1、配餐作业(四十九)双曲线一、选择题1已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2B.C. D1解析：因为双曲线的方程为1，所以e214，因此a21，a1。选D。答案：D2(2016西安八校联考)设P是双曲线1(a0，b0)与圆x2y2a2b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若tanPF2F13，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：根据题意可知圆过双曲线的两焦点，即PF1PF2，tanPF2F13，sinPF2F1，cosPF2F1，|PF2|F2F1|cosPF2F1c，|PF1|F2F1|sinPF2F1c，从而由双曲线定义|PF1|PF2|2a得，双曲线
2、的离心率e，故选B。答案：B3设a，b是关于t的方程t2costsin0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线1的公共点的个数为()A0 B1C2 D3解析：关于t的方程t2costsin0的两个不等实根为0，tan(tan0)，则过A，B两点的直线方程为yxtan，双曲线1的渐近线为yxtan，所以直线yxtan与双曲线没有公共点，故选A。答案：A4过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A。若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：设双曲线的右焦点为F，则F(c
3、,0)(其中c)，且c|OF|r4，不妨将直线xa代入双曲线的一条渐近线方程yx，得yb，则A(a，b)。由|FA|r4，得4，即a28a16b216，所以c28a0，所以8ac242，解得a2，所以b2c2a216412，所以所求双曲线的方程为1。答案：A5(2016沈阳模拟)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|7|MF1|，则此双曲线离心率的最大值为()A. B.C2 D.解析：因为|MF2|7|MF1|，所以|MF2|MF1|6|MF1|，即2a6|MF1|6(ca)，故8a6c，即e。答案：A6(2016贵阳模拟)已知双曲线1(a0
4、)的两条渐近线与以椭圆1的左焦点为圆心，半径为的圆相切，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：双曲线1(a0)的渐近线方程为yx；椭圆1的左焦点为(4,0)，因为渐近线与以椭圆1的左焦点为圆心，半径为的圆相切，所以，解得a4，所以双曲线的离心率为。答案：A7直线yx与双曲线C：1(a0，b0)左右两支分别交于M、N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|MO|，则双曲线的离心率等于()A. B.1C.1 D2解析：由题意知|MO|NO|FO|，MFN为直角三角形，且MFN90，取左焦点为F0，连接NF0，MF0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF0为平行四边形。又MFN9
5、0，四边形NFMF0为矩形，|MN|F0F|2c，又直线MN的倾斜角为60，即NOF60，NMF30，|NF|MF0|c，|MF|c，由双曲线定义知|MF|MF0|cc2a，e1。答案：B二、填空题8(2016成都模拟)已知圆x2y24x90与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为_。解析：易知圆与y轴的交点坐标为(0,3)，(0，3)，因为圆x2y24x90与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，所以双曲线的焦点在y轴上，且a3，又A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，所以c9，所以b272，所以此双曲线的标准方程为1。答案：19已知
6、双曲线1(a0，b0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x22py(p0)的焦点为F。若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为_。解析：抛物线x22py的准线方程为y，与双曲线的方程联立得x2a2，根据已知得a2c2。由|AF|c，得a2c2。由可得a2b2，即ab，所以所求双曲线的渐近线方程是yx。答案：yx10(2016苏州模拟)已知P为双曲线C：1上的点，点M满足|1，且0，则当|取得最小值时的点P到双曲线C的渐近线的距离为_。解析：因为点M满足|1，所以点M的轨迹是以原点为圆心，1为半径的单位圆。不妨设P为双曲线右支上的任一点，因为0，所以OMPM，所
7、以OPM为直角三角形，且OMP90，|OP|为该直角三角形的斜边长；因为P为双曲线C：1上的点，在RtOPM中，要使直角边|最小，则只需|OP|最小，因为当点P为双曲线C的右支与x轴的交点时，|OP|最小，此时P(3,0)，所以此时点P到双曲线C的渐近线的距离为。答案：三、解答题11已知双曲线1及点P(2,1)，是否存在过点P的直线l，使直线l被双曲线截得的弦恰好被P点平分？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。解析：假设符合题意的直线l存在。设直线l与双曲线的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，两式相减可得到。P(2,1)为AB的中点，x1x24，y1y22，k，直线
8、l的方程为y1(x2)，即9x8y100。由过P与双曲线有两个焦点时，k，即k，不存在符合题意的直线l。12直线l：ykx1与双曲线C：2x2y21的右支交于不同的两点A、B。(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。解析：(1)将直线l的方程ykx1代入双曲线C的方程2x2y21后，整理得(k22)x22kx20。依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故解得k的取值范围是2k。(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由式得假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)。则由FAFB得：(x1c)(x2c)y1y20。即(x1c)(x2c)(kx11)(kx21)0。整理得(k21)x1x2(kc)(x1x2)c210。把式及c代入式化简得5k22k60。解得k或k(2，)(舍去)，可知存在k使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。
