1、热点 05 一元二次方程【命题趋势】1用直接开平方法、配方法、公式法或因式分解法解一元二次方程 2一元二次方程根的判别式，有两种考查方式：给出一元二次方程，求方程的根的情况；给出带有参数的一元二次方程和根的情况，求参数的取值范围 3一元二次方程的根与系数的关系，主要考查方式：不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根；已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数；不解方程求关于根的式子的值，如求2212xx等等；判断两根的符号求作新方程；由给出的两根满足的条件，确定字母的取值 4列一元二次方程解决实际问题，以实际生活为背景，命题比较广泛（常见的题型是增长率问题）【满分技巧】一、一元二次方程根
2、的情况 1一元二次方程有实数根的前提是 b24ac0 利用一元二次方程根的判别式（=b24ac）判断方程的根的情况 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0，所以方程有两个不相等的实数根 故选 A 6（2019河北）小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a0）时，只抄对了 a=1，b=4，解出其中一个根是x=1他核对时发现所抄的 c 比原方程的 c 值小 2，则原方程的根的情况是 A不存在实数根 B有两个不相等的实数根 C有一个根是 x=1 D有两个相等的实数根【答案
3、】A【解析】小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a0）时，只抄对了 a=1，b=4，解出其中一个根是 x=1，（1）24+c=0，解得：c=3，故原方程中 c=5，则 b24ac=16415=40，则原方程的根的情况是不存在实数根故选 A 7（2019广西）扬帆中学有一块长 30 m，宽 20 m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度设花带的宽度为 x m，则可列方程为 A（30 x）（20 x）=342030 B（302x）（20 x）=142030 C30 x+220 x=142030 D（302x）（20 x）=34203
4、0【答案】D【解析】设花带的宽度为 x m，则可列方程为（302x）（20 x）=342030，故选 D 8（江苏省苏州市部分学校中考 2019 年 5 月份数学模拟试卷）若 a、b 是关于 x 的一元二次方程 x26x+n+1=0的两根，且等腰三角形三边长分别为 a、b、4，则 n 的值为 A8 B7 C8 或 7 D9 或 8【答案】C【解析】等腰三角形三边长分别为 a、b、4，a=b，或 a、b 中有一个数为 4 当 a=b 时，有 b24ac=（6）24（n+1）=0，解得：n=8；当 a、b 中有一个数为 4 时，有 4264+n+1=0，解得：n=7，故选 C 9（安徽省池州市贵池
5、区 2019 年中考数学三模试卷）据池州市统计局发布，2018 年我市全年生产总值 684.9亿元，比上年增长 5.7%，若今、明两年年增长率保持不变，则 2020 年全年生产总值为 A（1+5.7%2）684.9 亿元 B（1+5.7%）2684.9 亿元 C2（1+5.7%）684.9 亿元 D25.7%（1+5.7%）684.9 亿元【答案】B【解析】2018 年我市全年生产总值 684.9 亿元，比上年增长 5.7%，且今、明两年年增长率保持不变，2020 年的生产总值为（1+5.7%）2684.9 亿元，故选 B 10（2019 年天津市南开区九年级第二学期基础训练数学试题）某校羽毛
6、球队有若干名队员，任意两名队员之间进行一场友谊赛，共进行了 36 场比赛如果全队有 x 名队员，根据题意下列方程正确的是 A(1)36x x B(1)36x x C(1)362x x D(1)362x x 【答案】C【解析】设有 x 名队员，每个队员都要赛（x1）场，但两人之间只有一场比赛，故 1(1)362 x x，故选 C 二、填空题 11（2019 年浙江省绍兴市越城区中考数学一模试卷）一元二次方程 x（x+5）=x+5 的解为_【答案】x1=5，x2=1【解析】方程整理得：x（x+5）（x+5）=0，分解因式得：（x+5）（x1）=0，解得：x1=5，x2=1，故答案为：x1=5，x2
7、=1 12（河南省安阳市 2019 届九年级中考一模数学试题）一元二次方程 x2+2x4=0 的解是_【答案】15 【解析】x2+2x=4，x2+2x+1=4+1，即（x+1）2=5，则 x+1=5，即 x=15，故答案为：15 13（2019 年山东省潍坊市中考数学一模试卷）已知关于 x 的方程 x2+（k24）x+k1=0 的两实数根互为相反数，则 k=_【答案】2【解析】设方程的两根分别为 x1，x2，x2+（k24）x+k1=0 的两实数根互为相反数，x1+x2，=（k24）=0，解得 k=2，当 k=2，方程变为：x2+1=0，=40，方程有两个不相等的实数根；k=2 故答案为：2
