1、炎德英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷(五)数学(文科) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共10页。时量120分钟。满分150分。第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)设全集UN*，集合A1，2，3，5，B2，4，6，则图中的阴影部分表示的集合为(B)(A)2 (B)4，6(C)1，3，5 (D)2，4，6【解析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(UA)B，(UA)B4，6故选B.(2)已知向量a(1，2)，b(3，5)，若(2ab)c，则c的坐标可以是(D)(A)(2，3) (B)(2，3)
2、(C)(4，4) (D)(4，4)【解析】2ab(1，1)，设c(x，y)，(2ab)c，(2ab)cxy0，即xy.只有D满足上述条件，故选：D.(3)已知直线m，n与平面，满足，m，n，n，则下列判断一定正确的是(D)(A)m， (B)n，(C)， (D)mn，【解析】因为n，则；同时n，m，则mn，所以D选项是正确的；对于A选项中的直线m与平面的位置关系无法判断，B选项中的直线n也可能落在平面内；C选项中的平面与平面也可能相交，故答案选D.(4)下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为(D)S0i1WHILE _INPUTxSSxii1WENDaS/20PRINTaEN
3、D(A)i20 (B)i20 (C)i20 (D)i20【解析】根据题意为一个求20个数的平均数的程序，则循环体需执行20次，从而横线上应填充的语句为i20.故选：D.(5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(B)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6【解析】由题意，几何体为四棱锥，其中底面是上底为2，下底为4，高为2 的直角梯形，棱锥的高为2，所以体积为(24)224；故选B.(6)在矩形ABCD中，AB4，AD3，若向该矩形内随机投一点P，那么使得ABP与ADP的面积都不小于2的概率为(D)(A) (B) (C) (D)【解析】由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使
4、面积不小于2，由于SABPABh2h，则三角形的高要h1，同样，P点到AD的距离要不小于，满足条件的P的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是整个阴影矩形的面积(31)，使得ABP与ADP的面积都不小于2的概率为：；故选D.(7)已知sin，则cos(A)(A) (B) (C) (D)【解析】sin，cos12sin2，coscoscos，故选：A.(8)已知函数yf(x)对任意自变量x都有f(x)f(2x)，且函数f(x)在1，)上单调若数列an是公差不为0的等差数列，且f(a6)f(a2 012)，则an的前2 017项之和为(B)(A)0 (B)2 017 (C)2 016 (
5、D)4 034【解析】函数yf(x)对任意自变量x都有f(x)f(2x)，且函数f(x)在1，)上单调又f(a6)f(a2 012)，a6a2 0122，又数列an是公差不为0的等差数列，a6a2 012a1a2 017，则an的前2017项之和20172017.故选：B.(9)已知ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若ABC的三边长分别为a，b，c，则的最小值为(D)(A)2 (B)2 (C)4 (D)22【解析】ABC的面积为1，内切圆半径也为1，ABC的三边长分别为a，b，c，(abc)11，即abc2，即ab2c，0c2，1，设f(x)1，0x2，f(x)，令f(x)0，解得x22，当
6、x(0，22)时，f(x)0，函数f(x)单调递减，当x(22，2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，f(x)minf(22)22，故的最小值为22，故选：D.(10)设F1、F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是(A)(A)xy0 (B)xy0(C)x2y0 (D)2xy0【解析】不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得，|PF1|4a，|PF2|2a，且|F1F2|2c，由于2a最小，即有PF1F230，由余弦定理，可得，co
7、s 30.则有c23a22ac，即ca，则ba，则双曲线的渐近线方程为yx，即为yx，故选A.(11)定义在R上的奇函数yf(x)满足f(3)0，且当x0时，不等式f(x)xf(x)恒成立，则函数g(x)xf(x)lg|x1|的零点的个数为(C)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】定义在R上的奇函数f(x)满足：f(0)0f(3)f(3)，且f(x)f(x)，又x0时，f(x)xf(x)，即f(x)xf(x)0，xf(x)0，函数h(x)xf(x)在x0时是增函数，又h(x)xf(x)xf(x)，h(x)xf(x)是偶函数；x0时，h(x)是减函数，结合函数的定义域为R，且f(0)f
