1、2016-2017学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1命题“xR，x29”的否定是2抛物线y2=2x的焦点坐标为3过点P（0，1），且与直线2x+3y4=0垂直的直线方程为4直线3x4y12=0与两条坐标轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则ABO的面积等于5函数y=x32x2+x的单调递减区间为6“m=1”是“直线l1：mx2y1=0和直线l2：x（m1）y+2=0相互平行”的条件（用“充分不必要”，“必要不充分条件”，“充要”，“既不充分也不必要”填空）7函数y=x2xlnx在区间1，3上的最小值等于8如图，四棱锥PABCD中，PA底
2、面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论：AD平面PBC；平面PAC平面PBD；平面PAB平面PAC；平面PAD平面PDC其中正确的结论序号是9已知圆C：x2+y24x2y+1=0上存在两个不同的点关于直线x+ay1=0对称，过点A（4，a）作圆C的切线，切点为B，则|AB|=10已知圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为，则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为11已知函数在区间（m，m+2）上单调递减，则实数m的取值范围为12在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：ax+y+2=0和点A（3，0），若直线l上存在点M满足MA=2MO，则实数a的取值范围为13在平面
3、直角坐标系xoy中，直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，则当a0时，实数b的最小值是14已知F是椭圆的左焦点，A，B为椭圆C的左、右顶点，点P在椭圆C上，且PFx轴，过点A的直线与线段PF交与点M，与y轴交与点E，直线BM与y轴交于点N，若NE=2ON，则椭圆C的离心率为二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15已知圆M的圆心在直线y=x上，且经过点A（3，0），B（1，2）（1）求圆M的方程；（2）直线l与圆M相切，且l在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍，求直线l的方程16如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为矩形，平面CDD1
4、C1平面ABCD，E，F分别是CD，AB的中点，求证：（1）ADCD；（2）EF平面ADD1A117从旅游景点A到B有一条100km的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为50km/h，当游轮的速度为10km/h时，燃料费用为每小时60元，设游轮的航速为vkm/h，游轮从A到B一个单程航行的总费用为S元（1）将游轮从A到B一个单程航行的总费用S表示为游轮的航速v的函数S=f（v）；（2）该游轮从A到B一个单程航行的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求出最小总费用18已知椭圆C： +=1（ab0）上的左、右顶
5、点分别为A，B，F1为左焦点，且|AF1|=2，又椭圆C过点（）求椭圆C的方程；（）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上（点A，B除外），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1=，证明：A，P，Q三点共线19已知函数f（x）=a（x1）lnx（a为实数），g（x）=x1，h（x）=（1）当a=1时，求函数f（x）=a（x1）lnx在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若h（x）=f（x），求实数a的值20在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=t（1t2）上一点（1）已知t=若点P在第一象限，且OP=，求过点P的圆O的切线方
6、程；若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（2）设直线l与x轴交于点M，线段OM的中点为Q，R为圆O上一点，且RM=1，直线RM与圆O交于另一点N，求线段NQ长的最小值第二卷（附加题.每题10分。）21求曲线f（x）=在x=2处的切线与x轴交点A的坐标22已知点P是圆x2+y2=1上的一个动点，定点M（1，2），Q是线段PM延长线上的一点，且，求点Q的轨迹方程23如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点（）证明：BEDC；（）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（）若F为
7、棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值24如图，已知抛物线y2=4x，过点P（2，0）作斜率分别为k1，k2的两条直线，与抛物线相交于点A、B和C、D，且M、N分别是AB、CD的中点（1）若k1+k2=0，求线段MN的长；（2）若k1k2=1，求PMN面积的最小值2016-2017学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1命题“xR，x29”的否定是xR，x29【考点】命题的否定【分析】由已知中的原命题，结合特称命题否定的定义，可得答案【解答】解：命题“xR，x29”的否定是命题“xR，x29”，故答案为：xR
