1、选修45不等式选讲第一节 绝对值不等式本节主要包括2个知识点：1.绝对值不等式的解法；2.绝对值三角不等式.突破点(一)绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|aR(2)|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解利用零点分段法求解构造函数，利用函数的图象求解1判断题(1)不等式|x|a的解集为x|ax3的解集为_解析：由|2x1|3得，2x13，即x2.答案：x|x2(3)若关于x的不等式|ax2|3的解
2、集为，则a_.解析：依题意，知a0.|ax2|33ax231ax0时，不等式的解集为，从而有此方程组无解当a0时，不等式的解集为，从而有解得a3.答案：3(4)不等式|x1|x2|1的解集是_解析：f(x)|x1|x2|当1x2时，由2x11，解得1x1恒成立所以不等式的解集为x|x1答案：x|x1绝对值不等式的解法典例解下列不等式：(1)|2x1|2|x1|0.(2)|x3|2x1|2|x1|，两边平方得4x24x14(x22x1)，解得x，所以原不等式的解集为.法二：原不等式等价于或或解得x，所以原不等式的解集为.(2)当x3时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x10，x3.当3x时
3、，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x，3x.当x时，原不等式化为(x3)(12x)2，x2.综上可知，原不等式的解集为.方法技巧绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法对aR，|x|aaxaxa.(2)平方法两边平方去掉绝对值符号(3)零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解1求不等式|x1|x5|2的解集解：不等式|x1|x5|2等价于或或即或或故原不等式的解集为x|x1x|1x4x|x42解不等式x|2x3|2.解：原不等式可化为或解得x5或x.所以原不等式的解集是.3已知函数f(x)|x1|
4、xa|，g(x)|x2|1. (1)当a2时，解不等式f(x)5；(2)若对任意x1R，都存在x2R，使得g(x2)f(x1)成立，求实数a的取值范围解：(1)当a2时，f(x)|x1|x2|f(x)5或或解得x2或x3，不等式f(x)5的解集为(，32，)(2)对任意x1R，都存在x2R，使得g(x2)f(x1)成立，y|yf(x)y|yg(x)f(x)|x1|xa|(x1)(xa)|a1|(当且仅当(x1)(xa)0时等号成立)，g(x)|x2|11，|a1|1，a11或a11，a0或a2，实数a的取值范围为(，20，)4(2018湖北黄石调研)已知函数f(x)|x1|x3|.(1)解不等
5、式f(x)8；(2)若不等式f(x)a23a的解集不是空集，求实数a的取值范围解：(1)f(x)|x1|x3|当x1时，由2x28，解得x3.不等式f(x)8的解集为x|x5或x3(2)由(1)得f(x)min4.又不等式f(x)4，解得a4或a1，即实数a的取值范围是(，1)(4，)突破点(二)绝对值三角不等式 绝对值三角不等式定理定理1如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立1判断题(1)|ab|ab|2a|.()(2)不等式|ab|a|b|等号成立的条件是ab0.()答案：
6、(1)(2)2填空题(1)函数y|x4|x4|的最小值为_解析：|x4|x4|(x4)(x4)|8，即函数y的最小值为8.答案：8(2)设a，b为满足ab|ab|ab|ab|ab|a|b| |ab|a|b|解析：ab|ab|.答案：(3)若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2,4证明绝对值不等式例1已知x，yR，且|xy|，|xy|，求证：|x5y|1.证明|x5y|3(xy)2(xy)|.由绝对值不等式的性质，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(
7、xy)|3|xy|2|xy|321.即|x5y|1.方法技巧证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明绝对值不等式的恒成立问题例2(2018湖南五市十校联考)设函数f(x)|xa|x3|，a3.(1)若不等式f(x)4的解集为，求a的值；(2)若对xR，不等式f(x)|x3|1恒成立，求实数a的取值范围解(1)法一：由已知得f(x)当x3时，2xa34，得x.已知f(x)4的解集为，则显然a2.法二：由已知易得f(x)|xa|x3|的图象关于直线x对称，
8、又f(x)4的解集为，则a3，即a2.(2)法一：不等式f(x)|x3|1恒成立，即|xa|2|x3|1恒成立当xa时，3xa50恒成立，得3aa50，解得a；当ax0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)0，有f(x)|xa|a2.当且仅当a1时等号成立所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.当a3时，f(3)a，由f(3)5得3a.当0a3时，f(3)6a，由f(3)5得0)(1)当m1时，求不等式f(x)1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)|2t|t1|恒成立，求m的取值范围解：(1)f(x)|xm|x3m|当m1时，由或x3，得x，不等式f(x)1的解集为.(2)不等