8、(3)f(3)0，可得函数y1xf(x)与y2lg|x1|的大致图象如图所示，由图象知，函数g(x)xf(x)lg|x1|的零点的个数为3个故选：C.(12)狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若f(x)则称f(x)为狄利克雷函数对于狄利克雷函数f(x)，给出下面4个命题：对任意xR，都有ff(x)1；对任意xR，都有f(x)f(x)0；对任意x1R，都有x2Q，f(x1x2)f(x1)；对任意a，b(，0)，都有x|f(x)ax|f(x)b其中所有真命题的序号是(D)(A) (B) (C) (D)【解析】当xQ，则f(x)1，f(1)1，则ff(x)1，当xRQ，则f(x)0，f(0)1
9、，则ff(x)1，即对任意xR，都有ff(x)1，故正确，当xQ，则xQ，则f(x)1，f(x)1，此时f(x)f(x)，当xRQ，则xRQ，则f(x)0，f(x)0，此时f(x)f(x)，即恒有f(x)f(x)，即函数f(x)是偶函数，故错误，当x1Q，有x2Q，则x1x2Q，此时f(x1x2 )f(x1)1；当x1RQ，有x2Q，则x1x2RQ，此时f(x1x2 )f(x1)0；综上恒有f(x1x2 )f(x1)成立，故正确，f(x)0恒成立，对任意a，b(，0)，都有x|f(x)ax|f(x)bR，故正确，故正确的命题是，故选：D.选择题答题卡题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7
10、)(8)(9)(10)(11)(12)答案BDDDBDABDACD第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本题共4小题，每小题5分(13)设i是虚数单位，则复数z的共轭复数的虚部为_【解析】zi，复数z的共轭复数为i.则复数z的共轭复数的虚部为.(14)过点(1，2)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为_y_【解析】圆(x1)2y21的圆心为C(1，0)，半径为1，以(1，2)、C(1，0)为直径的圆的方程为：(x1)2(y1)21，将两圆的方程相减，即得公
11、共弦AB的方程为2y10.即y.(15)在矩形ABCD中，AB2，BC1，E为BC的中点，若F为该矩形内(含边界)任意一点，则的最大值为_【解析】设与的夹角为，由的几何意义可知，等于|与在的投影的乘积，由投影的定义可知，只有当点F取点C时，有最大值为()()224.本题也可建立平面直角坐标系，把向量的数量积运算转化为向量的坐标运算，从而将问题转化为在已知可行域内求的最值问题(16)已知曲线yexa与y(x1)2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为_(，2ln_23)_【解析】y(x1)2的导数y2(x1)，yexa的导数为yexa，设公共切线与曲线yexa相切的切点为(m，n)，与y(x1
12、)2相切的切点为(s，t)，则有公共切线斜率为2(s1)ema，又t(s1)2，nema，即有2(s1)，即为sm1，即有m(s1)，则有ema2(s1)，即为aln 2(s1)(s1)，令f(s)ln 2(s1)(s1)，则f(s)，当s3时，f(s)0，f(s)递减，当1s3时，f(s)0，f(s)递增即有s3处f(s)取得极大值，也为最大值，且为2ln 23，由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得a的范围是a2ln 23.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S市的A区开设分店为了确定在
13、该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格记x表示在各区开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和. x(个) 2 3 4 5 6y(百万元) 2.5 3 44.5 6 ()该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；()假设该公司在A区获得的总年利润z(单位：百万元)与x，y之间的关系为zy0.05x21.4，请结合()中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分店，才能使A区平均每个分店的年利润最大？参考公式：x，4，yx0.6.y关于x的线性回归方程y0.85x0.6.6分()zy0.05x21.40.0