8、，x292抛物线y2=2x的焦点坐标为【考点】抛物线的简单性质【分析】焦点在x轴的正半轴上，且p=1，利用焦点为（，0），写出焦点坐标【解答】解：抛物线y2=2x的焦点在x轴的正半轴上，且p=1，=，故焦点坐标为（，0），故答案为：（，0）3过点P（0，1），且与直线2x+3y4=0垂直的直线方程为3x2y+2=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】求出已知直线的斜率，利用相互垂直的两直线的斜率关系求得待求直线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案【解答】解：直线2x+3y4=0的斜率k=，与直线2x+3y4=0垂直的直线的斜率为则点P（0，1），且与直线2x+3y4=0垂直的直线方
9、程为y1=（x0），整理得：3x2y+2=0故答案为：3x2y+2=04直线3x4y12=0与两条坐标轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则ABO的面积等于6【考点】直线的截距式方程【分析】直线3x4y12=0与两条坐标轴分别交于点A（4，0），B（0，3），即可得出【解答】解：直线3x4y12=0与两条坐标轴分别交于点A（4，0），B（0，3），SABO=6故答案为：65函数y=x32x2+x的单调递减区间为（，1）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可【解答】解：y=3x24x+1=（3x1）（x1），令y0，解得：x1，故函数在
10、（，1）递减，故答案为：（，1）6“m=1”是“直线l1：mx2y1=0和直线l2：x（m1）y+2=0相互平行”的充分不必要条件（用“充分不必要”，“必要不充分条件”，“充要”，“既不充分也不必要”填空）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】求出直线平行的充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可【解答】解：若直线l1：mx2y1=0和直线l2：x（m1）y+2=0相互平行，则m（m1）=2，解得：m=2或m=1，故m=1是直线平行的充分不必要条件，故答案为：充分不必要7函数y=x2xlnx在区间1，3上的最小值等于0【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】求出函数的导数，根据
11、x的范围，求出函数的单调性，从而求出函数的最小值即可【解答】解：y=2x1=，由x1，3，故y0在1，3恒成立，故函数在1，3递增，x=1时，函数取最小值，函数的最小值是0，故答案为：08如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论：AD平面PBC；平面PAC平面PBD；平面PAB平面PAC；平面PAD平面PDC其中正确的结论序号是【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】运用正方形的性质和线面平行的判定定理，即可判断；运用线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定定理即可判断；运用线面垂直的性质，可得二面角的平面角，判断即可得到；运用线面垂直的性
12、质和判断，结合面面垂直的判定定理，即可得到结论【解答】解：由底面为正方形，可得ADBC，AD平面PBC，BC平面PBC，可得AD平面PBC；在正方形ABCD中，ACBD，PA底面ABCD，可得PABD，PAAC=A，可得BD平面PAC，BD平面PBD，即有平面PAC平面PBD；PA底面ABCD，可得PAAB，PAAC，可得BAC为二面角BPAC的平面角，显然BAC=45，故平面PAB平面PAC不成立；在正方形ABCD中，可得CDAD，PA底面ABCD，可得PACD，PAAD=A，可得CD平面PAD，CD平面PCD，即有平面PAD平面PDC综上可得，正确故答案为：9已知圆C：x2+y24x2y+
13、1=0上存在两个不同的点关于直线x+ay1=0对称，过点A（4，a）作圆C的切线，切点为B，则|AB|=6【考点】关于点、直线对称的圆的方程【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值【解答】解：圆C：x2+y24x2y+1=0，即（x2）2+（y1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆由题意可得，直线l：x+ay1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a1=0，a=1，点A（4，1）AC=2，CB=R=2，切线的长|AB|=6故答案为610已知圆柱甲的底面半径R等于
