1、数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合，则为A. B. C. D. 2. 已知是的共轭复数，则A. B. C. D. 13. 空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值 空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日日AQI指数变化趋势：下列叙述错误的是 A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4. 阅读如图所示的程序框图，运行相
2、应的程序，输出的S的值等于A. 30B. 31C. 62D. 635. 设向量，且，则A. 3B. 2C. D. 6. 已知函数是定义在R上的偶函数，当，则，的大小关系为A. B. C. D. 7. “直线：与直线：平行”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知函数，则函数的图象大致为A. B. C. D. 9. 九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A. B. C. D
3、. 10. 已知双曲线的左右焦点分别为，M为双曲线上一点，若，则此双曲线渐近线方程为A. B. C. D. 11. 在各项都为正数的等比数列中，若，且，则数列的前n项和是 A. B. C. D. 12. 已知定义在R上的函数满足，当时，若关于x的方程有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设等差数列的前n项和为，且，若，则_14. 曲线在点处的切线方程为_15. 设函数的图象与y轴交点的纵坐标为，y轴右侧第一个最低点的横坐标为，则的值为_16. 如图，在边长为2的正方形中，边，的中点分别为B，C现将，分别沿AB，BC，
4、CA折起使点，重合，重合后记为点P，得到三棱锥则三棱锥的外接球体积为_三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本单位：元与印刷册数单位：千册之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表印刷册数千册23458单册成本元2根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到了两个回归方程，方程甲：，方程乙：为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务完成下表计算结果精确到；印刷册数千册23458单册成本元2模型甲估计值残值0模型乙估计值2残值00分别计算模型甲与模型乙的残差平方和和，并通过比较，的大小，判断哪个模型拟合效果更好该书上市之后，受
5、到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷根据市场调查，新需求量为10千册，若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，试估计印刷厂二次印刷获得的利润按中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知求角A；若，的周长为，求的面积19. 如图，在直三棱柱中，平面，其垂足D落在直线上求证：；若P是线段AC上一点，三棱锥的体积为，求的值20. 设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点，且离心率为，F为E的右焦点，P为E上一点，轴，的半径为PF求E和的方程；若直线l：与交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使
6、？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由21. 已知函数当时，讨论的导函数的单调性；当时，求a的取值范围22. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，曲线C的参数方其中a为参数以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线l的极坐标方程为试写出曲线C的普通方程和曲线l的直角坐标方程设曲线l与曲线C交于P，Q两点，试求的值23. 设函数，解不等式；若对于任意，都存在，使得成立，试求实数a的取值范围答案和解析1.【答案】D【解析】解：，故选：D由，能求出本题考查交集的定义和运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2.【答案】D【解析】解：，故选：D先利用复数的除法运算法则求出的值，再
7、利用共轭复数的定义求出，从而确定a，b的值，求出本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题3.【答案】C【解析】解：对于A，20天中AQI指数值有10个低于100，10个高于100，其中位数略高于100，A正确；对于B，20天中AQI指数值高于150的天数为5，即占总天数的，B正确；对于C，该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第6天到第11天，空气质量越来越差，C错误；对于D，总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量要好些，D正确故选：C本题考查了频率分布折线图的应用问题，是基础题根据题目中这20天的AQI指数值，判断选项中的命题是否正确即可4.【答案】
8、B【解析】解：由流程图可知该算法的功能为计算的值，即输出值为：故选：B首先确定流程图的功能，然后计算其输出的结果即可本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟计算法是解决本题的关键5.【答案】A【解析】解：因为，又因为，所以，解得，故选：A利用，列出含的方程即可本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题6.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意奇偶性的定义，属于基础题根据题意，由偶函数的性质可得，由对数、指数的性质分析可得，结合函数的单调性分析可得答案【解答】解：根据题意，函数是定义在R上的偶函数，则，又由，当，在上单调递增，则有，即，故选：C7.【答案】B【解
9、析】【分析】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题“直线：与直线：平行”“或”；“”“直线：与直线：平行”，由此能求出结果【解答】解：“直线：与直线：平行”“或”“”“直线：与直线：平行”，“直线：与直线：平行”是“”的必要不充分条件故选：B8.【答案】C【解析】解：根据题意：函数，其定义域为R，有，即函数为偶函数，排除A、D；又由当时，则，排除B，故选：C根据题意，分析可得为偶函数，排除A、D，进而可得当时，排除B，即可得答案本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与函数符号的分析，属于基础题9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了
