1、习题课函数最值的应用课后训练巩固提升1.函数f(x)=(a0)在区间2,4上的最小值为()A.0B.C.D.不确定解析:f(x)=a=a.a0.函数f(x)在区间2,4上单调递增.故当x=2时,函数f(x)在区间2,4上有最小值.故选B.答案:B2.函数f(x)=x3-3ax+a(a0)在区间(0,+)上的最小值为()A.1B.1-2aC.a(1+2)D.a(1-2)解析:f(x)=3x2-3a=3(x2-a)=3(x-)(x+).当x(0,)时,f(x)0,f(x)在区间(,+)上单调递增.所以f(x)min=f()=a(1-2).故选D.答案:D3.函数f(x)=-x3+ax2-a2x+3
2、在区间-1,3上的最大值为()A.a2+a+B.-3a2+9a-6C.3-a3D.3解析:因为f(x)=-x2+2ax-a2=-(x-a)20在R上恒成立,所以函数f(x)在区间-1,3上单调递减.所以函数f(x)max=f(-1)=a2+a+.故选A.答案:A4.若不等式2xln x+x2+ax+30对x(0,+)恒成立,则实数a可取的值组成的集合是()A.a|-4a0B.a|a-4C.a|0a4D.a|a4解析:由题意得ax-2xln x-x2-3.因为x0,所以a-2ln x-x-.设g(x)=-2ln x-x-,则g(x)=-1+.当x(0,1)时,g(x)0,函数g(x)在区间(0,
3、1)内单调递增;当x(1,+)时,g(x)0,函数g(x)在区间(1,+)上单调递减.故函数g(x)max=g(1)=-4,所以ag(x)max=-4,即a|a-4.故选B.答案:B5.函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间-3,2上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|t,则实数 t的取值范围为()A.t20B.t20C.t-20D.t-20解析:f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).令f(x)=0,得x=1.根据函数的单调性,可得-1,1为函数f(x)的极值点.因为f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间-3,2上,f(x)max=1
4、,f(x)min=-19.由题意知,在区间-3,2上,f(x)max-f(x)mint,从而t20.故选A.答案:A6.(多选题)对于函数f(x)=,下列说法正确的是()A.f(x)在x=e处取得极大值B.f(x)有两个不同的零点C.f(2)f()f(3)D.若f(x)1解析:函数f(x)的定义域为(0,+),导数f(x)=.令f(x)=0,解得x=e.易知函数f(x)在区间(0,e)内单调递增,在区间(e,+)内单调递减.所以,当x=e时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(e)=,故A正确;由f(x)=0,即ln x=0,得x=1,所以函数f(x)只有一个零点,故B错误;因为函数f(x)在
5、区间(e,+)内单调递减,所以f(3)f()f(4),又因为f(2)=f(4),所以f(2)f()f(3),故C正确;若f(x).设h(x)=(x0),则h(x)=-.令h(x)=0,解得x=1.由h(x)的单调性可得,当x=1时,函数h(x)取得极大值也是最大值h(1)=1,所以k1,故D正确.答案:ACD7.已知直线x=t与函数f(x)=ex+1的图象及g(x)=2x-1的图象分别相交于点A和点B,则|AB|的最小值为.解析:由题意得,|AB|=|et+1-(2t-1)|=|et-2t+2|.设h(t)=et-2t+2,则h(t)=et-2.令h(t)=0,解得t=ln 2.可得函数h(t
6、)在区间(-,ln 2)上单调递减,在区间(ln 2,+)上单调递增,所以h(t)min=h(ln 2)=4-2ln 20,即|AB|的最小值为4-2ln 2.答案:4-2ln 28.函数f(x)=kln x-(k0)在区间(0,1上的最大值为.解析:f(x)=.k0,x(0,1,kx+10,即f(x)0.函数f(x)在区间(0,1上是增函数.当x=1时,函数f(x)取得最大值f(1)=-1.答案:-19.已知函数f(x)=ax3-3x+1对x(0,1f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.解:当x(0,1时,不等式ax3-3x+10恒成立,即a.设g(x)=,x(0,1,则g(x)=-.令g(
7、x)=0,解得x=.当x时,g(x)0,函数g(x)在区间内单调递增;当x时,g(x)0,函数g(x)在区间内单调递减.所以,当x=时,函数g(x)取得最大值g(x)max=g=4.所以实数a的取值范围是4,+).10.设f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值;(2)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)0成立.解:(1)函数f(x)=ln x的定义域为(0,+).由f(x)=ln x,得f(x)=,则g(x)=ln x+.g(x)的定义域为(0,+),g(x)=.令g(x)=0,得x=1.当x(0,1)时,g(x)0,故函数g(x)在区间(1,+
8、)上单调递增.因此,x=1是g(x)在区间(0,+)上的唯一极值点,且为极小值点,故g(x)min=g(1)=1.综上,函数g(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+).g(x)的最小值是1.(2)由(1)知函数g(x)的最小值为1,g(a)=ln a+.g(a)-g(x)0成立等价于g(a)-1,即ln a1,解得0ae.故a的取值范围是(0,e).11.某工厂生产某种产品,次品率p与日产量x(单位:万件)间的关系为p=(c为常数,且0cc时,p=,y=x3-x=0;当0xc时,p=,y=x3-x.日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为y=f(x)=(c为常数,且0
9、cc时,日盈利额为0.当0xc时,y=,y=.令y=0,得x=3或x=9(舍去).若0c0,函数y在区间(0,c上单调递增,当x=c时,y最大值=.若3c0,当x(3,c)时,y0,函数y在区间(0,3)内单调递增,在区间(3,c)上单调递减.当x=3时,y最大值=.综上,若0c3,则当日产量为c万件时,日盈利额最大;若3c6,则当日产量为3万件时,日盈利额最大.12.已知函数f(x)=ln x-ax+-1(aR).设g(x)=x2-2bx+4,当a=时,若对x1(0,2),x21,2,使f(x1)g(x2),求实数b的取值范围.解:函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=-a+,当a=时,令f(x)=0,得x=1或x=3(舍去).易知函数f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,2)内单调递增,所以,当x=1时,函数f(x)在区间(0,2)内取得极小值也是最小值f(1)=-.“对x1(0,2),x21,2,使f(x1)g(x2)”等价于“g(x)在区间1,2上的最小值不大于f(x)在区间(0,2)上的最小值f(1)=-”.g(x)=(x-b)2+4-b2,x1,2.当b0,不符合题意;当b1,2时,g(x)min=g(b)=4-b20,不符合题意;当b(2,+)时,g(x)min=g(2)=8-4b,解不等式8-4b-,得b.综上,b的取值范围是.