14、5x20.85x0.8，A区平均每个分店的年利润t0.05x0.850.010.85，x4时，t取得最大值，故该公司应在A区开设4个分店，才能使A区平均每个分店的年利润最大.12分(18)(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAC平面ABCD，且PAAC，PAAD2.四边形ABCD满足BCAD，ABAD，ABBC1.E为侧棱PB的中点，F为侧棱PC上的任意一点()若F为PC的中点，求证：平面EFP平面PAB；()是否存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存在，请说明理由【解析】()E、F分别为侧棱PB、PC的中点，EFBC.BCAD
15、，EFAD.平面PAC平面ABCD，且PAAC，平面PAC平面ABCDAC，PA平面ABCD，且AD平面ABCD，得PAAD.又ABAD，PAABA，AD平面PAB，可得EF平面PAB.又EF平面EFP，得平面EFP平面PAB.6分()存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直平面PCA中，过点A作AFPC，垂足为F.由已知ABAD，BCAD，ABBC1，AD2.根据平面几何知识，可得CDAC.又由()PA平面ABCD，得PACD，且PAACA，CD平面PAC，又AF平面PAC，得CDAF.又CDPCC，AF平面PCD.在PAC中，PA2，AC，PAC90，PC，AF，PF.PC上存在点F，使得直
16、线AF与平面PCD垂直，此时线段PF的长为.12分(19)(本小题满分12分)函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，将yf(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数yg(x)的图象()求函数yg(x)的解析式；()在ABC中，角A、B、C所对的边分別为a、b、c，asin Acos Ccsin Acos Ac，D是AC的中点，且cos B，BD，求ABC的最短边的边长【解析】由图知4，解得2，fsin1，22k，kZ，即2k，kZ，由于|0)上在第一象限内的点P(2，t)到焦点的距离为，曲线C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l1经过点Q且垂直于x轴()求Q点的坐标；()设不经过点P和Q的动
17、直线l2：xmyb交曲线C于点A和B，交l1于点E，若直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，试问： l2是否过定点？请说明理由【解析】()由抛物线上的点P(2，t)到焦点的距离为，得2，所以n2，则抛物线方程为y22x，故曲线C在点P处的切线斜率k，切线方程为y2(x2)，令y0得x2，所以点Q(2，0)()由题意知l1：x2，因为l2与l1相交，所以m0.设l2：xmyb，令x2，得y，故E(2，)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得y22my2b0，则y1y22m，y1y22b，直线PA的斜率为，同理直线PB的斜率为，直线PE的斜率为.因为直线PA，PE，PB的斜率依次成
18、等差数列，所以kPAkPB2kPE，即，即整理得：b24，因为l2不经过点Q，所以b2.所以b2.故l2：xmy2，即l2恒过定点(2，0)(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)ln xx2ax.()若f(1)0，求函数f(x)的单调递减区间；()证明当n2(nN*)时，1；()若关于x的不等式f(x)x2(2a1)x1恒成立，求整数a的最小值【解析】()因为f(1)0，所以a11分此时f(x)ln xx2x，x0，f(x)2x1(x0)由f(x)0，又x0，所以x1.所以f(x)的单调减区间为(1，).3分()令a1，由()得：f(x)在(1，)递减，f(x)ln xx2xf(1)0，
19、故ln xx2x，x1时，分别令x2，3，4，n，故1，n2时，1.6分()由f(x)x2(2a1)x1恒成立得ln xax2axx10在上恒成立，问题等价于a在(0，)上恒成立令g(x)，只要ag(x)max.8分因为g(x)，令g(x)0，得xln x0.设h(x)xln x，h(x)在(0，)上单调递减，不妨设xln x0的根为x0.当x(0，x0)时，g(x)0；当x(x0，)时，g(x)0，h(1)0，所以x01，此时12，即g(x)max(1，2)所以整数a的最小值为2.12分请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。(22)(
20、本小题满分10分)选修44：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(为参数)，曲线C2：cos6.()求曲线C1和直线C2的普通方程；()在曲线C1上求一点P，使点P到直线l的距离为，求出P点的坐标【解析】()C1的普通方程y21；C2的普通方程为yx6.5分()设点P(cos ，sin )，则点P到曲线C2的距离为d，7分当d时，|2sin6|5，即sin，此时，或，所以P点的坐标为或(0，1).10分(23)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知不等式0，y0，nxym0，求证：xy16xy.【解析】()由x6，得或或，解得1x0，y0，9xy1，1010216，当且仅当即x，y时取等号， 16，即xy16xy.10分
