1、第十章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.一部三册的小说,任意排放在书架的同一层上,观察其排放次序,这一试验的样本空间包含的样本点个数n等于()A.3B.4C.6D.12解析:用1,2,3分别表示这三册小说,排序有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)共6种,故样本空间包含6个样本点.答案:C2.奥林匹克运动会会旗,由5个尺寸相同、互相套连的圆环组成,环的颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,
2、老师将这样的5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五名同学制作,每人分得1个,则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是()A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.既不互斥也不对立事件解析:记事件A=“甲分得红色”,B=“乙分得红色”,则AB=,AB,故事件A与B互斥,但不对立.答案:C3.有分别写着数字1到120的120张卡片,从中任意取出1张,取出的卡片上的数字是2的倍数或3的倍数的概率是()A.B.C.D.解析:试验的样本空间包含的样本点总数为120,其中是2的倍数的数有60个,是3的倍数的数有40个,是6的倍数的数有20个,故所求概率P=.答案:D4.甲在聊天群中发布6元“拼手气”红包一
3、个,被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是()A.B.C.D.解析:设乙、丙、丁分别领到x元、y元、z元,用数组(x,y,z)表示该试验的一个样本点,则样本空间=(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10个样本点.记事件A=“乙获得手气最佳”,则A=(4,1,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共有4个样本点,故P(A)=.答案:D5.某校在秋季运动会中,安排了篮球投篮
4、比赛,现有20名同学参加篮球投篮比赛,已知每名同学投进的概率均为0.4,每名同学有2次投篮机会,且各同学投篮之间没有影响.现规定:投进两个得4分,投进一个得2分,一个未进得0分,则其中一名同学得2分的概率为()A.0.5B.0.48C.0.4D.0.32解析:设“第一次投进球”为事件A,“第二次投进球”为事件B,则得2分的概率为P=P(A)+P(B)=0.40.6+0.60.4=0.48.答案:B6.某班有男生30人、女生20人,按性别进行分层,用比例分配的分层随机抽样的方法从该班中选出5人负责校园开放日的接待工作,现从这5人中随机选取2人,至少有1名男生的概率是()A.B.C.D.解析:依题
5、意,男生应抽取5=3(人),分别记为A,B,C;女生应抽取2人,分别记为甲、乙.从这5人中随机选取2人,试验的样本空间=(A,B),(A,C),(A,甲),(A,乙),(B,C),(B,甲),(B,乙),(C,甲),(C,乙),(甲,乙),共有10个样本点.其中1名男生也没有的事件包含的样本点为(甲,乙),只有1个,所以至少有1名男生的概率为P=1-.答案:D7.设每个工作日甲、乙、丙3人需使用某种设备的概率分别为0.2,0.5,0.6,若各人是否需使用该设备相互独立,则同一工作日中至少有1人需使用该设备的概率为()A.0.84B.0.16C.0.94D.0.34解析:依题意,设A=“同一工作
6、日中至少有1人需使用该设备”,则A的对立事件=“同一工作日中三人都不需要使用该设备”,所以P(A)=1-P()=1-(1-0.2)(1-0.5)(1-0.6)=0.84.答案:A8.若一个三位数的各位数字互不相同,且各数字之和等于10,则称此三位数为“十全十美三位数”(如235),任取一个“十全十美三位数”,该数为奇数的概率为()A.B.C.D.解析:任取一个“十全十美三位数”,试验的样本空间=109,190,901,910,127,172,217,271,712,721,136,163,316,361,613,631,145,154,415,451,514,541,208,280,802,8
7、20,235,253,325,352,523,532,307,370,703,730,406,460,604,640,共有40个样本点,其中该数为奇数包含的样本点有20个,所以任取一个“十全十美三位数”,该数为奇数的概率为.答案:C二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.已知A=-1,0,1,点P的坐标为(x,y),其中xA,yA,任取一点P,观察点P的坐标,则下列点的坐标是试验的样本点的有()A.(0,0)B.(-1,1)C.(1,1)D.(1,2)解析:因为xA,yA,所以A,B,C都
8、满足条件;D中,2A,所以(1,2)不是试验的样本点,故选ABC.答案:ABC10.在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,则下列说法正确的是()A.恰有1件一等品的概率为B.恰有2件一等品的概率为C.至少有1件一等品的概率为D.都不是一等品的概率为解析:将3件一等品分别编号为1,2,3;2件二等品分别编号为4,5,从中任取2件对应的样本空间=(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共有10个样本点.其中恰有1件一等品包含6个样本点:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5
