抽样调查，若抽取的 A 种个体有 15 个，则样本容量为 30.则正确的个数是()A3 B2C1 D0解析：中，样本中相邻的两个编号为 053,098，则样本组距为 985345，所以样本容量为90045 20，则样本中最大的编号为 5345(20 2)863，故 错 误；
25、中，乙 组 数 据 的 平 均 数 为56910557，所以乙组数据的方差为15(57)2(67)2(97)2(107)2(57)24.45.024.故能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造与企业规模大小”有关(2)由(1)可知，从支持技术改造的中、小型企业中，按分层抽样的方法抽出 8 家企业，其中有 2 家中型企业，分别用 x，y 表示，6 家小型企业，分别用 1,2,3,4,5,6 表示则从中选取 2 家企业的所有可能情况为 xy，x1，x2，x3，x4，x5，x6，y1，y2，y3，y4，y5，y6,12,13,14,15,16,23,24,25,26
26、,34,35,36,45,46,56，共 28 种，其中奖励总金额为 20 万元的有 12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共 15种所以奖励总金额为 20 万元的概率为1528.172019河南南阳期末联考某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用该平台且平均每周消费金额超过 100 元的人员中随机抽取了 100 名，并绘制如图所示的频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列(1)求 m，n 的值(2)分析人员对这 100 名调查对象的性别进行统计，发现平均每周消费金额不低于 300 元的男性有 20 人，低于 300 元
27、的男性有 25 人，请根据统计数据完成下列 22 列联表，并判断是否有 99%的把握认为平均每周消费金额与性别有关？男性女性合计平均每周消费金额300平均每周消费金额300合计(3)分析人员对抽取对象平均每周的消费金额 y(元)与年龄 x(岁)进一步分析，发现它们线性相关，得到的回归方程为y5xa.已知这100 名调查对象的平均年龄为 38 岁，试估算一名年龄为 25 岁的年轻人平均每周的消费金额(同一组数据用该区间的中点值作代表)22 列联表：附：K2nadbc2abcdacbd，其中 nabcd.P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解析：(1)由
28、频率分布直方图可知，mn0.010.001 520.0010.006，由题意可知 m0.001 52n，解得 m0.003 5，n0.002 5.(2)平均每周消费金额不低于 300 元的频率为(0.003 50.001 50.001)1000.6，因此这 100 名调查对象中，平均每周消费金额不低于 300 元的人数为 1000.660(人)所以 22 列联表为男性女性合计平均每周消费金额300204060平均每周消费金额6.635，所以有 99%的把握认为平均每周消费金额与性别有关(3)调查对象的平均每周消费金额为 0.151500.252500.353500.154500.1055033
29、0(元)，由题意得 330538a，解得a520.y525520395(元)故一名年龄为 25 岁的年轻人平均每周的消费金额约为 395 元182019福建三明月考统计学中经常用环比、同比来进行数据比较环比是指本期统计数据与上期比较，如 2017 年 7 月与 2017 年 6月相比环比增长率本期数上期数上期数100%，同比增长率本期数同期数同期数100%.下表是某地区近 17 个月来的消费者信心指数的统计数据：序号x12345678时间2017年1 月2017年2 月2017年3 月2017年4 月2017年5 月2017年6 月2017年7 月2017年8 月消费者信心指数 y107.21
30、08.6108.4109.2112.6111113.4112910111213141516172017年9 月2017年10 月2017年11 月2017年12 月2018年1 月2018年2 月2018年3 月2018年4 月2018年5 月113.3114.6114.7118.6123.9121.3122.6122.3124(1)求该地区 2018 年 5 月消费者信心指数的同比增长率(百分比形式下保留整数)；除 2017 年 1 月外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？(2)由以上数据可判断，序号 x 与该地区消费者信心指数 y 具有线性相关关系，求出 y 关于 x 的线
31、性回归方程ybxa(a，b保留 2 位小数)，并依此预测该地区 2018 年 6 月的消费者信心指数(结果保留 1 位小数)参考数据与公式：i117xiyi18 068.5，i117x2i1 785，x9，y115，b，a yb x.解析：(1)该地区 2018 年 5 月消费者信心指数的同比增长率为124112.6112.6100%10%.若月环比增长率为负数，则本期数上期数，从表中可以看出，2017 年 3 月、2017 年 6 月、2017 年 8 月、2018 年 2 月、2018 年 4 月共 5 个月的月环比增长率为负数(2)由已知，得1.16，a yb x104.56，线性回归方程为y1.16x104.56.当 x18 时，y125.4，故该地区 2018 年 6 月的消费者信心指数约为 125.4.