9、式f(x)|2t|t1|对任意的实数t，x恒成立，等价于对任意的实数x，f(x)(|2t|t1|)min恒成立，即f(x)max(|2t|t1|)min，f(x)|xm|x3m|(xm)(x3m)|4m，|2t|t1|(2t)(t1)|3，4m0，0m0(aR)；(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围解：(1)不等式f(x)a10，即|x2|a10.当a1时， 原不等式化为|x2|0，解得x2，即解集为(，2)(2，)；当a1时，解集为全体实数R；当a1a(1a0)，解集为(，a1)(3a，)(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即|x2|x3|m对任意
10、实数x恒成立，即|x2|x3|m恒成立又由绝对值三角不等式知，对任意实数x恒有|x2|x3|(x2)(x3)|5，当且仅当(x2)(x3)0时等号成立于是得m0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，
11、) 课时达标检测 1已知函数f(x)|xm|5x|(mR)(1)当m3时，求不等式f(x)6的解集；(2)若不等式f(x)10对任意实数x恒成立，求m的取值范围解：(1)当m3时，f(x)6，即|x3|5x|6，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集.解得x5；或解得4x6的解集为x|x4(2)f(x)|xm|5x|(xm)(5x)|m5|，由题意得|m5|10，则10m510，解得15m5，故m的取值范围为15,52(2018江西南昌模拟)已知函数f(x)|2xa|x1|.(1)若不等式f(x)2|x1|有解，求实数a的取值范围；(2)当a2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值解：(
12、1)由题意f(x)2|x1|，即为|x1|1.而由绝对值的几何意义知|x1|，由不等式f(x)2|x1|有解，1，即0a4.实数a的取值范围是0,4(2)由2xa0得x，由x10得x1，由a2知4；(2)若x，不等式a14，可化为或或解得x2或01.不等式f(x)4的解集为(，2)(0，)(2)由(1)知，当x时，f(x)3x2，当x，a1，即a.实数a的取值范围为.4(2018长春模拟)已知函数f(x)|x2|x1|.(1)解不等式f(x)1；(2)当x0时，函数g(x)(a0)的最小值大于函数f(x)，试求实数a的取值范围解：(1)当x2时，原不等式可化为x2x11，解集是.当1x2时，原
13、不等式可化为2xx11，即1x0；当x1，即x1.综上，原不等式的解集是x|x0时，f(x)所以f(x)3,1)，所以211，即a1，故实数a的取值范围是1，)5(2018湖北四校联考)已知函数f(x)e|xa|xb|，a，bR.(1)当ab1时，解不等式f(x)e；(2)若f(x)e2恒成立，求ab的取值范围解：(1)当ab1时，f(x)e|x1|x1|，由于yex在(，)上是增函数，所以f(x)e等价于|x1|x1|1，当x1时，|x1|x1|x1(x1)2，则式恒成立；当1x1时，|x1|x1|2x，式化为2x1，此时xg(a)2；(2)当xa,1)时恒有f(x)g(a)，求实数a的取值
14、范围解：(1)a3时，f(x)|x1|x3|g(3)4.f(x)g(a)2化为|x1|x3|6，即或或解得x2.所求不等式解集为(，4)(2，)(2)xa,1)f(x)1a.f(x)g(a)即为1aa2a2，可化为a22a30，解得a3或a1.又a1.综上，实数a的取值范围为3，)7(2018安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.(1)解不等式|g(x)|5；(2)若对任意x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围解：(1)由|x1|2|5，得5|x1|25，7|x1|3，解得2x4，原不等式的解集为x|2x4(2)对任意x1R，都有x
15、2R，使得f(x1)g(x2)成立，y|yf(x)y|yg(x)又f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x3)|a3|，g(x)|x1|22，|a3|2，解得a1或a5，实数a的取值范围是(，51，)8已知函数f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)0)，若|xa|f(x)(a0)恒成立，求实数a的取值范围解：(1)不等式f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4.当x时，即3x2x14，解得x；当x1时，即3x2x14，解得x1时，即3x2x14，无解综上所述，原不等式的解集为.(2)(mn)114，当且仅当mn时等号成立令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|x时，g(x)maxa，要
16、使不等式恒成立，只需g(x)maxa4，即02，b2，则abab.()(3)设xa2b，Sab21则Sx.()答案：(1)(2)(3)2填空题(1)已知a，bR，ab2，则的最小值为_解析：a，bR，且ab2，(ab)222 4，2，即的最小值为2(当且仅当ab1时，“”成立)答案：2(2)已知正实数a，b满足2abab12，则ab的最小值是_解析：由2abab12，得2ab212，当且仅当ab时等号成立化简得(3)(2)0，解得ab9，所以ab的最小值是9.答案：9(3)已知a，b，c是正实数，且abc1，则的最小值为_解析：把abc1代入，得332229，当且仅当abc时，等号成立答案：9
17、(4)设xa2b25，y2aba24a，若xy，则实数a，b应满足的条件为_解析：若xy，则xya2b25(2aba24a)a2b22aba24a5(ab1)2(a2)20，ab1或a2.答案：ab1或a2比较法证明不等式例1求证：(1)当xR时，12x42x3x2；(2)当a，b(0，)时，aabb(ab).证明(1)法一：(12x4)(2x3x2)2x3(x1)(x1)(x1)(x1)(2x3x1)(x1)(2x32xx1)(x1)2x(x21)(x1)(x1)2(2x22x1)(x1)20，所以12x42x3x2.法二：(12x4)(2x3x2)x42x3x2x42x21(x1)2x2(
