1、湖南省湖南师大附中2012-2013学年高二第一学期期中考试数学（理）试题时 量：120分钟 满 分：150 分（必考I部分100分，必考II部分50分）命题：湖南师大附中高二数学备课组必考I部分一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若，则下列不等式中正确的是 （D）A. B. C. D. 2.不等式的解集是 （B）A. B. C. D. 3.在中，已知BC=12，则AC= （D）A. B. C. D. 4.已知等比数列中，且成等差数列，则数列的公比为 （B）A. 1 B. 2 C. 1 D. 5.不等式组所表示的平面区域的
2、面积等于 （C）A. 3 B. 9 C. 18 D. 366.设，若是的等比中项，则的最小值为 （B）A. 8 B. 4 C. 1 D. 7.在中，若，则此三角形的形状是 （A）A. 等腰三角形 B. 正三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形8.已知数列是等比数列，若，则= （C）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共个小题，每小题4分，共24分，请把答案的最简形式填在横线上.9.数列中，则数列的通项公式是 3n210.在中，分别为角A、B、C的对边，且，则角A的度数为 11.设数列的前n项和为，若，则数列的通项公式是12.已知，则函数的最小值为 2 13.配制A、B两种药剂，需
3、要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂B种药需甲料5毫克，乙料4毫克，今有甲料20毫克，乙料25毫克，设A、B两种药分别配剂，若A、B两种药至少各配一剂，则x，y应满足的条件是14.已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是（4，2）三、解答题：本大题共4个小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本题满分10分）在中，角所对的边长分别为，若的周长为，且.（1）求边AB的长；（2）若的面积为，求角C的度数. 解：设的三边长分别为，（1）由题意及正弦定理得，故(4分)（2） （6分）又（7分）由余弦定理得 （9分） （10分）16. （本题满分10分）
4、已知变量和满足约束条件.（1）求的最大值；xyABCOy=1x-y+1=0x+y-3=0（2）求的取值范围.解：（1）作出可行域如图.(3分)将变形为,可知直线过点C时取得最大值.由 得C(2，1) (5分)即且时，.(6分)(2)表示可行域内任一点与定点连线的斜率.(7分)由图可知, .由 得B(0，1).故k的取值范围是.(10分)17. （本题满分12分）已知等差数列满足：，数列的前n项和为.（1）求；（2）令，求数列的前n项和.解：（1）设等差数列的首项为，公差解得：（4分）（6分）（2）由（1）得 （9分）故（12分）18. （本题满分12分）如图，为了测量某塔的高度，某人在一条水平
5、公路C、D两点处进行测量.在C点测得塔顶A在南偏西800，仰角为450，此人沿着南偏东400方向前进10米到D点，测得塔顶的仰角为300，试求塔的高度.解：由题意得，AB平面BCO（2分）设塔高AB=x，（3分）在RtABC中，ACB=450，所以BC= AB=x，（5分）在RtABD中，ADB=450, BD=，（8分）在BCD中，由余弦定理得BD2=CB2+CD2-2CBCDcos1200, ，解得x=10或=-5（舍去）. （11分）答：塔高为10米。（12分）必考II部分（理）19.(本小题满分12分)设ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知向量m，n，已知m与n共线.
6、（）求角B的大小；（）若，求函数的值域.【解】（）因为mn由正弦定理，得. （2分）即，所以. （4分）因为，则，即. （5分）因为B(0，)，所以B. （6分）（）因为，则. （9分），则，所以. （11分）故函数的值域是. （12分） 20. (本小题满分12分)已知等差数列an的前3项和为3，前6项和为24.（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn的前n项和为Tn，求使不等式k对一切都成立的最大正整数k的值。解：（1）设an的首项为，公差为d，由已知得解得a11，d2，故an12（n1）2n3. (5分)（2）由（1）得（7分）bn是以b12为首项，q为公比的等比数列.则（9分）又0
7、。因此单调递增，故()minT12，由2k及得.（13分）21. (本小题满分13分)椭圆的中心在原点，过点，且右焦点与圆的圆心重合（1）求椭圆C1的方程；（2）过点的直线交椭圆于M、N两点，问是否存在这样的直线，使得以MN为直径的圆过椭圆的左焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由；F2xyPMNF1解：（1）依题意得（1，0），所以c=1，又过点，所以b=因此 故所求的椭圆 的方程为：（5分）（2） 由（1）知（-1，0）. 以MN为直径的圆过0 若直线的斜率不存在。易知N （1, ），M （1,） 不合题意（7分）若直线的斜率k存在，可设直线为y=k（x-1） ， ，= = （
8、9分）联立 消去y得： 代入（11分）得： 由得： (13分)22. (本小题满分13分)对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数（）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？ 并说明理由；（）设是（）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式 对一切R恒成立，求实数的取值范围；（）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值【解】（1）对于函数，当时，当或时，恒成立，故是“平底型”函数（2分）对于函数，当时，；当时，,所以不存在闭区间，使当时，恒成立故不是“平底型”函数 （4分）（）若对一切R恒成立，则因为，所以又，则 （6分）因为，则，解得故实数的范围是 （8分）（）因为函数是区间上的“平底型”函数，则存在区间和常数，使得恒成立所以恒成立，即解得或 （10分）当时，当时，当时，恒成立此时，是区间上的“平底型”函数 （11分）当时，当时，当时，此时，不是区间上的“平底型”函数 （12分）综上分析，m1，n1为所求 （13分）