14、圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为，则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为24【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由圆锥乙的侧面积求出圆锥乙的高为，由此利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式能求出圆柱甲和圆锥乙的体积之比【解答】解：圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为，解得l=，圆锥乙的高h=，圆柱甲和圆锥乙的体积之比为：=24故答案为：2411已知函数在区间（m，m+2）上单调递减，则实数m的取值范围为1，1【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而得到（m，m+2）（2，3），求出m的范围
15、即可【解答】解：f（x）=，令f（x）0，解得：1x3，故f（x）在（1，3）递减，故（m，m+2）（1，3），故，解得：1m1，故答案为：1，112在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：ax+y+2=0和点A（3，0），若直线l上存在点M满足MA=2MO，则实数a的取值范围为a0，或a【考点】点到直线的距离公式；两点间的距离公式【分析】取M（x，2ax），直线l上存在点M满足MA=2MO，可得=2，化为：（a2+1）x2+（4a2）x+1=0，此方程有实数根，可得0，解出即可得出【解答】解：取M（x，2ax），直线l上存在点M满足MA=2MO，=2，化为：（a2+1）x2+（4a2）x+1=
16、0，此方程有实数根，=（4a2）24（a2+1）0，化为3a24a0，解得a0，或a故答案为：a0，或a13在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，则当a0时，实数b的最小值是2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数y的导数，设切点为（m，n），由条件得到2=，n=2m+b，n=2alnm，即有b=2alna2a（a0），再对b求导，求出单调区间，极值也为最值，即可得到所求【解答】解：y=2alnx的导数为y=，由于直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，则设切点为（m，n），则2=，n=2m+b，n=2alnm，即有b=2alna2a（a0）
17、，b=2（lna+1）2=2lna，当a1时，b0，函数b递增，当0a1时，b0，函数b递减，即有a=1为极小值点，也为最小值点，且最小值为：2ln12=2故答案为：214已知F是椭圆的左焦点，A，B为椭圆C的左、右顶点，点P在椭圆C上，且PFx轴，过点A的直线与线段PF交与点M，与y轴交与点E，直线BM与y轴交于点N，若NE=2ON，则椭圆C的离心率为【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=c，x=0，可得M，E的坐标，再由直线BM与y轴交于点N，NE=2ON，可得N的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，
18、即可得到所求值【解答】解：由题意可设F（c，0），A（a，0），B（a，0），令x=c，代入椭圆方程可得y=b=，可得P（c，），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=c，可得M（c，k（ac），令x=0，可得E（0，ka），直线BM与y轴交于点N，NE=2ON，N（0，），由B，N，M三点共线，可得kBN=kBM，即为=，化简可得=，即为a=2c，可得e=故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15已知圆M的圆心在直线y=x上，且经过点A（3，0），B（1，2）（1）求圆M的方程；（2）直线l与圆M相切，且l在y轴上的截距是在x轴上截距的
19、两倍，求直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）设圆心坐标为（a，a），则（a+3）2+a=（a1）2+（a2）2，解得a=1，r=，即可求圆M的方程；（2）由题意，直线l不过原点，设方程为=1，即2x+y2a=0，利用直线l与圆M相切，建立方程，求出a，可得直线l的方程【解答】解：（1）设圆心坐标为（a，a），则（a+3）2+a=（a1）2+（a2）2，解得a=1，r=，圆M的方程为（x+1）2+（y1）2=5，（2）由题意，直线l不过原点，设方程为=1，即2x+y2a=0，直线l与圆M相切，=，a=2或3，直线l的方程为2x+y4=0或2x+y+6=016如图，四棱柱ABCDA
20、1B1C1D1的底面ABCD为矩形，平面CDD1C1平面ABCD，E，F分别是CD，AB的中点，求证：（1）ADCD；（2）EF平面ADD1A1【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【分析】（1）利用平面与平面垂直的性质定理即可证明（2）利用已知条件证明四边形AFEG是平行四边形，从而根据EFAG即可证明EF平面ADD1A1【解答】证明：（1）由底面ABCD为矩形可得ADCD又平面C1D1DC平面ABCD，平面C1D1DC平面ABCD平面=CD，AD平面C1D1DC 又CD1面C1D1DC，ADCD1 （2）设DD1中点为G，连结EG，AGE，G分别为CD1，DD1的中点，EGCD
21、，EG=CD在矩形ABCD中，F是AB的中点，AF=CD且AFCD，EGAF，且EG=AF四边形AFEG是平行四边形，EFAG又AG平面ADD1A1，EF平面ADD1A1，EF平面ADD1A117从旅游景点A到B有一条100km的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为50km/h，当游轮的速度为10km/h时，燃料费用为每小时60元，设游轮的航速为vkm/h，游轮从A到B一个单程航行的总费用为S元（1）将游轮从A到B一个单程航行的总费用S表示为游轮的航速v的函数S=f（v）；（2）该游轮从A到B一个单程航行