10、几何概型的概率计算，属于基础题求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案【解答】解：直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为r，则，解得内切圆的面积为，豆子落在内切圆外部的概率，故选：C10.【答案】A【解析】解：由题意，又，化简得：，即，得此双曲线渐近线方程为故选：A由已知结合双曲线定义可得，再由余弦定理及隐含条件求得，则答案可求本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义及余弦定理的应用，是中档题11.【答案】A【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式及运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题运用等比数列的通项公式，解方程求得公比q，可得数列的通项公式，由，
11、运用数列的裂项相消求和，整理即可得到所求和【解答】解：在各项都为正数的等比数列中，设公比为q，若，且，则，解得，则，可得数列，即为，可得，数列的前n项和是，故选：A12.【答案】A【解析】解：由题意，当时，令，解得；令，解得；令，解得在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值且；，又函数在R上满足，函数的图象关于对称函数的大致图象如下：而一次函数很明显是恒过定点结合图象，当时，有两个交点，不符合题意，当时，有两个交点，其中一个是此时与正好相切当时，有三个交点同理可得当时，也有三个交点实数k的取值范围为：故选：A本题根据题意先利用一阶导数分析当时，的函数单调性及图象，然后根据可知函数关于对称即可
12、画出函数的大致图象一次函数很明显是恒过定点，则只要考查斜率k的变动情况，当时，与正好在原点处相切，再根据数形结合法可得k的取值范围，当时也同理可得本题主要考查数形结合法的应用，利用导数分析函数的单调性并画出函数图象，再根据直线过定点而斜率变动分析出斜率的取值范围本题属中档题13.【答案】【解析】解：设等差数列的前n项和为，且，若，则故答案为：利用等差数列的求和公式及其性质即可得出本题考查了等差数列的求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14.【答案】【解析】解：，函数在处的切线斜率为1，又切点坐标为，切线方程为故答案为：利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线
13、方程的点斜式求出切线方程本题考查了函数导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程，正确求导是关键15.【答案】7【解析】解：的图象与y轴交点的纵坐标为，则，轴右侧第一个最低点的横坐标为，由五点对应法得得，故答案为：7根据条件建立方程，分别求出和的值即可本题主要考查三角函数的图象和性质，结合函数与坐标轴的交点坐标建立方程是解决本题的关键16.【答案】【解析】【分析】本题考查多面体的外接球的体积的计算，考查空间想象能力和计算能力，属中档题根据题意，得折叠成的三棱锥三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，可得三棱锥的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合、算出外
14、接球的半径，结合球的体积公式即可算出三棱锥的外接球的体积【解答】解：根据题意，得三棱锥中，、PB、PC两两互相垂直，三棱锥的外接球的直径可得三棱锥的外接球的半径为根据球的体积公式，得三棱锥的外接球的体积为故答案为17.【答案】解：经计算，可得下表：计算结果精确到；印刷册数千册23458单册成本元2模型甲估计值残值00模型乙估计值2残值0000计算模型甲的残差平方和为，模型乙的残差平方和为，模型乙的拟合效果更好；若二次印刷8千册，则印刷厂获利为元，若二次印刷10千册，由可知，单册书印刷成本为元，故二次印刷10千册时，印刷厂利润为元【解析】计算对应的数值，填表即可；计算模型甲、模型乙的残差平方和，
15、比较即可得出结论；计算二次印刷时的成本，求出对应利润值即可本题考查了残差平方和模拟模型拟合效果的应用问题，也考查了成本与利润的应用问题，是综合题18.【答案】解：由正弦定理可得，即，为三角形的内角，；，又的周长为，由余弦定理可得，的面积【解析】由已知结合正弦定理及两角和的正弦公式可求cosA，进而可求A；由已知可求，然后结合余弦定理，可求bc，进而由的面积可求本题主要考查了两角和的正弦公式，余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用，属于中档试题19.【答案】证明平面，平面，平面ABC，平面ABC，又，平面，平面，平面，平面，B.解：设，过点B作于点E由知平面，平面，其垂足D落在直线上，B.，
16、又，解得：，【解析】由平面得，由平面ABC得，故BC平面，所以；设，用x表示出棱锥的体积，列出方程解出x，得到AP和PC的值本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题20.【答案】解：由题意可设椭圆的标准方程为，椭圆的离心率，将点代入椭圆的方程得：，联立解得：，椭圆E的方程为：，轴，的方程为：；由A、B在圆上得，设，同理：，若，则，即，由得，得，无解，故不存在【解析】根据离心率可得，代入得，再代点即可得出E的方程，再求出点F、P的坐标，从而求出圆F的方程；设出C、D的坐标，求出、，根据条件得到，利用韦达定理代入即可得到结论本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题21.【答案
17、】解：当时，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，当时，所以在上单调递增，满足条件；当时，由，得，当时，所以时，在上单调递增，又由，所以，即在上单调递增，所以有，满足条件；当时，当时，在上单调递减，又由，所以，所以在上单调递减，所以有，故此时不满足，故答案为a的取值范围；【解析】直接求，然后求函数的单调区间；求出函数的导数，需要再次求导讨论单调性，求出二阶导数，根据二阶导数的单调性，得出二阶导函数符号，从而得到导数的符号，得到原函数的单调性，求出最值，解决参数的范围；本题求参数的范围用分离参数的方法时，分离参数比较困难，故考虑分类求函数的最值，从而考虑函数的单调性，根据函数的单调性求
18、出函数的最小值；从而求出参数的范围在这个过程中还要讨论二阶导数，这是高考中经常考的内容和方法；22.【答案】解：曲线C的参数方其中a为参数转换为直角坐标方程为：，曲线l的极坐标方程为转换为直角坐标方程为：曲线l与曲线C交于，两点，则：，整理得：，所以：，则：，所以：【解析】直接利用参数方程和直角坐标方程为的转换求出结果利用直线和曲线的位置关系式的应用，利用向量的数量积的运算，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，向量的数量级向量的数量积的运算，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23.【答案】解：，等价于，或，或，解得或，不等式的解集为：或；对任意，都存在，使得成立，即的值域包含的值域，由可得时，的值域为，当且仅当与异号时取等，的值域为则由，得，实数a的取值范围为：【解析】等价于，或，或，分别解不等式即可；对任意，都存在，使得成立，即的值域包含的值域，分别解出和的值域即可本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的最值问题，考查了转化思想和数形结合思想，属中档题版权所有：高考资源网()
