1、第九章 第七节 1(2014吉安模拟)若点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y40 的距离小 2，则点 P的轨迹方程为()Ay28x By28xCx28y Dx28y解析：选 C 由题意知点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y40 的距离小 2，因此点P 到点 F(0,2)的距离与到直线 y20 的距离相等，故点 P 的轨迹是以 F 为焦点，y2为准线的抛物线，其方程为 x28y，选 C.2已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A.34 B.32C1 D2解析：选 D 由题意知，抛物线的准线 l：y1，过 A 作 AA1l 于 A1，过
2、B 作 BB1l 于 B1，设弦 AB 的中点为 M，过 M 作 MM1l 于 M1，则|MM1|AA1|BB1|2.|AB|AF|BF|(F 为抛物线的焦点)，即|AF|BF|6，|AA1|BB1|6,2|MM1|6，|MM1|3，故 M到 x 轴的距离 d2，选 D.3(2013天津高考)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线与抛物线 y22px(p0)的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点若双曲线的离心率为 2，AOB 的面积为 3，则 p()A1 B.32C2 D3解析：选 C 设 A 点坐标为(x0，y0)，则由题意，得 SAOB|x0|y0|3，抛物线 y22
3、px的准线为 xp2，所以 x0p2，代入双曲线的渐近线的方程 ybax，得|y0|bp2a.由ca2，a2b2c2，得 b 3a，所以|y0|32 p.所以 SAOB 34 p2 3，解得 p2 或 p2(舍去).故选 C.4(2013江西高考)已知点 A(2,0)，抛物线 C：x24y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C相交于点 M，与其准线相交于点 N，则|FM|MN|()A2 5B12C1 5 D13解析：选 C 射线 FA 的方程为 x2y20(x0)如图所示，由条件知 tan 12，sin 55，由抛物线的定义知|MF|MG|，|FM|MN|MG|MN|sin 55 15.故选
4、 C.5(2014东北三省联考)已知抛物线 y28x 的焦点为 F，直线 yk(x2)与此抛物线相交于 P，Q 两点，则 1|FP|1|FQ|()A.12B1C2 D4解析：选 A 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知|PF|x12，|QF|x22，则 1|FP|1|FQ|1x121x22x1x24x1x22x1x24，联立直线与抛物线方程消去 y 得 k2x2(4k28)x4k20，可知 x1x24，故 1|FP|1|FQ|x1x24x1x22x1x24 x1x242x1x2812.故选 A.6(2013大纲全国高考)已知抛物线 C：y28x 与点 M(2,2)，过 C 的焦点
5、且斜率为 k的直线与 C 交于 A，B 两点若MA MB 0，则 k()A.12 B.22 C.2 D2解析：选 D 由题意知抛物线 C 的焦点坐标为(2,0)，则直线 AB 的方程为 yk(x2)，将其代入 y28x，得 k2x24(k22)x4k20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24k22k2，x1x24.所以y1y2kx1x24k，y1y2k2x1x22x1x24.MA MB 0，(x12，y12)(x22，y22)0.(x12)(x22)(y12)(y22)0，即 x1x22(x1x2)4y1y22(y1y2)40.由解得 k2.故选 D.7(2012陕西高考)右
6、图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4米水位下降 1 米后，水面宽_米解析：2 6 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为 x22py(p0)，由点(2，2)在抛物线上，可得 p1，则抛物线方程为 x22y.当 y3 时，x 6，所以水面宽 2 6米.8(2014江南十校联考)已知直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F，交抛物线于 A、B 两点，且点 A、B 到 y 轴的距离分别为 m、n，则 mn2 的最小值为_解析：4 因为 mn2(m1)(n1)表示点 A、B 到准线的距离之和，所以 mn2 表示焦点弦 AB 的长度，因为抛物线焦点弦的最小值是其通径的
7、长度，所以 mn2 的最小值为 4.9(2013浙江高考)设 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，过点 P(1,0)的直线 l 交抛物线 C于 A，B 两点，点 Q 为线段 AB 的中点，若|FQ|2，则直线 l 的斜率等于_解析：1 设直线 l 的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y24x，ykx1 消去 y整理得k2x22(k22)xk20，x1x22k22k2，x1x22k22k2 12k2，y1y222k，所以 Q12k2，2k.又|FQ|2，F(1,0)，12k21 2 2k24，解得 k1.10(2014重庆诊断)过抛物线 y22x 的焦点 F 作直线交抛
8、物线于 A、B 两点，若|AB|2512，|AF|BF|，则|AF|_.解析：56 由题意知过抛物线焦点的直线斜率存在，设其方程为 ykx12，由y22xykx12消去 y 整理得 k2x2(k22)x14k20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)则 x1x2k22k2，x1x214.所以|AB|x1x21k22k2 12512，得 k224，代入 k2x2(k22)x14k20 得 12x213x30，解得 x113，x234，又|AF|BF|，故|AF|x11256.11(2014太原调研)如图，已知抛物线 C：y22px 和M：(x4)2y21，过抛物线C 上一点 H(x0，y0)(
9、y01)作两条直线与M 相切于 A，B 两点，分别交抛物线为 E，F 两点，圆心点 M 到抛物线准线的距离为174.(1)求抛物线 C 的方程；(2)当AHB 的角平分线垂直 x 轴时，求直线 EF 的斜率；(3)若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t，求 t 的最小值解：(1)点 M 到抛物线准线的距离为 4p2174，p12，所以抛物线 C 的方程为 y2x.(2)当AHB 的角平分线垂直 x 轴时，点 H(4,2)，kHEkHF，设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，yHy1xHx1yHy2xHx2，yHy1y2Hy21yHy2y2Hy22，y1y22yH4.kEFy2y1x2x1y2
10、y1y22y211y2y114.(3)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，kMA y1x14，kHA4x1y1，所以直线 HA 的方程为(4x1)xy1y4x1150，同理直线 HB 的方程为(4x2)xy2y4x2150，(4x1)y20y1y04x1150，(4x2)y20y2y04x2150，直线 AB 的方程为(4y20)xy0y4y20150，令 x0，可得 t4y015y0(y01)，t 关于 y0 的函数在1，)单调递增，tmin11.即 t 的最小值为11.12如图，已知抛物线 P：y2x，直线 AB 与抛物线 P 交于 A、B 两点，OAOB，OAOB OC，OC 与 A
11、B 交于点 M.(1)求点 M 的轨迹方程；(2)求四边形 AOBC 的面积的最小值解：(1)设 M(x，y)，A(y21，y1)，B(y22，y2)，OA OB OC，M 是线段 AB 的中点xy21y222y1y222y1y22，yy1y22.OAOB，OA OB 0.y21y22y1y20.依题意知 y1y20，y1y21.把、代入得：x4y222，即 y212(x1)点 M 的轨迹方程为 y212(x1)(2)依题意得四边形 AOBC 是矩形，四边形 AOBC 的面积为S|OA|OB|y212y21y222y22 y211y221y1y22 y21y22y21y221 2y21y22.
