1、陕西省咸阳市三原县北城中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共计60分）1（5分）ABC中，若a=1，c=2，B=30，则ABC的面积为（）ABC1D2（5分）等比数列an中，a7=10，q=2，则a10=（）A4B40C80D803（5分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=135，B=30，a=，则b等于（）A1BCD24（5分）数列an是等差数列，且a3+a7=4，则数列an的前9项和S9等于（）AB18C27D365（5分）如果变量x，y满足条件上，则z=xy的最大值（）A2BC1D16（5分）已知（3，1）和（4，6）在直
2、线3x2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）Aa1或a24Ba=7或a=24C7a24D24a77（5分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定8（5分）在ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c，sinA、sinB、sinC成等比数列，且c=2a，则cosB的值为（）ABCD9（5分）若两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn和Tn，已知，则=（）A7BCD10（5分）设数列an的前n项和Sn=n2+n，则a7的值为（）A13B14C15D1611（5分）如图，已知
3、两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于1km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A1kmBkmCkmD2km12（5分）若不等式x2+ax+10对一切成立，则a的最小值为（）A0B2CD3二、填空题（每小题5分，共计25分）13（5分）若x0，则x+的最小值为14（ 5分）已知an是等比数列，an0，且a4a6+2a5a7+a6a8=36，则a5+a7等于15（5分）在ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A等于16（5分）已知正项等比数列an满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为17（5分）观察下列
4、等式12=11222=31222+32=61222+3242=10照此规律，第n个等式可为1222+3242+（1）n+1n2=三、解答题18（12分）已知等差数列an中，a1=1，a3=3（）求数列an的通项公式；（）若数列an的前k项和Sk=35，求k的值19（12分）若不等式ax2+5x20的解集是，求不等式ax25x+a210的解集20（13分）在等差数列an中，a2+a7=23，a3+a8=29（）求数列an的通项公式；（）设数列an+bn是首项为1，公比为c的等比数列，求bn的前n项和Sn21（14分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC=b（1）求角A的大
5、小；（2）若a=1，求ABC的周长的取值范围22（14分）某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究，发现一天中环境污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=a|a|+a+，x0，24，其中a是与气象有关的参数，且a（0，用每天f（x）的最大值作为当天的污染指数，记作M（a）（）令t=，x0，24，求t的取值范围；（）按规定，每天的污染指数不得超过2，问目前市中心的污染指数是否超标？陕西省咸阳市三原县北城中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共计60分）1（5分）ABC中，若a=1，c=2，B=30，则ABC的面积为（）A
6、BC1D考点：正弦定理 专题：解三角形分析：利用正弦定理知，SABC=acsinB，从而可得答案解答：解：ABC中，a=1，c=2，B=30，SABC=acsinB=12=故选：A点评：本题考查正弦定理及三角形的面积公式，属于基础题2（5分）等比数列an中，a7=10，q=2，则a10=（）A4B40C80D80考点：等比数列的通项公式 专题：计算题分析：利用等比数列的通项公式表示出a7，将公比q及a7的值代入，求出首项a1的值，然后再利用等比数列的通项公式表示出a10，将首项a1及公比q的值代入，即可求出a10的值解答：解：q=2，a7=a1q6=64a1，又a7=10，64a1=10，即a
7、1=，则a10=a1q9=（2）9=80故选D点评：此题考查了等比数列的通项公式，熟练掌握通项公式是解本题的关键3（5分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=135，B=30，a=，则b等于（）A1BCD2考点：正弦定理 专题：计算题分析：由A与B的度数求出sinA与sinB的值，再由a的值，利用正弦定理求出b的值即可解答：解：A=135，B=30，a=，由正弦定理=得：b=1故选：A点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键4（5分）数列an是等差数列，且a3+a7=4，则数列an的前9项和S9等于（）AB18C27D36考点：等差数
8、列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列的性质和前n项和公式求解解答：解：数列an是等差数列，且a3+a7=4，数列an的前9项和：S9=（a3+a7）=4=18故选：B点评：本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用5（5分）如果变量x，y满足条件上，则z=xy的最大值（）A2BC1D1考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：画出满足条件的可行域，求出各角点的坐标，进而代入目标函数，求出各角点对应的目标函数的值，比较后可得目标函数的最大值解答：解：满足条件 的可知域如图所示：目标函数为z=xy，且zA=1，zB=2，zC=，故x
9、y的最大值为 1故答案为：1点评：本题考查的知识点是简单线性规划，熟练掌握角点法在解答线性规划类问题时的方法和步骤是关键6（5分）已知（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）Aa1或a24Ba=7或a=24C7a24D24a7考点：二元一次不等式（组）与平面区域 专题：计算题；转化思想分析：将两点坐标分别代入直线方程中，只要异号即可解答：解：因为（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，所以有（3321+a）3（4）26+a0，解得7a24故选C点评：本题考查线性规划知识的应用一条直线把整个坐标平面分成了三部分，让其大于0的点，让其大于0的点以及让其小
