1、湖北省黄冈中学2015届高三（上）期中考试数学试题（文科）本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、导数数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、数列等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置）【题文】1. 函数的定义域是（ ）A B. C. D.【知识点】函数及其表示B1【答案解析】C 2-x0且x-
2、10,则定义域为故选C.【思路点拨】分别求出x的范围，再取交集。【题文】2已知是等差数列，则的公差 ( )A B C D【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案解析】C 由=-2得，d=-3,故选C。【思路点拨】先根据等差数列的性质求出再求d.【题文】3.在锐角中，角所对应的边分别为，若，则角等于( ) A. B. C. D. 【知识点】解三角形C8【答案解析】A 把b=2asinB利用正弦定理化简得：sinB=2sinAsinB，sinB0，A为锐角，sinA= ，则A=30故选：A【思路点拨】已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，由A为锐角确定出A的度数即可【
3、题文】4已知函数，在下列区间中，包含的零点的区间是( )A B C D 【知识点】函数与方程B9【答案解析】C f（x）= -log2x，f（2）=20，f（4）=-0，满足f（2）f（4）0，f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C【思路点拨】可得f（2）=20，f（4）=-0，由零点的判定定理可得【题文】5 已知满足，则的最大值为( )A B C D【知识点】简单的线性规划问题E5【答案解析】B 作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=-2x+z平移直线y=-2x+z由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即C
4、（3，3），代入目标函数z=2x+y得z=23+3=9即目标函数z=2x+y的最大值为9故选：B【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值【题文】6.设、是两个不同的平面，、为两条不同的直线，命题：若平面，则；命题：，则，则下列命题为真命题的是 （ ）A或 B且 C或 D且【知识点】空间中的平行关系空间中的垂直关系G4 G5【答案解析】C 在长方体ABCD-A1B1C1D1中命题p：平面AC为平面，平面A1C1为平面，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足，l，m，而m与l异面，故命题p不正确；-p正确；命题q：平面AC为平面，平面A1C1为平面，
5、直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足l，ml，m，而，故命题q不正确；-q正确；故选C【思路点拨】对于命题p，q，只要把相应的平面和直线放入长方体中，找到反例即可【题文】7已知函数的图象的一个对称中心是点，则函数的图象的一条对称轴是直线 ( ) 【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】D f（x）=sinx+cosx的图象的一个对称中心是点（，0），f（）=sin+cos=+=0，解得=-，g（x）=-sinxcosx+sin2x=-sin2x+=-sin（2x+），令2x+=k+可得x=+，kZ，函数的对称轴为x=+，kZ，结合四个选项可知，当k=-1时x=-符合题意，故
6、选：D【思路点拨】由对称中心可得=-，代入g（x）由三角函数公式化简可得g（x）=-sin（2x+），令2x+ =k+解x可得对称轴，对照选项可得【题文】8.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 （）ABCD【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案解析】A 由三视图知：几何体是半圆锥与四棱锥的组合体，其中半圆锥与四棱锥的高都为，半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，几何体的体积V= + 22= + 故答案为：【思路点拨】几何体是半圆锥与四棱锥的组合体，根据三视图判断半圆锥与四棱锥的高及半圆锥的底面半径，判断四棱锥的底面四边形的形状及相关几何量的数据，把数据代入
7、圆锥与棱锥的体积公式计算【题文】9已知函数，当时，取得最小值，则在直角坐标系下函数 的图像为（ ）A B C D【知识点】函数的图像B8【答案解析】B x（0，4），x+11f（x）=x-4+=x+1+-52=1当且仅当x+1=即x=2时取等号，此时函数有最小值1a=2，b=1，此时g（x）=()|x+1|=，此函数可以看着函数y=的图象向左平移1个单位,结合指数函数的图象及选项可知B正确故选B【思路点拨】由f（x）=x-4+=x+1+-5，利用基本不等式可求f（x）的最小值及最小值时的条件，可求a，b，可得g（x）=()|x+1|=，结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求【题文】10已知函
8、数有两个极值点，且，则（ ）A BC D【知识点】导数的应用B12【答案解析】D的定义域为，求导得，因为有两个极值点，所以是方程的两根，又，且，所以又，所以，令，所以在上为增函数，所以，所以【思路点拨】根据单调性求出极值判断大小。第卷（非选择题 共100分）【题文】二填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡的相应位置)【题文】11 已知,则的值是_.【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案解析】 由得cos=-,sin=所以=，故答案为【思路点拨】根据同角三角函数的关系求出正余弦函数，再求正切。【题文】12.已知向量，且，则实数等于_【知识点】平面向量的数量