12、y21y222|y1y2|2，当且仅当|y1|y2|时，等号成立，S 222.四边形 AOBC 的面积的最小值为 2.1(2014长沙模拟)与抛物线 y28x 相切倾斜角为 135的直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别是 A 和 B，那么过 A，B 两点的最小圆截抛物线 y28x 的准线所得的弦长为()A4B2 2C2 D.2解析：选 C 设直线 l 的方程为 yxb，联立直线与抛物线方程，消元得 y28y8b0，因为直线与抛物线相切，故 824(8b)0，解得 b2，故直线 l 的方程为xy20，从而 A(2,0)，B(0，2)，因此过 A，B 两点最小圆即为以 AB 为直径的圆，其方程
13、为(x1)2(y1)22，而抛物线 y28x 的准线方程为 x2，此时圆心(1，1)到准线距离为 1，故所截弦长为 2 22122.故选 C.2(2013山东高考)抛物线 C1：y 12px2(p0)的焦点与双曲线 C2：x23y21 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p()A.316 B.38 C.2 33 D.4 33解析：选 D 设 Mx0，12px20，y12px2 xp，故 M 点切线的斜率为x0p 33，故M33 p，16p.由33 p，16p，0，p2，(2,0)三点共线，可求得 p43 3，故选 D.3过抛物
14、线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A，直线 l与抛物线的准线的交点为 B，点 A 在抛物线的准线上的射影为 C，若AFFB，BABC36，则抛物线的方程为_解析：y22 3x 由AFFB知 F 为 AB 的中点，设准线与 x 轴的交点为 D，则|DF|12|AC|p，|AC|2p|AF|FB|，|AB|4p，ABC30，|BC|2 3p，BABC|BA|BC|cos 304p2 3p 32 36，解得 p 3，y22 3x.4(2014西安五校联考)已知直线 y2 上有一个动点 Q，过点 Q 作直线 l1 垂直于 x轴，动点 P 在 l1 上，且满足 O
15、POQ(O 为坐标原点)，记点 P 的轨迹为 C.若直线 l2 是曲线 C的一条切线，则当点(0,2)到直线 l2 的距离最短时，直线 l2 的方程为_解析：2xy10 或 2xy10设点 P 的坐标为(x，y)，则点 Q 的坐标为(x，2)，OQOP，kOQkOP1，当 x0 时，得yx2x 1，化简得 x22y，当 x0 时，P，O，Q 三点共线，不合题意，故 x0，故曲线 C 的方程为 x22y(x0)由 x22y，得 yx，直线 l2 与曲线 C 相切，设切点 M 的坐标为(x1，y1)，其中 y112x210，则直线 l2 的方程为 yy1x1(xx1)，化简得 x1xyy10.点(
16、0,2)到直线 l2 的距离d|2y1|x211 y122y11122y1132y11 1222y1132y11 3，当且仅当 2y1132y11，即 y11 时，等号成立，此时 x1 2，所以直线 l2 的方程为 2xy10 或 2xy10.5已知抛物线 y22x，P 是抛物线的动弦 AB 的中点(1)当 P 的坐标为(2,3)时，求直线 AB 的方程；(2)当直线 AB 的斜率为 1 时，求线段 AB 的垂直平分线在 x 轴上的截距的取值范围解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知 y1y26.由y212x1y222x2可得 y21y222x12x2，变形得y1y2x1x22y1y2，则 kAB2613.所以直线 AB 的方程为 y313(x2)，即 x3y70.(2)由题意可设直线 AB 的方程为 yxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)由y22xyxb 可得 x22(b1)xb20.依题意得 48b0，所以 b12.易知 x1x22(1b)，y1y2(x1b)(x2b)2，故 AB 的中点 P 的坐标为(1b,1)所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 y1(x1b)，即 xyb20，其在 x 轴上的截距为 2b.因为 b12，所以 2b32，所以截距的取值范围为32，.