18、x21)20，所以12x42x3x2.(2)ab，当ab时，1，当ab0时，1，0，1，当ba0时，01，1，aabb(ab).方法技巧作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负综合法证明不等式例2已知a，b，c0且互不相等，abc1.试证明：.证明因为a，b，c0，且互不相等，abc1，所以 ，即.方法技巧综合法证明时常用的不等式(1)a20；|a|0.(2)a2b22ab.(3)，它的变形形式有：a2(a0)；2(ab0)；2(ab0)分析法证明不等式例
19、3(2018福建毕业班质量检测)已知函数f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M；(2)设a，bM，证明：f(ab)f(a)f(b)解(1)由题意，|x1|bc，则|ad|bc|；(2)t，求实数t的取值范围解：(1)证明：由adbc，且a，b，c，d均为正数，得(ad)2(bc)2，又adbc，所以(ad)2(bc)2，即|ad|bc|.(2)因为(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2a2c22abcdb2d2(acbd)2，所以tt(acbd)由于ac，bd，又已知t，则t(acbd)(acbd)，故t，当且仅当ac，bd时取等号.全国卷5年真题集中演
20、练明规律1(2017全国卷)已知a0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明：(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.2(2016全国卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.解：(1)f(x)当x时，由f(x)2得2x1，所以1x；当x时，f(x)2恒成立；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1，所以x1.所以f(x)2的解集
21、Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|1ab|. 课时达标检测 1(2018武汉调研)若正实数a，b满足ab，求证：1.证明：要证 1，只需证ab21，即证2，即证.而ab2，成立，原不等式成立2已知函数f(x)|x3|x1|，其最小值为t.(1)求t的值；(2)若正实数a，b满足abt，求证：.解：(1)因为|x3|x1|x3|1x|x31x|4，所以f(x)min4，即t4.(2)证明：由(1)得ab4，故1，121，当且仅当b2a，即a，b时取等号，故.3设不等式2|x1|x2|0
22、的解集为M，a，bM.(1)证明：；(2)比较|14ab|与2|ab|的大小，并说明理由解：(1)证明：记f(x)|x1|x2|由22x10解得x，则M.所以|a|b|.(2)由(1)得a2，b20.所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|.4(2018广州模拟)已知x，y，z(0，)，xyz3.(1)求的最小值；(2)证明：3x2y2z20，0，所以(xyz)9，即3，当且仅当xyz1时，取得最小值3.(2)证明：x2y2z23，当且仅当xyz1时等号成立又因为x2y2z29x2y2z2(xyz)22(xyyzzx)0，所以3x2y2z20，b0，函数f(x)|2xa|21的
23、最小值为2.(1)求ab的值；(2)求证：alog33b.解：(1)因为f(x)|2xa|2xb|1|2xa(2xb)|1|ab|1，当且仅当(2xa)(2xb)0时，等号成立，又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为ab12，所以ab1.(2)由(1)知，ab1，所以(ab)1452 9，当且仅当且ab1，即a，b时取等号所以log3log392，所以ablog3123，即alog33b.6(2018长沙模拟)设，均为实数(1)证明：|cos()|cos |sin |，|sin()|cos |cos |；(2)若0，证明：|cos |cos |cos |1.证明：(1)|cos
24、()|cos cos sin sin |cos cos |sin sin |cos |sin |；|sin()|sin cos cos sin |sin cos |cos sin |cos |cos |.(2)由(1)知，|cos()|cos |sin()|cos |cos |cos |，而0，故|cos |cos |cos |cos 01.7(2018安徽安师大附中、马鞍山二中阶段测试)已知函数f(x)|x2|.(1)解不等式：f(x)f(x1)2；(2)若a0，求证：f(ax)af(x)f(2a)解：(1)由题意，得f(x)f(x1)|x1|x2|.因此只要解不等式|x1|x2|2.当x1
25、时，原不等式等价于2x32，即x1；当1x2时，原不等式等价于12，即12时，原不等式等价于2x32，即2x.综上，原不等式的解集为.(2)证明：由题意得f(ax)af(x)|ax2|a|x2|ax2|2aax|ax22aax|2a2|f(2a)，所以f(ax)af(x)f(2a)成立8(2018重庆模拟)设a，b，cR且abc1.求证：(1)2abbcca；(2)2.证明：(1)因为1(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2，当且仅当ab时等号成立，所以2abbcca(4ab2bc2cac2).(2)因为，当且仅当abc时等号成立所以abc2a2b2c2，当且仅当abc时等号成立
