1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时利用向量证明空间中的垂直关系内容标准学科素养1.理解垂直关系与直线方向向量、平面法向量的关系2.掌握利用空间向量证明线线垂直、线面垂直、面面垂直的基本方法.利用直观想象发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第68页基础认识知识点一线线垂直立体几何中怎样证明两条直线垂直？提示：法一：证明两条直线所成的角为90；法二：先证明线面垂直，再由线面垂直的性质证明线线垂直 知识梳理线线垂直设直线l，m的方向向量分别为a，b，则(1)lmabab0；(2)当a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)时，lma1a2b1b2c1c20.知识点二线面垂直立体几何中直线与平
2、面垂直是怎样判定的？提示：法一：该直线与平面内的两条相交直线垂直，可以得到线面垂直法二：若两条平行线中的一条直线与平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直 (1)已知直线l的方向向量为m，平面的法向量为n，若mn，则l.(2)已知直线l的方向向量为m，平面内有两条相交直线a，b，abO，直线a，b的方向向量为a，b，若ml.知识梳理线面垂直设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，则(1)lanan(R)；(2)当a(a1，b1，c1)，n(a2，b2，c2)，l(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)知识点三面面垂直知识梳理设平面，的法向量分别为n1，n2，则(1)n1n2n1n20；(2)当n
3、1(a1，b1，c1)，n2(a2，b2，c2)时，a1a2b1b2c1c20自我检测1直线l1，l2的方向向量分别为a(1,2，2)，b(2,3,2)，则()Al1l2Bl1与l2相交，但不垂直Cl1l2D不能确定答案：C2设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量(2，4，k)，若，则k()A2B5C4 D2答案：B授课提示：对应学生用书第68页探究一利用向量方法证明线线垂直教材P111练习1 如图，空间四边形ABCD的每条边和AC，BD的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MNAB，MNCD.证明：设一个基底a，b，c，则bca，cb.aabaca2a2a2a20，.(c
4、b)bcc2acb2bcab0，MNAB，MNCD.例1已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CNCC1.求证：AB1MN.证明设AB中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知得A，B，C，N，B1，M为BC中点，M.，(1,0,1)，00.，AB1MN.方法技巧利用向量方法证明线线垂直的方法利用向量方法证明线线垂直，其思路是证明两条直线的方向向量互相垂直，具体方法有以下两种(1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线
5、方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直；(2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直跟踪探究1.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，求证：ACBC1.证明：直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，AC，BC，C1C两两垂直如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0,0,
6、0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，(3,0,0)，(0，4,4)，0.ACBC1.探究二利用向量方法证明线面垂直教材P107练习1如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是BB1，CD的中点，求证：D1F平面ADE.证明：以、为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz(图略)设正方体棱长为1，则D1(0,0,1)，F，A(1,0,0)，E，.0，D1FDE.0，D1FAE.又AEDEE，D1F平面ADE.例2如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点求证：AB1平面A1BD.证明如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角
7、形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，且平面ABC平面BCC1B1BC，AO平面ABC，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)所以(1,2，)，(1,2，)，(2,1,0)因为1(1)22()0.1(2)21()00.所以，即AB1BA1，AB1BD.又因为BA1BDB，所以AB1平面A1BD.方法技巧利用空间向量证明线面垂直的方法(1)基向量法：选取基向量，
8、用基向量表示直线所在的向量，在平面内找出两个不共线的向量，也用基向量表示，然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论(2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标，然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论(3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论跟踪探究2.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为DD1的中点求证：直线PB1平面PAC.证明：如图，
9、以D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，(1,0，1)，(0,1，1)，(1,1,1)(1,1,1)(1,0，1)0，所以，即PB1PC.又(1,1,1)(0,1，1)0，所以，即PB1PA.又PAPCP，所以PB1平面PAC.探究三利用向量法证明面面垂直教材P112页习题3.2A组2题改编如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，求证：平面ACD1平面B1DB.证明：以，为正交基底建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，C(0,1,
10、0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，110，DB1AC.又110，DB1AD1.ACAD1A，DB1平面ACD1.又DB1平面DB1B，平面ACD1平面B1DB.例3三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，BAC90，A1A平面ABC，A1A，ABAC2A1C12，D为BC的中点证明：平面A1AD平面BCC1B1.证明法一：如图，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0
11、,1，)D为BC的中点，D点坐标为(1,1,0)，(1,1,0)，(0,0，)，(2,2,0)，1(2)12000，0(2)0200，BCAD，BCAA1.又A1AADA，BC平面A1AD.又BC平面BCC1B1，平面A1AD平面BCC1B1.法二：同方法一建系后，得(0,0，)，(1,1,0)，(2,2,0)，(0，1，)设平面A1AD的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2(x2，y2，z2)由得令y11，则x11，z10，n1(1，1,0)由得令y21，则x21，z2，n2.n1n21100，n1n2，平面A1AD平面BCC1B1.方法技巧1.利用空间向量证明面
12、面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直2向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度跟踪探究3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点(1)求证：平面AED平面A1FD1；(2)在直线AE上求一点M，使得A1M平面AED.解析：(1)证明：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系
13、Dxyz.设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，(2,0,0)，(2,2,1)，(0,1，2)设平面AED的一个法向量为n1(x1，y1，z1)由得令y11，得n1(0,1，2)同理，平面A1FD1的一个法向量为n2(0,2,1)n1n2(0,1，2)(0,2,1)0，n1n2，平面AED平面A1FD1.(2)由于点M在直线AE上，因此可设(0,2,1)(0,2，)，则M(2,2，)，(0,2，2)要使A1M平面AED，只需n1，即，解得.故当AMAE时，A1M平面AED.授课提示：对应学生用书第7
14、0页课后小结(1)用空间向量解决立体几何中的垂直问题，主要运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也需要借助空间中已有的位置关系及关于垂直的定理(2)应用向量证明垂直问题的基本步骤：建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系，选取适当的基底)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线和平面；通过向量运算研究垂直问题；根据运算结果解释相关问题素养培优利用平面的法向量求解空间中的探索性问题在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P平面C1DE.思路点拨建立直角坐标系，设出点P的坐标，将平面垂直当作已知条件利用它们的法向量垂直可得
15、P点坐标解析：如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，P(0,1，a)，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E，C1(0,1,1)，(0,1,0)，(1,1，a1)，(0,1,1)设平面A1B1P的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则x1(a1)z1，y10.令z11，得x1a1，n1(a1,0,1)设平面C1DE的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则令y21，得x22，z21，n2(2,1，1)平面A1B1P平面C1DE，n1n20，即2(a1)10，得a.当P为CC1的中点时，平面A1B1P平面C1DE.思维启示立体几何中探索性、存在性问题的思维层次较高，分析时应特别注意本题考查面面垂直关系的逆用，由题意设出探求点的坐标，求出两平面的法向量是解题的关键- 10 - 版权所有高考资源网