9、),故恰有1件一等品的概率P1=,故A正确;恰有2件一等品包含3个样本点:(1,2),(1,3),(2,3),故恰有2件一等品的概率P2=,故B正确;至少有1件一等品的概率P3=,故C不正确;都不是一等品包含1个样本点:(4,5),故都不是一等品的概率P4=,故D正确.答案:ABD11.甲、乙、丙三名学生用计算机联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题,甲及格的概率为,乙及格的概率为,丙及格的概率为,三人各答一次.则()A.三人中恰有1人及格的概率为B.三人中恰有2人及格的概率为C.三人中至少有1人及格的概率为D.三人都不及格的概率为解析:A中,三人中恰有1人及格的概率P1=,故A正确;
10、B中,三人中恰有2人及格的概率P2=,故B正确;D中,三人都不及格的概率P3=,故D正确.C中,“三人中至少有1人及格”的对立事件为“三人都不及格”,所以三人中至少有1人及格的概率P4=1-,故C不正确.答案:ABD12.国庆假期期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(单位:km/h)分成六组:60,65),65,70),70,75),75,80),80,85),85,90,得到的频率分布直方图如图所示.下列结论正确的是()A.这40辆小型汽车车速的众数的估计值为77.5B.在该服务区任意抽取一辆小型汽车,车速
11、超过80 km/h的概率约为0.35C.若从车速在区间60,70)内的小型汽车中任意抽取2辆,则至少有一辆小型汽车的车速在区间65,70)内的概率为D.若从车速在区间60,70)内的小型汽车中任意抽取2辆,则车速都在区间60,65)内的概率为解析:选项A中,由题图可知,众数的估计值为最高小矩形底边中点的横坐标=77.5,故A正确;选项B中,车速超过80 km/h的频率为0.055+0.025=0.35,用频率估计概率,知B正确;选项C,D中,由题图知,在40辆被抽查的小型汽车中,车速在区间60,65)内的车辆数为0.01540=2,记为a,b;车速在区间65,70)内的车辆数为0.02540=
12、4,记为1,2,3,4,则任意抽取2辆对应的样本空间=(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共有15个样本点.记事件A=“2辆车速都在区间60,65)内”,则A=(a,b),共有1个样本点,故P(A)=;记事件B=“至少有1辆的车速在区间65,70)内”,则A与B互为对立事件,即P(B)=1-P(A)=.故C正确,D错误.答案:ABC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.从集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一个数记为x,则log
13、2x为整数的概率为.解析:log21=0,log22=1,log24=2,log28=3,则log2x为整数的概率为.答案:14.经统计,在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下:排队人数012345概率0.10.160.30.30.10.04则该营业窗口上午9点钟时,至少有2人排队的概率是.解析:P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.答案:0.7415.甲、乙两颗气象卫星同时独立监测台风,在同一时刻,甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75,则在同一时刻两颗卫星预报都不准确的概率为,在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为.解析:在同一时刻两颗卫星
14、预报都不准确的概率为(1-0.8)(1-0.75)=0.05,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1-0.05=0.95.答案:0.050.9516.袋里装有5个球,每个球都记有15中的一个号码,设号码为x的球质量为(x2-5x+30)克,这些球以同等的机会(不受质量的影响)从袋里取出.若同时从袋内任意取出两个球,则它们质量相等的概率是.解析:设取出的质量相等的两球的号码分别是m,n,其中mn,则有m2-5m+30=n2-5n+30,所以m+n=5.5个球中任意取两球的样本空间=(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(
15、4,5),共10个样本点.满足m+n=5的样本点有(1,4)和(2,3).所以P=.答案:四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)对某班一次测验成绩进行统计,统计结果如下表所示.若从该班学生中,随机抽取一名,求:分数段40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频率0.020.040.170.360.250.15(1)他的这次测验成绩在区间80,100上的概率;(2)他的这次测验成绩在区间60,100上的概率.解:记他的这次测验成绩在区间60,70),70,80),80,90),90,100内依次为事件A,B,C,
16、D,由题意知事件A,B,C,D两两互斥.(1)他的这次测验成绩在区间80,100上的概率是P(CD)=P(C)+P(D)=0.25+0.15=0.4.(2)他的这次测验成绩在区间60,100上的概率是P(ABCD)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.17+0.36+0.25+0.15=0.93.18.(12分)将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为x,第二次出现的点数为y.(1)求事件“x+y3”的概率;(2)求事件“|x-y|=2”的概率.解:用数组(x,y)表示该试验的一个样本点,则样本空间=(1,1),(1,2)
