1、桐城八中2021-2022学年度上学期高二第一次月考数学试题一、单选题(共60分)1已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为（ ）A B C D2已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为，且两点不在正方体的同一个面上，则正方体的体对角线长为（ ）ABCD3 “”是“直线与直线互相垂直”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4在正方体中，为线段上的动点，给出下列四个结论：DP长度为定值；三棱锥的体积为定值；任意点P，都有；存在点P，使得平面其中正确的是（ ）ABCD5直线不过第二象限，则的取值范围为（ ）ABCD6已知在正方体中，为空间任意两点，如果，
2、那么点必（ ）A在平面内 B在平面内 C在平面内 D在平面内7设a，b分别表示直线l在x轴和y轴上的截距，k为l的斜率，p为原点到l的距离，且，则有（ ）A BCD 8如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是() （8题图） （9题图）A B C1D9如图，在三棱柱中，底面，点，分别是棱，的中点，则直线与所成的角是（ ）AB CD10已知向量a，b，c是空间的一基底，向量ab，ab，c是空间的另一基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底 ab，ab，c 下的坐标为()A B C D11函数与在上最多
3、有n个交点，交点分别为（，n），则（ ）A7B8C9D1012已知，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在的直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：（1）直线与所成的角不可能为300；（2）直线与所成角的最大值为900；（3）直线与所成的角为600时，与所成的角为300. 其中正确的是（ ）A（1）（2）B（2）（3）C（1）（3）D（1）（2）（3）二、填空题(共20分)13如图，在直三棱柱中，点分别是的中点，点是上的动点.若，则长度为_.14坐标平面内过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为_.15已知l1的斜率是2，l2过点A(1，2)，B(x,6)，且l1
4、 | l2，则_.16将直角三角形沿斜边上的高折成1200的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是_（1） 平面平面 （2）四面体的体积是（3）二面角的正切值是（4）与平面所成角的正弦值是三、解答题(共70分)17(本题10分)已知直线（1）求证：无论为何实数，直线恒过一定点；（2）直线过点，且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小，求直线的方程18(本题12分) 如图，在空间四边形OABC中，点E为AD的中点，设 试用向量表示向量；若，求的值19(本题12分)如图，四棱锥中，底面ABCD, ，E为棱上的点，且（1）证明：平面平面；（2）求的体积20(本题12分)在平面直角坐标系中，已知矩形
5、ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，如图所示将矩形折叠，使点A落在线段DC上（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（2）在（1）的条件下，若时，求折痕长的取值范围21(本题12分)在底面是菱形的四棱锥S-ABCD中，已知，BS4，过D作侧面SAB的垂线，垂足O恰为棱BS的中点（1）在棱AD上是否存在一点E，使得OE侧面SBC，若存在求DE的长；若不存在，说明理由（2）求二面角B-SC-D的平面角的余弦值22(本题12分)如图，在四棱锥中，底面是梯形，.（1）证明：平面；（2）若，当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值
6、.桐城八中2021-2022学年度上学期高二第一次月考数学试题参考答案1B 2A 3A 4C 5C 6C7D 8D 9C 10B 11C 12A 13 14或. 15 16（3）（4）17（1）证明：将直线的方程化为，解方程组，解得，故直线恒过定点；（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，令，可得，令，可得，由已知可得，解得，所以，三角形面积为，当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为.18 因为，所以，所以，因为E为AD中点，所以 由题意知：，19（1）如图，以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则令，则，所以，设平面的一个法向量为
7、，则令，则，所以，因为，所以，所以平面平面；（2）因为，所以，可得，所以，因为底面，所以点到底面的距离为，所以三棱锥的体积为.20（1）当时，此时点A与点D重合，折痕所在的直线方程为；当时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为，所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，有，即，交点，故点G的坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标线段OG的中点为，所以折痕所在的直线方程为，即，综上所述，折痕所在的直线方程为；（2）当时，折痕的长为2；当时，折痕所在的直线交BC于点，交y轴于点，又因为，所以，所以综上所述，折痕长的取值范围为21解：（1）连接AO，ABAS，O是BS的中点，BSAO，DO面ABS
8、，DOBS， 又AODOO，AO、DO平面AOD，BS平面AOD过O作OEAD于E，则OEBC，OE平面AOD，BSOE，又BCBSB，BC、BS平面SBC，OE面SBC在RtAOD中， ，（2）以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， A(1，0，0)，B(0，2，0)，S(0，-2，0)，D(0，0，2)，由（1）知，EO平面SBC，平面SBC的一个法向量， 设平面SCD的一个法向量是，则，即， 令y1，则x2，z-1， 由图可知，二面角B-SC-D为钝角，故二面角B-SC-D的平面角的余弦值为 22（1）取，中点，连接，.由，得，又，所以平面.由，知四边形是平行四边形，则，平面，平面，所以平面，同理平面，且，所以平面平面，所以平面.（2）由，知四边形是以的等腰梯形.连接，则，又平面，所以，所以平面，又平面，所以平面平面，于是点在底面内的射影在上.（在平面中，点在以AC为直径的圆上运动）取中点，则，于是当底面时，四棱锥的体积最大.如图，以为原点，分别以射线，为，轴的正半轴，建立空间直角坐标系.由题意得，.所以，.设平面的法向量，由，得，取，则.因此，直线与平面所成角的正弦值为.