22、的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求出最小总费用【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）利用游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，可将游轮从A到B一个单程航行的总费用S表示为游轮的航速v的函数S=f（v）；（2）利用函数的单调性，即可求出函数的最小值【解答】解：（1）设游轮以每小时vkm/h的速度航行，游轮单程航行的总费用为f（v）元，游轮的燃料费用每小时kv3元，依题意k103=60，则k=0.06，S=f（v）=+3240=6v2+（0v50）；（2）f（v）=，f（v）=0得，v=30，当0v30时，f（v）0，此时f（v）单调递减；当30v50时，
23、f（v）0，此时f（v）单调递增；故当v=30时，f（v）有极小值，也是最小值，f（30）=16200，所以，轮船公司要获得最大利润，游轮的航速应为30km/h18已知椭圆C： +=1（ab0）上的左、右顶点分别为A，B，F1为左焦点，且|AF1|=2，又椭圆C过点（）求椭圆C的方程；（）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上（点A，B除外），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1=，证明：A，P，Q三点共线【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由已知可得ac=2，又b2=a2c2，解出即可得出（）由（）知A（4，0），B（4，0）设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用斜率计算公式
24、、P（x1，y1）在椭圆C上，可得kPAk1，又，可得kPAk2由已知点Q（x2，y2）在圆x2+y2=16上，AB为圆的直径，可得kQAk2=1只要证明kPA=kQA即可【解答】解：（）由已知可得ac=2，又b2=a2c2=12，解得a=4故所求椭圆C的方程为=1（）由（）知A（4，0），B（4，0）设P（x1，y1），Q（x2，y2），P（x1，y1）在椭圆C上，即又，kPAk2=1由已知点Q（x2，y2）在圆x2+y2=16上，AB为圆的直径，QAQBkQAk2=1由可得kPA=kQA直线PA，QA有共同点A，A，P，Q三点共线19已知函数f（x）=a（x1）lnx（a为实数），g（x）
25、=x1，h（x）=（1）当a=1时，求函数f（x）=a（x1）lnx在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若h（x）=f（x），求实数a的值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，切点的坐标，即可求出切线方程；（2）求导数，利用导数的正负，讨论函数f（x）的单调性；（3）G（x）=f（x）g（x）=（a1）（x1）lnx，若h（x）=f（x），x0，G（x）0成立x0，G（x）0成立，即可求实数a的值【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x1lnx，f（1）=0，f（x）=1，f（1）=0，函数f（
26、x）=a（x1）lnx在点（1，f（1）处的切线方程为y=0；（2）f（x）=a（x0），a0，f（x）0，函数在（0，+）上单调递减；a0，由f（x）0，解得x，函数的单调递增区间是（，+），f（x）0，0x，函数的单调递减区间是（0，）；（3）令G（x）=f（x）g（x）=（a1）（x1）lnx，定义域（0，+），G（1）=0h（x）=f（x），x0，G（x）0成立；a1，G（x）=a10，G（x）在（0，+）单调递减，G（2）G（1）=0，此时题设不成立；a1时，G（x）在（0，）上单调递减，（）上单调递增，G（x）min=2a+ln（a1），2a+ln（a1）0恒成立，令t=a1，t0
27、，则1t+lnt0恒成立，令H（t）=1t+lnt（t0），则H（1）=0，H（t）=，H（t）在（0，1）上单调递增，（1，+）上单调递减，H（t）max=H（1）=0，H（t）0（t=1时取等号），t0时，1t+lnt=0的解为t=1，即a=220在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=t（1t2）上一点（1）已知t=若点P在第一象限，且OP=，求过点P的圆O的切线方程；若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（2）设直线l与x轴交于点M，线段OM的中点为Q，R为圆O上一点，且RM=1，直线RM与圆O交于另一点N，求线段N
28、Q长的最小值【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（1）设点P的坐标为（，y0）（y00），利用OP=，及（）2+y02=（）2，可解得y0=1易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，切线为y1=k（x），利用点到直线间的距离公式可得=1，解得k=0或k=，从而可得过点P的圆O的切线方程设A（x，y），则B（，），利用点A、B均在圆O上，可得，即，该方程组有解，即圆x2+y2=1与圆（x+）2+（y+y0）2=4有公共点，继而可得点P纵坐标的取值范围；（2）设R（x2，y2），则，解得x2=， =1，于是可得直线RM的方程为：（xt），与圆的方程x2+y2=1联立，可求得N点横坐
