1、课时作业梯级练四十七利用空间向量证明空间中的位置关系 一、选择题(每小题5分,共20分)1.若直线l的一个方向向量为a=(2,5,7),平面的一个法向量为u=(1,1,-1),则()A.l或lB.lC.lD.l与斜交【解析】选A.由条件知au=21+51+7(-1)=0,所以au,故l或l.2.设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若,则k等于()A.2B.-4C.-5D.-2【解析】选C.因为,所以1(-2)+2(-4)+(-2)k=0,所以k=-5.3.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线A
2、B与CD的位置关系是()A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直【解析】选B.由题意得, =(-3,-3,3), =(1,1,-1),所以 =-3 ,所以 与 共线,又因为AB与CD没有公共点,所以ABCD.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E= A1D,AF= AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EFA1D,EFACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1
3、,0),E ,0, ,F , ,0 ,B(1,1,0),D1(0,0,1), =(-1,0,-1), =(-1,1,0), = , ,- , =(-1,-1,1), =- , = =0,从而EFBD1,EFA1D,EFAC.二、填空题(每小题5分,共15分)5.在空间直角坐标系中,点P(1, , ),过点P作平面yOz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为.【解析】由题意知,点Q即为点P在平面yOz内的射影,所以垂足Q的坐标为(0, , ).答案:(0, , )6.已知平面内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面的一个法向量n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面与的位置关
4、系是.【解析】设平面的一个法向量为m=(x,y,z),由m =0,得x0+y-z=0y=z,由m =0,得x-z=0x=z,取x=1,所以m=(1,1,1),m=-n,所以mn,所以.答案:7.已知V为矩形ABCD所在平面外一点,且VA=VB=VC=VD, = , = , = .则VA与平面PMN的位置关系是.【解析】如图,设 =a, =b, =c,则 =a+c-b,由题意知 = b- c, = - = a- b+ c.因此 = + ,所以 , , 共面.又因为VA平面PMN,所以VA平面PMN.答案:平行三、解答题(每小题10分,共20分)8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3
5、,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.(1)证明ACBC1;(2)证明AC1平面CDB1.【证明】因为直三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长分别为AC=3,BC=4,AB=5,所以ABC为直角三角形,ACBC.所以AC,BC,C1C两两垂直.如图,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),C1(0,0,4),A1(3,0,4),B1(0,4,4),D ,2,0 .(1)因为 =(-3,0,0), =(0,-4,4),所以 =0,所以ACBC1.(2)设CB1与C1B的交点为E,连接DE,
6、则E(0,2,2), = - ,0,2 , =(-3,0,4),所以 = ,DEAC1.因为DE平面CDB1,AC1平面CDB1,所以AC1平面CDB1.9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD中点.(1)求证:B1EAD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.【解析】如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设AB=a,则A(0,0,0),A1(0,0,1),D(0,1,0),D1(0,1,1),E ,1,0 ,B1(a,0,1),所以 =(0,1
7、,1), = - ,1,-1 , =(a,0,1), = ,1,0 .(1)因为 =- 0+11+(-1)1=0,所以 ,所以B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,t)(0t1),使得DP平面B1AE,此时 =(0,-1,t).设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z).由 ,得 .取x=1,可得平面B1AE的一个法向量为n=(1,- ,-a).要使DP平面B1AE,只需n ,即n =0,即 -at=0,解得t= .又DP平面B1AE,所以存在点P,使得DP平面B1AE,此时AP= . 1.(5分)如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若
8、D1FDE,则有()A.B1E=EBB.B1E=2EBC.B1E= EBD.E与B重合【解析】选A.分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),设E(2,2,z),则 =(0,1,-2), =(2,2,z),因为 =02+12-2z=0,所以z=1,所以B1E=EB.2.(5分)A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足 =0, =0, =0,M为BC中点,则AMD是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定【解析】选C.因为M为BC中点,所以 = ( + ).所以 = ( + ) = +
9、=0.所以AMAD,AMD为直角三角形.3.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= ,则MN与平面BB1C1C的位置关系是.【解析】因为正方体棱长为a,A1M=AN= ,所以 = , = ,所以 = + + = + + = ( + )+ + ( + )= + .又因为 是平面B1BCC1的法向量,所以 = + =0,所以 .又因为MN平面B1BCC1,所以MN平面B1BCC1.答案:平行4.(10分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,B=C=90,AB=4,CD=1,点M在PB
10、上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30的角.求证: (1)CM平面PAD;(2)平面PAB平面PAD.【证明】以C为坐标原点,CB,CD,CP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.因为PC平面ABCD,所以PBC为PB与平面ABCD所成的角,所以PBC=30.因为PC=2,所以BC=2 ,PB=4,所以D(0,1,0),B(2 ,0,0),A(2 ,4,0),P(0,0,2),M ,0, ,所以 =(0,-1,2), =(2 ,3,0), = ,0, .(1)设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,由 得 令y=2,得n=(- ,2,1).因为n =- +
11、20+1 =0,所以n .又因为CM平面PAD,所以CM平面PAD.(2)如图,取AP的中点E,连接BE,则E( ,2,1), =(- ,2,1).因为PB=AB,所以BEPA.又因为 =(- ,2,1)(2 ,3,0)=0,所以 ,所以BEDA.又因为PADA=A,所以BE平面PAD.又因为BE 平面PAB,所以平面PAB平面PAD.5.(10分)在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.(1)求证:EFCD;(2)在平面PAD内是否存在一点G,使GF平面PCB?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)如图,
12、以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E a, ,0 ,P(0,0,a),F , , , = - ,0, , =(0,a,0).因为 =0,所以 ,即EFCD.(2)存在点G为AD的中点满足题意.假设存在满足条件的点G,设G(x,0,z)则 = x- ,- ,z- ,若使GF平面PCB则由 = x- ,- ,z- (a,0,0)=a x- =0,得x= ;由 = x- ,- ,z- (0,-a,a)= +a z- =0得z=0.所以点G的坐标为 ,0,0 ,即存在满足条件的点G,
13、且点G为AD的中点. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA1平面ABC;(2)证明:在线段BC1上存在点D,使得ADA1B,并求 的值.【证明】(1)因为AA1C1C为正方形,所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C,AA1平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AB,AA1AC.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以ABAC.如图, 以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4).设D(x,y,z)是线段BC1上的一点,且 = ,所以(x,y-3,z)=(4,-3,4),解得x=4,y=3-3,z=4,所以 =(4,3-3,4).由 =0, =(0,3,-4),得9-25=0,解得= .因为 0,1,所以在线段BC1上存在点D,使得ADA1B,此时, = .