8、14（山东省德州市齐河县 2019 年中考数学二模试卷）若 x1，x2分别是一元二次方程 x2+2x1=0 的两个实数根，则1211xx 的值是_【答案】2【解析】x1，x2分别是一元二次方程 x2+2x1=0 的两个实数根，x1+x2=2，x1x2=1，12121211xxxxx x=2 故答案为：2 15（江苏省南京市高淳区 2019 年中考二模数学试卷）已知关于 x 的方程 x2+mx3=0 的两个根为 x1、x2，若 x1+x2=2x1x2，则 m=_【答案】6【解析】x1，x2是方程 x2+mx3=0 的两根，x1+x2=m，x1x2=3，则m=2（3），解得：m=6，故答案为：6
9、16（黑龙江省哈尔滨市平房区 2019 届中考第三次模拟考试数学试题）某商品每件300 元，经过两次降价后，售价为243元，若每次降价的百分比相同，则第一次降价后的售价为每件_元【答案】270 【解析】设每次降价的百分率为 x，根据题意得：300（1x）2=243，解得：x 1=0.1=10%，x 2=1.9（不合题意，舍去）每次降价的百分率为 10%第一次降价后的售价为 300（3000.1）=270（元），故答案为：270 三、解答题 17（江苏省南京市高淳区第一中学 2019 届中考三模数学试题）解下列一元二次方程：（1）x24x5=0；（2）（x3）2=2（x3）【解析】（1）x24x
10、5=0，x24x=5，则 x24x+4=5+4，即（x2）2=9，所以 x1=5，x2=1（2）（x3）22（x3）=0，（x3）（x32）=0，x3=0 或 x32=0，所以 x1=3，x2=5 18（2019十堰）已知于 x 的元二次方程 x26x+2a+50 有两个不相等的实数根 x1，x2（1）求 a 的取值范围；（2）若 x12+x22x1x230，且 a 为整数，求 a 的值【解析】（1）关于 x 的一元二次方程 x26x+2a+50 有两个不相等的实数根 x1，x2，0，即（6）24（2a+5）0，解得 a2（2）由根与系数的关系知：x1+x26，x1x22a+5，x1，x2满足
11、 x12+x22x1x230，（x1+x2）23x1x230，363（2a+5）30，a 32，a 为整数，a 的值为1，0，1 19（河北省保定市高阳县宏润中学 2019 届九年级上学期期末调研考数学试题）对于实数 m、n，定义一种运算“”为：mn=mn+n（1）求 25 与 2（5）的值；（2）如果关于 x 的方程 x（ax）=14有两个相等的实数根，求实数 a 的值【解析】（1）25=25+5=15 2（5）=2（5）+（5）=15（2）x（ax）=x（a+1）x=x（x+1）（a+1）=14，整理得：4（a+1）x2+4（a+1）x+1=0 关于 x 的方程 x（ax）=14有两个相等
12、的实数根，2101611610aaa，a=0 20（2019南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造如图，原广场长 50m，宽 40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为 3：2扩充区域的扩建费用每平方米 30 元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米 100 元如果计划总费用 642000 元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？【解析】设扩充后广场的长为 3xm，宽为 2xm，依题意得：3x2x100+30（3x2x5040）=642000，解得 x1=30，x2=30（舍去）所以 3x=90，2x=60 答：扩充后广场的长为 90m，宽为 60m 21（2019山东德州）习近
13、平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆 128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人次，若进馆人次的月平均增长率相同（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过 500 人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由【解析】（1）设进馆人次的月平均增长率为 x，根据题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2=608，化简得：4x2+12x7=0，（2x1）（2x+7）=0，x=0.5=50%或 x=3.5（舍）答：进馆人次的月平均增长率为 50%（2）进馆人次的月平均增长率为 50%，第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3=128 278=432500 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次