10、于0的点7（5分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得ABC的形状解答：解：ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角
11、形为直角三角形，故选B点评：本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题8（5分）在ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c，sinA、sinB、sinC成等比数列，且c=2a，则cosB的值为（）ABCD考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用 专题：解三角形分析：利用等比数列的性质，结合正弦定理可得b2=ac，再利用c=2a，可得，利用cosB=，可得结论解答：解：sinA、sinB、sinC成等比数列，sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得b2=ac，c=2a，cosB=故选B点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查等比数列的
12、性质，考查学生的计算能力，正确运用正弦定理、余弦定理是关键9（5分）若两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn和Tn，已知，则=（）A7BCD考点：等差数列的性质 分析：由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解解答：解：故选：D点评：本题主要考查等差数列的性质，如果两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn和Tn，仿照本题解析的方法一定有关系式10（5分）设数列an的前n项和Sn=n2+n，则a7的值为（）A13B14C15D16考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由已知得a7=S7S6，由此能求出结果解答：解：数列an的前n项和Sn=n2+n，a7=S7S6=49+73
13、66=14故选：B点评：本题考查数列的第7项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列的性质的合理运用11（5分）如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于1km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A1kmBkmCkmD2km考点：解三角形的实际应用 专题：解三角形分析：先根据题意求得ACB，进而根据余弦定理求得AB解答：解：依题意知ACB=1802040=120，在ABC中，由余弦定理知AB=即灯塔A与灯塔B的距离为km故选C点评：本题主要考查了余弦定理的应用余弦定理可以解决知道两个边和1个角来求令一个边12（5分）若不等式x2
14、+ax+10对一切成立，则a的最小值为（）A0B2CD3考点：一元二次不等式与二次函数 专题：不等式的解法及应用分析：令f（x）=x2+ax+1，要使得f（x）0在区间（0，）恒成立，只要f（x）在区间（0，）上的最小值大于等于0即可得到答案解答：解：设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=若，即a1时，则f（x）在0，上是减函数，应有f（）0a1若0，即a0时，则f（x）在0，上是增函数，应有f（0）=10恒成立，故a0若0，即1a0，则应有f（）=恒成立，故1a0综上，有a故选：C点评：本题主要考查一元二次函数求最值的问题一元二次函数的最值是高考中必考内容，要注意一元二次函数的开口方向、
15、对称轴、端点值二、填空题（每小题5分，共计25分）13（5分）若x0，则x+的最小值为考点：基本不等式 专题：计算题分析：由于x和都是正数，x与的积是常数，所以使用基本不等式求式子的最小值，注意检验等号成立条件解答：解：x0，0，由基本不等式得：x+2，当且仅当x=，即x=时取等号，当x=时，x+有最小值为 2，故答案为2点评：本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式使用条件：一正、二定、三相等，即不等式的各项都是正数，和或积中出现定值、等号成立条件具备14（5分）已知an是等比数列，an0，且a4a6+2a5a7+a6a8=36，则a5+a7等于6考点：等比数列的性质 专题：计算题分析：根据
16、等比数列的性质得到已知条件+2a5a7+a6a8=36等价于a52+2a5a7+a72=（a5+a7）2=36，通过解方程得到a5+a7的值解答：解：因为a4a6+2a5a7+a6a8=36，所以a52+2a5a7+a72=（a5+a7）2=36，因为等比数列an中，an0，所以a5+a7=6故答案为：6点评：本题考查等比数列的有关性质：在等比数列an中，若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，则有aman=apaq属于基础题15（5分）在ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A等于120考点：余弦定理 专题：计算题分析：利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式变形后代入求出cosA的值，
17、由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数解答：解：a2=b2+c2+bc，b2+c2a2=bc，根据余弦定理得：cosA=，又A（0，180），则角A=120故答案为：120点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理的结构特征是解本题的关键，同时注意角度的范围16（5分）已知正项等比数列an满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为考点：等比数列的性质；基本不等式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知中正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，我们易求出数列的公比，再结合存在两项am、an使得，我们可以求出正整数m，n的和
18、，再结合基本不等式中“1”的活用，即可得到答案解答：解：设等比数列an的首项为a1，公比为q，a7=a6+2a5，则a1q6=a1q5+2a1q4即q2q2=0，解得q=2或q=1（舍去）若，则m+n=6则6（）=（m+n）（）=5+（）5+4=9则故答案为点评：本题考查的知识点是等比数列的性质，基本不等式，其中根据已知中正项等比数列an满足：a7=a6+2a5若存在两项am、an使得，将问题转化为用基本不等式求最值是解答本题的关键17（5分）观察下列等式12=11222=31222+32=61222+3242=10照此规律，第n个等式可为1222+3242+（1）n+1n2=考点：归纳推理