17、,(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(6,5),(6,6),共有36个等可能出现的样本点.(1)设事件A=“x+y3”,则A=(1,1),(1,2),(2,1),共有3个样本点.所以P(A)=.即事件“x+y3”的概率为.(2)设事件B=“|x-y|=2”,则B=(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(6,4),(5,3),(4,2),(3,1),共有8个样本点.所以P(B)=.即事件“|x-y|=2”的概率为.19.(12分)假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进
18、行测试,统计结果如图所示.甲品牌乙品牌(1)估计甲品牌产品使用寿命小于200 h的概率;(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200 h,试估计该产品是甲品牌的概率.解:(1)甲品牌产品使用寿命小于200 h的频率为,用频率估计概率,所以估计甲品牌产品使用寿命小于200 h的概率为.(2)根据频数分布图可得使用寿命不低于200 h的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,使用寿命不低于200 h的产品是甲品牌的频率是,据此估计已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率为.20.(12分)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、
19、三个问题分别得100分、100分、200分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6,且各题答对与否相互之间没有影响.(1)求这名同学得300分的概率;(2)求这名同学至少得300分的概率.解:记事件Ai(i=1,2,3)=“这名同学答对第i个问题”,则P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6,且A1,A2,A3相互独立.(1)这名同学得300分的概率P1=P(A1A3)+P(A2A3)=P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=0.80.30.6+0.20.70.6=0.228.(2)这名同学至少得300分的概率P2=P
20、1+P(A1A2A3)=0.228+P(A1)P(A2)P(A3)=0.228+0.80.70.6=0.564.21.(12分)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S4,则该产品为一等品.现从一批该产品中随机抽取10件作为样本,其质量指标列表如下:产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率.(2)在该样
21、本的一等品中,随机抽取2件产品,用产品编号写出试验的样本空间;设事件B=“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求P(B).解:(1)计算10件产品的综合指标S,如下表:产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品对应的样本空间=(A1,A2),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A7),(A1,A9),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A7),(A2,A9),(A4,A5),(
22、A4,A7),(A4,A9),(A5,A7),(A5,A9),(A7,A9),共有15个样本点.在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B=(A1,A2),(A1,A5),(A1,A7),(A2,A5),(A2,A7),(A5,A7),共有6个样本点.所以P(B)=.22.(12分)在奥运知识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲答对这道题的概率是,甲、乙两人都回答错误的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否是相互独立的.(1)求乙答对这道题的概率;(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.解:(1)记事件A=“甲答对这道题”,B=“乙答对这道题”,C=“丙答对这道题”,设P(B)=x,由于每人回答问题正确与否是相互独立的,故A,B,C是相互独立事件.由题意得,P()=P()P()=(1-x)=,解得x=,所以乙答对这道题的概率为.(2)设丙答对这道题的概率P(C)=y,由(1)得,P(BC)=P(B)P(C)=y=,解得y=.记事件M=“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”,则事件M的对立事件=“甲、乙、丙三人都回答错误”,因为P()=P()=P()P()P()=.所以所求概率P(M)=1-P()=1-.6
