1、核心素养测评七 指数与指数函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.的化简结果为()A.2B.3C.4 D.6【解析】选B.原式=1=320=3.2.(2020抚州模拟)已知ab1,ab=ba,ln a=4ln b,则=()A.B. 2C.D.4【解析】选D.ab1,ln a=4ln bln a=ln b4a=b4,ab=bab4b=ba4b=a=4.3.(2019武汉模拟)已知a=0.24,b=0.32,c=0.43,则()A.bacB.acbC.cabD.abca.4.(a2-a+2 021)-x-11,所以-x-1-2.5.(2019太原模拟)函数f(x)=ax-b的图
2、像如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()A.a1,b1,b0C.0a0D.0a1,b0【解析】选D.由题干图像知f(x)是减函数,所以0a1,又由图像在y轴上的截距小于1可知a-b0,所以b0.6.(2020北京模拟)若ea+be-b+-a,则有()A.a+b0B.a-b0C.a-b0D.a+b0【解析】选D.令f(x)=ex-x,则f(x)在R上单调递增,又ea+be-b+-a,所以ea-ae-b-b,即f(a)f(-b),所以a-b,即a+b0.7.(2019十堰模拟)定义在-7,7上的奇函数f(x),当00的解集为 ()A.(2,7B.(-2,0)(2,7C.(-2,0)(2
3、,+)D.-7,-2)(2,7【解析】选B.当0x7时,f(x)=2x+x-6,所以f(x)在(0,7上单调递增,因为f(2)=22+2-6=0,所以当00等价于f(x)f(2),即2x7,因为f(x)是定义在-7,7上的奇函数,所以-7x0等价于f(x)f(-2),即-2x0的解集为(-2,0)(2,7.二、填空题(每小题5分,共15分)8.指数函数y=f(x)的图像经过点(m,3),则f(0)+f(-m)=_.【解析】设f(x)=ax(a0且a1),所以f(0)=a0=1.且f(m)=am=3.所以f(0)+f(-m)=1+a-m=1+=.答案:9.若f(x)=是R上的奇函数,则实数a的值
4、为_,f(x)的值域为_.【解析】因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,所以=0,解得a=1,f(x)=1-.因为2x+11,所以02,所以-11-1,所以f(x)的值域为(-1,1). 答案:1(-1,1)10.给出下列结论:当a1,nN*,n为偶数);函数f(x)=(x-2-(3x-7)0的定义域是;若2x=16,3y=,则x+y=7.其中正确结论的序号有_.【解析】因为a0,a30,所以错;显然正确;解,得x2且x,所以正确;因为2x=16,所以x=4,因为3y=3-3,所以y=-3,所以x+y=4+(-3)=1,所以错.故正确.答案:(15分钟35分)1.(5分)(2020
5、重庆模拟)设y=f(x)在(-,1上有定义,对于给定的实数K,定义fK(x)=给出函数f(x)=2x+1-4x,若对于任意x(-,1,恒有fK(x)=f(x),则()A.K的最大值为0 B.K的最小值为0C.K的最大值为1 D.K的最小值为1【解析】选D.根据题意可知,对于任意x(-,1,恒有fK(x)=f(x),则f(x)K在x1上恒成立,即f(x)的最大值小于或等于K即可.令2x=t,则t(0,2,f(t)=-t2+2t=-(t-1)2+1,可得f(t)的最大值为1,所以K1.2.(5分)已知函数f(x)=|2x-1|,abf(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是()A.a0,b0,c
6、0B.a0C.2-a2cD.2a+2c2【解析】选D.作出函数f(x)=|2x-1|的图像,如图.因为abf(c)f(b),结合图像知0f(a)1,a0,b1,所以02a1,所以f(a)=|2a-1|=1-2a1,所以f(c)1,所以0c1,所以12cf(c),所以1-2a2c-1,所以2a+2c0,且a1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是()A.(-,2B.2,+)C.-2,+)D.(-,-2【解析】选B.由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-,2上递减,在2,+)上递增,所以f(x)在(-,2上递增,在2,+)上递减.3.(5
7、分)(2020北京模拟)某种物质在时刻t(min)与浓度M(mg/L)的函数关系为M(t)=art+24(a,r为常数).在t=0 min和t=1 min时测得该物质的浓度分别为124 mg/L和64 mg/L,那么在t=4 min时,该物质的浓度为_mg/L;若该物质的浓度小于24.001 mg/L,则最小的整数的值为_.【解析】根据条件:ar0+24=124,ar+24=64,所以a=100,r=,所以M(t)=100+24;所以M(4)=100+24=26.56;由100+2424.001得:(0.1)5;所以lglg(0.1)5;所以tlg-5;所以tlg2-(1-lg2)-5;所以t
8、(2lg 2-1)-5,代入lg 20.301得:-0.398t12.6;所以最小的整数t的值是13.答案:26.5613【变式备选】已知a-=3(a0),求a2+a+a-2+a-1的值.【解析】因为a-=3,所以a2+=+2a=9+2=11,而=a2+2=13,所以a+=,所以a2+a+a-2+a-1=11+.4.(10分)已知函数y=a+b的图像过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交.(1)求该函数的解析式,并画出图像.(2)判断该函数的奇偶性和单调性.【解析】(1)因为函数y=a+b的图像过原点,所以0=a+b,即a+b=0,所以b=-a.函数y=a-a=a.又01,-1-10
9、.且y=a+b无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,所以a0且0a0时,y=-2+2=-2+2为单调增函数.当x0时,y=-2+2=-2+2为单调减函数.所以y=-2+2在(-,0)上为减函数,在(0,+)上为增函数.5.(10分)已知函数f(x)=.(1)若a=-1,求f(x)的单调区间.(2)若f(x)有最大值3,求a的值.(3)若f(x)的值域是(0,+),求a的值.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-,-2上单调递增,在-2,+)上单调递减,而y=在R上单调递减,所以f(x)在(-,-2上单调递减,在-2,+)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是-2,+),单调递减区间是(-,-2.(2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,因此必有解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.(3)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由指数函数的性质知要使f(x)=的值域为(0,+),应使g(x)=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a0,则g(x)为二次函数,其值域不可能为R).故f(x)的值域为(0,+)时,a的值为0.
