1、专题研究(三)探索性问题题型圆锥曲线中的探索性问题例1已知椭圆C：1(ab0)的焦点F1的坐标为(c,0)，F2的坐标为(c,0)，且经过点P，PF2x轴(1)求椭圆C的方程；(2)设过F1的直线l与椭圆C交于A，B两个不同点，在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)由题知c1，又因为a2b2c2，所以a2，b.所以椭圆C的方程为1.(2)假设存在点M(x0，y0)，当直线l的斜率不存在时，|F1M|F1F2|，即ac2c，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立消
2、去y得(34k2)x28k2x4k2120，144(k21)0，x1x2，y1y2k(x1x22)，则AB的中点坐标为.AB的中点与MF2的中点重合，代入椭圆的方程1，化简得80k424k2270，解得k2，即k.存在点M使四边形AMBF2为平行四边形，直线l的方程为y(x1)例2(2022沈阳高三质检)已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，M(2，y0)是C上一点，且|MF|2.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，点P关于直线AB的对称点为Q，判断四边形PAQB是否存在外接圆？如果存在，求出
3、外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由解(1)根据题意知，42py0，因为|MF|2，所以y02. 联立，解得y01，p2.所以抛物线C的方程为x24y.(2)四边形PAQB存在外接圆由(1)知F(0,1)，设直线AB的方程为ykx1，代入x24y中，得x24kx40，16(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x24，所以|AB|x1x2|4(k21)因为C：x24y，即y，所以y，因此切线l1的斜率k1，切线l2的斜率k2.所以k1k21，所以PAPB，即PAB是直角三角形，所以PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是外接圆的直径，由于点Q与点P
4、关于直线AB对称，所以点Q一定在PAB的外接圆上，即四边形PAQB存在外接圆又|AB|4(k21)，所以当k0时，线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4.解题策略存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意变式训练设椭圆E的方程为y21(a0)，点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为(a,0)，(0,1)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为
5、.(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为k的直线l交椭圆E于C，D两点，交y轴于点T(0，t)(t1)，是否存在实数t，使得以CD为直径的圆恒过点B？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由解(1)设点M的坐标为(x0，y0)，x0，y0，又，a2，椭圆E的方程为y21.(2)直线l的方程为ykxt，代入y21，得(4k21)x28ktx4t240.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则16(1t24k2)0，x1x2，x1x2.假设存在实数t，使得以CD为直径的圆恒过点B，则.(x1，y11)，(x2，y21)，x1x2(y11)(y21)0，即x1x2(kx1t1)(kx2t1)0，得(k2
6、1)x1x2k(t1)(x1x2)(t1)20，整理得5t22t30，解得t(t1)，即当t时，符合题意1(2021陕西榆林模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)由题意，知点在椭圆上，故a29，b21，椭圆C的标准方程为y21.(2)由(1)知椭圆的右焦点为F(2，0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为P(x0，y0)
7、，直线l的斜率为k，直线FP的斜率为k，则两式相减整理，得(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0，k，又k，若存在满足题意的直线l，则kk1，即x0(3,3)，故不存在满足条件的直线l.2. (2022安徽蚌埠高三第一次教学质量检查)已知抛物线C：y24x的焦点为F，点O为坐标原点，直线l过定点T(t,0)(其中t是常数，且t0，t1)与抛物线C交于A，B两点(点A位于第一象限)(1)当t4时，求证：OAOB；(2)如图，连接AF，BF并延长交抛物线C于A1，B1两点，设ABF和A1B1F的面积分别为S1和S2，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由解(1)证明：设直线