29、标为，继而可得NQ的表达式，可求得线段NQ长的最小值【解答】解：（1）设点P的坐标为（，y0），因为OP=，所以（）2+y02=（）2，解得y0=1又点P在第一象限，所以y0=1，即点P的坐标为（，1），易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，则切线为y1=k（x），即kxy+1k=0，于是有=1，解得k=0或k=因此过点P的圆O的切线方程为：y=1或24x7y25=0设A（x，y），则B（，），因为点A、B均在圆O上，所以有，即该方程组有解，即圆x2+y2=1与圆（x+）2+（y+y0）2=4有公共点于是13，解得y0，即点P纵坐标的取值范围是，（2）设R（x2，y2），则，
30、解得x2=， =1直线RM的方程为：（xt）由可得N点横坐标为，所以NQ=，所以当t2=，即t=时，NQ最小为第二卷（附加题.每题10分。）21求曲线f（x）=在x=2处的切线与x轴交点A的坐标【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，可得曲线在x=2处切线的斜率，求得切点，运用点斜式方程，再由y=0，可得交点A【解答】解：f（x）=的导数为f（x）=，可得曲线f（x）=在x=2处的切线斜率为f（2）=，切点为（2，），则曲线f（x）=在x=2处的切线方程为y=（x2），可令y=0，则x=即有切线与x轴交点A的坐标为（，0）22已知点P是圆x2+y2=1上的一个动点，定点M
31、（1，2），Q是线段PM延长线上的一点，且，求点Q的轨迹方程【考点】轨迹方程【分析】设出动点P、Q的坐标，利用，确定坐标之间的关系，利用P是圆x2+y2=1上的动点，即可求得方程，从而可得动点Q的轨迹方程【解答】解：设P的坐标为（x，y），Q（a，b），则，定点M（1，2），x=2a3，y=2b+6Q是圆x2+y2=1上的动点x2+y2=1（2a3）2+（2b+6）2=1即动点Q的轨迹方程是（x+）2+（y3）2=23如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点（）证明：BEDC；（）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
32、（）若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据=0，可得BEDC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（）根据BFAC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角FABP的余弦值【解答】证明：（I）PA底面ABCD，ADAB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点B（1，0，0）
33、，C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）=（0，1，1），=（2，0，0）=0，BEDC；（）=（1，2，0），=（1，0，2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角满足：sin=，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为（）=（1，2，0），=（2，2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=（2，2，2）（01），故=+=（12，22，2）（01），由BFAC，得=2（12）+2（22）=0，解得=，即=（，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，3，1），
34、取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角FABP的平面角满足：cos=，故二面角FABP的余弦值为：24如图，已知抛物线y2=4x，过点P（2，0）作斜率分别为k1，k2的两条直线，与抛物线相交于点A、B和C、D，且M、N分别是AB、CD的中点（1）若k1+k2=0，求线段MN的长；（2）若k1k2=1，求PMN面积的最小值【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）若k1+k2=0，线段AB和CD关于x轴对称，利用，确定坐标之间的关系，即可求线段MN的长；（2）若k1k2=1，两直线互相垂直，求出M，N的坐标，可得|PM|，|PN|，即可求PMN面积的最小值【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y10，则设直线AB的方程为y=k1（x2），代入y2=4x，可得y2y8=0y1+y2=，y1y2=8，y1=2y2，y1=4，y2=2，yM=1，k1+k2=0，线段AB和CD关于x轴对称，线段MN的长为2；（2）k1k2=1，两直线互相垂直，设AB：x=my+2，则CD：x=y+2，x=my+2代入y2=4x，得y24my8=0，则y1+y2=4m，y1y2=8，M（2m2+2，2m）同理N（+2，），|PM|=2|m|，|PN|=，|SPMN=|PM|PN|=（m2+1）=2（|m|+）4，当且仅当m=1时取等号，PMN面积的最小值为42017年2月27日