19、专题：推理和证明分析：等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为1222+3242+（1）n1n2再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可解答：解：观察下列等式：12=11222=31222+32=61222+3242=10分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为1222+3242+（1）n1n2当n为偶数时，分组求和（1222）+（3242）+（n1）2n2=，当n为奇数时，第n个等式左边=（1222）+（3242）+（n2）2（n1）2+n2=+n2=综上，第n个等式为1222+3242+（1）n+1n2=，故答案为：点评：本题考查规律型中的数字变
20、化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系三、解答题18（12分）已知等差数列an中，a1=1，a3=3（）求数列an的通项公式；（）若数列an的前k项和Sk=35，求k的值考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和 专题：综合题；转化思想分析：（I）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k
21、为正整数得到满足题意的k的值解答：解：（I）设等差数列an的公差为d，则an=a1+（n1）d由a1=1，a3=3，可得1+2d=3，解得d=2，从而，an=1+（n1）（2）=32n；（II）由（I）可知an=32n，所以Sn=2nn2，进而由Sk=35，可得2kk2=35，即k22k35=0，解得k=7或k=5，又kN+，故k=7为所求点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题19（12分）若不等式ax2+5x20的解集是，求不等式ax25x+a210的解集考点：一元二次不等式的应用 专题：计算题分析：由不等式的解集与方程的关系，可知，2是相应方程的
22、两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax25x+a210易解出其解集解答：解：由已知条件可知a0，且是方程ax2+5x2=0的两个根，（2分）由根与系数的关系得：解得a=2（4分）所以ax25x+a210化为2x2+5x30，（6分）化为：（2x1）（x+3）0（8分）解得，（10分）所以不等式解集为（12分）点评：本题的考点是一元二次不等式的应用，主要考查一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a的值，是解答本题的关键20（13分）在等差数列an中，a2+a7=23，a3+a8=29（）求数列an的通项公式；（）设数列an+bn是首项为1，公比为c的
23、等比数列，求bn的前n项和Sn考点：数列的求和；等差数列的通项公式 专题：计算题分析：（）依题意 a3+a8（a2+a7）=2d=6，从而d=3由此能求出数列an的通项公式（）由数列an+bn是首项为1，公比为c的等比数列，得，所以 所以 =由此能求出bn的前n项和Sn解答：（）解：设等差数列an的公差是d依题意 a3+a8（a2+a7）=2d=6，从而d=3所以 a2+a7=2a1+7d=23，解得 a1=1所以数列an的通项公式为 an=3n+2（）解：由数列an+bn是首项为1，公比为c的等比数列，得 ，即，所以 所以 =从而当c=1时，；当c1时，点评：本题考查数列的通项公式和前n项和
24、公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化21（14分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC=b（1）求角A的大小；（2）若a=1，求ABC的周长的取值范围考点：正弦定理的应用 专题：计算题；三角函数的求值；解三角形分析：（1）根据正弦定理化简题中等式，得sinAcosCsinC=sinB由三角形的内角和定理与诱导公式，可得sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，代入前面的等式解出cosA=，结合A（0，）可得角A的大小；（2）根据A=且a=1利用正弦定理，算出b=sinB且c=sinC，结合C=B代入ABC的周长表达式，利用
25、三角恒等变换化简得到ABC的周长关于角B的三角函数表达式，再根据正弦函数的图象与性质加以计算，可得ABC的周长的取值范围解答：解：（）acosC=b，根据正弦定理，得sinAcosCsinC=sinB又ABC中，sinB=sin（B）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，sinAcosCsinC=sinAcosC+cosAsinC，化简得sinC=cosAsinC，结合sinC0可得cosA=A（0，），A=；（）A=，a=1，根据正弦定理，可得b=sinB，同理可得c=sinC，因此，ABC的周长l=a+b+c=1+sinB+sinC=1+sinB+sin（B）=1+sin
26、B+（cosBsinB）=1+（sinB+cosB）=1+sin（B+）B（0，），得B+（，）sin（B+）（，1，可得l=a+b+c=1+sin（B+）（2，1+即ABC的周长的取值范围为（2，1+点评：本题已知三角形的边角关系式，求角A的大小，并在边a=1的情况下求三角形的周长的取值范围着重考查了正弦定理、三角函数的图象与性质、三角恒等变换和函数的值域与最值等知识，属于中档题22（14分）某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究，发现一天中环境污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=a|a|+a+，x0，24，其中a是与气象有关的参数，且a（0，用每天f（x）的最大值作为
27、当天的污染指数，记作M（a）（）令t=，x0，24，求t的取值范围；（）按规定，每天的污染指数不得超过2，问目前市中心的污染指数是否超标？考点：函数模型的选择与应用 专题：应用题；函数的性质及应用分析：（）利用取倒数，求导数，确定函数的单调性，可得t的取值范围；（）分段求出每天的综合放射性污染指数不超过2时a的范围，即可得到结论解答：解：（）当x=0时，t=0；当0x24时，=x+对于函数y=x+，y=1，当0x1时，y0，函数y=x+单调递减，当1x24时，y0，函数y=x+单调递增，y2，+）综上，t的取值范围是0，；（）由（）知t的取值范围是0，；当a（0，时，记g（t）=|ta|+a+，则g（t）=g（t）在0，a上单调递减，在（a，上单调递增，g（t）的最大值只可能在t=0或t=时取得从而M（a）=g（）=a2+a+由，解得0a，a（0，时，污染指数不超标；a（，时，污染指数超标点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用及分类讨论的思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