8、l的方程为xmy4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x，得y24my160，所以y1y216.所以(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2y1y2y1y216160，即OAOB.(2)设直线l的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x，得y24my4t0，故y1y24t.设A1(x3，y3)，B1(x4，y4)，直线A1A的方程为xny1，由消去x，得y24ny40，从而y1y34，则y3，同理可得y4，t2，即为定值3已知椭圆1(ab0)，A(2,0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，点C在第一象限，且0，|2|.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P，Q
9、为椭圆上不重合的两点且异于A，B，若PCQ的平分线总是垂直于x轴，问是否存在实数，使得？若存在，求取得最大值时PQ的长；若不存在，请说明理由解(1)0，ACB90.|2|，|2|，即|，AOC是等腰直角三角形，A(2,0)，C(1,1)，而点C在椭圆上，1，又a2，b2，椭圆的标准方程为1.(2)对于椭圆上两点P，Q，PCQ的平分线总是垂直于x轴，PC与CQ所在直线关于直线x1对称，设kPCk(k0且k1)，则kCQk，C(1,1)，直线PC的方程为yk(x1)1，直线QC的方程为yk(x1)1，将代入1，得(13k2)x26k(k1)x3k26k10.C(1,1)在椭圆上，x1是方程的一个根
10、，xP，以k替换k，得到xQ.kPQ.C(1,1)，弦BC过椭圆的中心O，B(1，1)，又A(2,0)，kAB，kPQkAB，PQAB，存在实数，使得，|，当且仅当9k2，即k时取等号，|max，又|，则max，取得最大值时PQ的长为.4. (2021重庆调研)如图，已知椭圆C：1(ab0)，其左、右焦点分别为F1(2，0)及F2(2,0)，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|，|F1F2|，|AF2|构成等差数列(1)求椭圆C的方程；(2)记GF1D的面积为S1，OED(O为坐标原点)的面积为S2.试问：是否存在直线
11、AB，使得S1S2？请说明理由解(1)|AF1|，|F1F2|，|AF2|构成等差数列，|AF1|AF2|2|F1F2|，即2a8.a4.又c2，b212，椭圆C的方程为1.(2)假设存在直线AB，使得S1S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直设直线AB的方程为yk(x2)(k0)，将其代入1，整理得(4k23)x216k2x16k2480，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(xD,0)，x1x2，点G的横坐标为，G.DGAB，k1，解得xD，即D.RtGDF1和RtODE相似，若S1S2，则|GD|OD|，整理得8k290.方程8k290无解，不存在直线AB，使得S1S2.5已知椭圆C：
12、1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，PF1F2内切圆的半径为，设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当lx轴时，|RS|3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由内切圆的性质，得2cb(2a2c)，得.将xc代入1，得y，所以3.又a2b2c2，所以a2，b，故椭圆C的标准方程为1.(2)当直线l垂直于x轴时，显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称当直线l不垂直于x轴时，假设存在T(t,0)满足条件，设直线l的方程为yk(
13、x1)，R(x1，y1)，S(x2，y2)联立方程得(34k2)x28k2x4k2120，由根与系数的关系得其中0恒成立，由TS与TR所在直线关于x轴对称，得kTSkTR0(显然TS，TR的斜率存在)，即0.因为R，S两点在直线yk(x1)上，所以y1k(x11)，y2k(x21)，代入得0，即2x1x2(t1)(x1x2)2t0，将代入得0，则t4，综上所述，存在T(4,0)，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称6(2022上海实验学校高三上摸底考试)已知直线y2x与抛物线：y22px交于G1，G2两点，且|G1G2|，过椭圆C1：1的右顶点Q的直线l交抛物线于A，B两点(1)
14、求抛物线的方程；(2)若射线OA，OB分别与椭圆C1交于点D，E，点O为原点，ODE，OAB的面积分别为S1，S2，问是否存在直线l，使S23S1？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由；(3)若P为直线x2上一点，直线PA，PB与x轴相交于M，N两点，问M，N两点的横坐标的乘积xMxN是否为定值？如果是，求出该定值；否则说明理由解(1)联立方程组解得或所以|G1G2|p2()2，所以p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)设OA的方程为yk1x，OB的方程为yk2x，联立方程组所以A，则|OA|，同理|OB|，联立方程组则|OD|，同理|OE| ，于是，设直线l：xmy2，代入方程y24x，得y24my80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y28，x1x2，因此k1k22，则kk2|k1k2|4，所以3，所以不存在直线l，使S23S1.(3)设P(2，yP)，则，xM，同理xN，于是xMxN，由(2)知，y1y24m，y1y28，所以(2y1x1yP)(2y2x2yP)4y1y2yP4my1y24(y1y2)ym2y1y22m(y1y2)44(y4myP8)，(y1yP)(y2yP)y1y2yP(y1y2)yy4myP8，所以xMxN4，因此xMxN为定值4.