9、积及应用F3【答案解析】9 ，由得，解得：故答案9【思路点拨】根据向量的数量积求出x值。【题文】13.函数的零点个数为 个.【知识点】函数与方程B9【答案解析】1 因为在上恒成立，所以函数在上单调递增.又因为，所以函数只有一个零点0.【思路点拨】先求出函数的单调性，再求零点。【题文】14.定义运算则函数的图象在点处的切线方程是_【知识点】导数的应用B12【答案解析】 由定义可知，故.则.所以函数在点处的切线方程为，化为一般式为，【思路点拨】根据导数的几何意义求出斜率再求方程。【题文】 15已知在四面体中，分别是的中点，若，则与所成的角为 【知识点】空间两条直线G3【答案解析】 取中点，则取中点
10、，则， 为与所成的角。【思路点拨】异面直线所成的角通过作平行线转化成平面角求出。【题文】16.数列中相邻两项与是方程的两根，已知，则等于_【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案解析】5840 由韦达定理可知，由，有，故，即为等差数列，公差为，又，故，所以，故，故.【思路点拨】根据等差数列的性质求出公差，再求乘积。【题文】17.下列命题：数列为递减的等差数列且，设数列的前项和为，则当时，取得最大值；设函数，则满足关于的方程的充要条件是对任意均有；在长方体中，直线与平面所成角的正弦值为；定义在上的函数满足且，已知，则是的充要条件. 其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）.【知
11、识点】命题及其关系A2【答案解析】 对，由，得，又数列单调递减，所以当或时，取得最大值，为假命题；对于连结A1C1，设，连结OB，由已知得面BB1D1D，为所求角，在RtC1OB中，得【思路点拨】根据数列的单调性求出最值，跟空间角找出正弦值。【题文】三、解答题：(本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18.（本小题满分12分）在中，、分别是三内角、的对边，已知（1）求角的大小；（2）若，求角的大小【知识点】解三角形C8【答案解析】（1）（2）（1），又，.（2）， ， 【思路点拨】根据余弦定理求出A，根据两角和的三角函数求出B,C.【题文】19.（本小题满分12分）
12、在数列中，是与的等差中项，设，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）记数列前项的和为，若数列满足，试求数列前项的和.【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】（1）（2） 数列是以公比为2的等比数列又是与的等差中项， 即(2) 由 【思路点拨】构造新数列求通项公式，利用错位相减求出和。【题文】20.（本小题满分13分）如图，、是以为直径的圆上两点， 是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上，已知.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系G4 G5【答案解析】（1）略（2）略（3）（1）证明：依题 平面 平面 （2）
13、证明：中， 中， 在平面外 平面 （3）解：由（2）知，且 到的距离等于到的距离为1 平面 【思路点拨】根据线面垂直平行证明，根据体积公式求体积。【题文】21.（本小题满分14分）据气象中心的观察和预测：发生于地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度与时间的函数图像如图所示，过线段上一点作横轴的垂线，则梯形在直线左侧部分的面积即为内沙尘暴所经过的路程(1)当时，求的值；(2)将随变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若城位于地正南方向，且距地为，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到城如果会，在沙尘暴发生多长时间后它将侵袭到城；如果不会，请说明理由【知识点】函数模型及其应用B10【答案解析】(1) 24
14、 km. (2) S(3) 30 h(1)由图像可知，当t4时，v3412，所以S41224 km.(2)当0t10时，St3tt2；当10t20时，S103030(t10)30t150；当20t35时，S10301030(t20)30(t20)2(t20)t270t550.综上可知，S(3)因为当t0，10时，Smax102150650，当t(10，20时，Smax3020150450650，所以当t(20，35时，令t270t550650，解得t130，t240.因为20t35，所以t30.故沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城【思路点拨】根据等量关系求出函数关系式，t的范围求出结果。【题文】22.（本小题满分14分）已知函数（）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（）对于，恒成立，求实数的取值范围；（）当时，试比较与的大小关系【知识点】导数的应用B12【答案解析】（）略（）（）略（）由，解得或， 函数的定义域为 当时， 在定义域上是奇函数。 （）由时，恒成立， 在成立 令，由二次函数的性质可知时函数单调递增，时函数单调递减，时， （）= 证法一：构造函数， 当时，在单调递减， 当（）时， 证法二：构造函数,证明:在成立,则当时,成立.【思路点拨】利用函数的奇偶性证明，根据单调性求出m的范围，利用导数求单调性证明。
