1、课时作业29平面向量数量积的应用一、选择题1(2019株洲模拟)在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是(C)A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：由()|2，得()0，即()0,20，A90.又根据已知条件不能得到|，故ABC一定是直角三角形2已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是(D)A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：(2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)y2x2，y2x6，即点P的轨迹是抛物线3已知向量m(1，cos)，n(sin，2)，且mn，则sin26cos2的值为(B)A.B2C2D2解析：由题意可得mnsin
2、2cos0，则tan2，所以sin26cos22.故选B.4(2019安徽江南十校联考)已知ABC中，AB6，AC3，N是边BC上的点，且2，O为ABC的外心，则的值为(D)A8 B10C18 D9解析：由于2，则，取AB的中点为E，连接OE，由于O为ABC的外心，则，26218，同理可得232，所以18639，故选D.5(2019广东广雅中学等四校联考)已知两个单位向量a，b的夹角为120，kR，则|akb|的最小值为(B)A. B. C1 D.解析：两个单位向量a，b的夹角为120，|a|b|1，ab，|akb|，kR，当k时，|akb|取得最小值，故选B.6在ABC中，已知向量(2,2)
3、，|2，4，则ABC的面积为(C)A4 B5 C2 D3解析：(2,2)，|2.|cosA22cosA4，cosA，0A，sinA，SABC|sinA2.故选C.7(2018天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则的最小值为(A)A. B.C. D3解析：解法1：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(0，)，令E(0，t)，t0，(1，t)t2t，t0，当t时，取得最小值，()min.故选A.解法2：令(01)，由已知可得DC，()()|22|232.当时，取得
4、最小值.故选A.二、填空题8已知O为ABC内一点，且20，则AOC与ABC的面积之比是12.解析：如图所示，取AC的中点D，2，O为BD的中点，面积比为高之比即.9已知|a|2|b|，|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根，则向量a与b的夹角是.解析：由已知可得|a|24ab0，即4|b|242|b|2cos0，cos.又0，.10已知ABC是直角边长为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P为平面ABC内一点，则()的最小值是1.解析：解法1：如图，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)，设P(x，y)，
5、则(x，y)，(2x，y)，(x,2y)，(22x,22y)，()x(22x)y(22y)2(x)22(y)211(当且仅当xy时等号成立)，()的最小值为1.解法2：()()(2)设BC的中点为D，则2，()2()2，2|22|，(2)min2|，此时点P在线段AD上(异于A，D)，设(10)，则(a,3)，(xa，y)，(x，by)，由0，得a(xa)3y0.由，得(xa，y)(x，by)x，(yb)，b0，y0，把a代入到中，得3y0，整理得yx2(x0)动点M的轨迹方程为yx2(x0)12在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m，n(c，b2a)，且mn0.(1)求角
6、C的大小；(2)若点D为边AB上一点，且满足，|，c2，求ABC的面积解：(1)由题意知m(cosB，cosC)，n(c，b2a)，mn0，则ccosB(b2a)cosC0.在ABC中，由正弦定理得sinCcosB(sinB2sinA)cosC0，整理得sinCcosBsinBcosC2sinAcosC0，即sin(BC)2sinAcosC.故sinA2sinAcosC，又sinA0，cosC，C(0，)，C.(2)由知，2，两边平方得4|2b2a22bacosACBb2a2ba28.又c2a2b22abcosACB，a2b2ab12.由得ab8，SABCabsinACB2.13已知O是平面上
7、的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足，(0，)，则(D)A动点P的轨迹一定通过ABC的重心B动点P的轨迹一定通过ABC的内心C动点P的轨迹一定通过ABC的外心D动点P的轨迹一定通过ABC的垂心解析：由条件，得，从而0，所以，则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心14已知向量a，b满足：|a|b|1，且ab，若cxayb，其中x0，y0且xy2，则|c|的最小值是.解析：|a|b|1，且ab，当cxayb时，c2x2a22xyaby2b2x2xyy2(xy)2xy；又x0，y0且xy2，xy()21，当且仅当xy1时取“”，c2(xy)2()22213，|c|的最小值是.15(
8、2019重庆市质量调研)已知RtABC中，AB3，BC4，AC5，I是ABC的内心，P是IBC内部(不含边界)的动点，若(，R)，则的取值范围是(A)A(，1) B(，2)C(，1) D(2,3)解析：以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，A(3,0)，C(0,4)设ABC的内切圆的半径为r，因为I是ABC的内心，所以(534)r43，解得r1，所以I(1,1)设P(x，y)，因为点P在IBC内部(不含边界)，所以0x1.因为(3,0)，(3,4)，(x3，y)，且，所以得所以1x，又0x0)上，如图，数形结合可知|ab|min|1.故选A.解法2：由b24eb30得b24eb3e2(be)(b3e)0.设b，e，3e，所以be，b3e，所以0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图设a，作射线OA，使得AOE，所以|ab|(a2e)(2eb)|a2e|2eb|1.故选A.
