1、数学试卷一、选择题（本大题共5小题，共40.0分）1. ，若，则等于A. B. 1C. ln2D. e2. 已知函数的图象在点处切线方程是，则的值是A. 2B. 1C. D. 33. 由0，1，2，3，5这5个数字可以组成三位没有重复数字的奇数个数为A. 27B. 36C. 48D. 214. 若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是A. B. C. D. 5. 已知函数，若对任意，存在，使，则实数b的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共40.0分）6. 当时，函数的最大值是_7. 从3名男生和3名女生中选出3人分别担任三个不同学科课代表，若这3人中必须既有男生又有
2、女生，则不同的选法种数共有_用数字作答8. 函数的单调递减区间是_9. 函数在时有极值为10，则的值为_10. 已知函数，若关于x的方程在区间内有两个实数解，则实数k的取值范围是_三、解答题（本大题共2小题，共40.0分）11. 已知函数当时，求函数的极值；讨论函数的单调性；令，若对任意的，恒有成立，求实数k的最大整数12. 设a，已知函数，求的单调区间；已知函数和的图象在公共点处有相同的切线，求证：在处的导数等于0；若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围答案和解析1.【答案】B【解析】解：，则，故选：B可求出导函数，从而根据即可得出的值本题考查了基本初等函数的求导公式，积的导数的计算
3、公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题2.【答案】A【解析】解：函数的图象在点处的切线方程是，可得；，即有，故选：A由已知切线的方程，结合导数的几何意义，可得，即可得到所求和本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确运用切线的方程是解题的关键，属于基础题3.【答案】A【解析】解：根据题意，要求是三位没有重复数字的奇数，则个位数字必须为1、3、5中的一个，则个位数字为3种情况，剩下4个数字中，0不能在百位，则百位数字有3种情况，在剩下的3个数字中任选1个，安排在十位，有3种情况，则可以组成三位没有重复数字的奇数有个；故选：A根据题意，依次分析个位、百位、十位数字的情
4、况数目，由分步计数原理计算可得答案本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题4.【答案】C【解析】解：，函数在区间单调递增，在区间上恒成立，而在区间上单调递减，的取值范围是：故选：C求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得在区间上恒成立解出即可本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题5.【答案】C【解析】解：函数，若，为增函数；若，或，为减函数；在上有极值，在处取极小值也是最小值；，对称轴，当时，在处取最小值；当时，在处取最小值；当时，在上是减函数，；对任意，存在，使，只要的最小值大于等于的最小值即可，当时，解得，故b无解；当时，易知无解当时，
5、解得，综上：，故选：C首先对进行求导，利用导数研究函数的最值问题，根据题意对任意，存在，使，只要的最小值大于等于的最小值即可，对的图象进行讨论根据对称轴研究的最值问题，从而进行求解；本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间上的最大值与最小值是通过比较函数在内所有极值与端点函数，比较而得到的，此题还涉及函数的恒成立问题，注意问题最终转化为求函数的最值问题上；6.【答案】e【解析】解：由可得，当时，函数单调单调递减，当时，函数单调单调递增，又，故当时，函数取得最大值e故答案为：e先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调区间，进而可求最值本题考查了函数的导数的应用，同时考
6、查了函数在闭区间上最值，属于基础题7.【答案】108【解析】解：根据题意，分2步进行分析：，从3名男生和3名女生中选出3人，要求这3人中必须既有男生又有女生，则有种情况，将选出的3人全排列，安排担任三个不同学科课代表，有种情况，则有种选法；故答案为：108根据题意，分2步进行分析：，从3名男生和3名女生中选出3人，要求这3人中必须既有男生又有女生，将选出的3人全排列，安排担任三个不同学科课代表，由分步计数原理计算可得答案本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题8.【答案】，【写成也正确】【解析】解：函数的定义域为；函数的导数，令，由得，解得，所以即函数的单调递减区间为，故答
7、案为：，【写成也正确】求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系求出即可得到结论本题主要考查函数单调区间的求解，根据条件求出函数的导数，解导数不等式是解决本题的关键9.【答案】【解析】解：对函数求导得，又在时有极值10，解得或，验证知，当，时，在无极值，故的值故答案为：首先对求导，然后由题设在时有极值10可得，解方程得出a，b的值，最后求它们的即可掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力10.【答案】【解析】解：关于x的方程在区间内有两个实数解，等价于函数与函数在区间内有两个交点，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，且当时，；当时，函数的大致图象，如图所示：，当时
8、，函数与函数在区间内至多有一个交点，不满足题意，当时，当经过点时，此时函数与函数在区间内有两个交点，满足题意，当函数与函数在区间内相切时，设切点坐标为，解得，此时函数与函数在区间内有一个交点，结合图形可知满足要求的k只能介于这两种临界情况之间，实数k的取值范围为，故答案为：先求出导数得到函数的单调性和最值，画出的大致图象，关于x的方程在区间内有两个实数解，等价于函数与函数在区间内有两个交点，利用数形结合法分析直线的斜率的范围，使得满足题意即可本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数与方程的关系，是中档题11.【答案】解：当时，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，则有极小值为为1，无
9、极大值；函数的定义域为，当时，在上单调递增；当时，若，单调递减，若，单调递增综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；由知，恒成立，则只需恒成立，则，令，则只需，当时，单调递减，当时，单调递增，即，即k的最大整数为7【解析】把代入函数解析式，求其导函数，得到导函数的零点，分析单调性，然后求极值；，对a分类分析可得原函数的单调性；由知，则恒成立只需恒成立，即恒成立，令，利用导数求其最小值，再由最小值大于等于求解实数k的最大整数本题考查导数知识的运用，训练了利用导数研究函数的单调性与最值的求法，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题12.【答案】解：由，可得
10、，令，解得，或由，得当x变化时，的变化情况如下表：x的单调递增区间为，单调递减区间为；证明：，由题意知，解得在处的导数等于0；解：，由，可得又，故为的极大值点，由知另一方面，由于，故，由知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立由，得，令，令，解得舍去，或，故的值域为的取值范围是【解析】求出函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得的单调区间；求出的导函数，由题意知，求解可得得到在处的导数等于0；由知且在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立由，得，构造函数，利用导数求其值域可得b的范围本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题
