1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。模块素养检测(一)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.直线y=x+b是曲线y=ln x(x0)的一条切线,则实数b的值为()A.2B.ln 2+1C.ln 2-1D.ln 2【解析】选C.因为y=ln x的导数y=,所以令=,得x=2,所以切点坐标为(2,ln 2).代入直线y=x+b,得b=ln 2-1.2.an是首项为1,公差为3的等差数列,若an=2 020,则序号n等于(
2、)A.667B.668C.669D.674【解析】选D.由题意可得,an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2,所以2 020=3n-2,所以n=674.3.函数y=x4-2x2+5的单调减区间为()A.(-,-1)和(0,1)B.(-1,0)和(1,+)C.(-1,1)D.(-,-1)和(1,+)【解析】选A.y=4x3-4x=4x(x2-1),令y0,S140,S14=140,a80,d0;故Sn最大值为S7.又d0,an递减,前7项中Sn递增,故Sn最大且an取最小正值时,有最大值,即最大. 6.函数f(x)=2+,x(0,5)的最小值为()A.2B.3C.D.2+【解析】选B
3、.由f(x)=-=0,得x=1.当x(0,1)时,f(x)0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=3.7.设f(x)=xln x,若f(x0)=2,则x0等于()A.e2B.ln 2C.D.e【解析】选D.因为f(x)=x(ln x)+(x)ln x=1+ln x,所以f(x0)=1+ln x0=2,所以ln x0=1,所以x0=e.8.已知函数f(x)=+x3,其导函数为f(x),则f(2 020)+f(-2 020)+f(2 019)-f(-2 019)的值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.f(x)=+3x2,f(-x)=+3x2,所以f(x)为偶函数,f(2
4、019)-f(-2 019)=0,因为f(-x)+f(x)=+x3+-x3=+=3,所以f(2 020)+f(-2 020)+f(2 019)-f(-2 019)=3.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知数列an是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是()A.B.log2(an)2C.an+an+1D.an+an+1+an+2【解析】选AD.an=1时,log2(an)2=0,数列log2(an)2不一定是等比数列,q=-1时,an+an+1=0,数列an+an+1不
5、一定是等比数列,由等比数列的定义知和an+an+1+an+2都是等比数列.10.已知数列an是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有()A.a10=0B.S7=S12C.S10最小D.S20=0【解析】选AB.因为an是等差数列,设公差为d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,即选项A正确,又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即选项B正确,当d0时,则S9或S10最小,当d0),若对于任意x10,2,总存在x00,2,使得g(x0)=f(x1)成立,下列a值符合要求的是()A.0B.1C.2D.3【解析】
6、选BC.当x10,2时,函数f(x)=,则f(x)=,令f(x)=0,解得x=1.当x0,1)时,f(x)0,所以函数f(x)在0,1)上单调递增;当x(1,2时,f(x)0,所以函数g(x)=ax+3-3a在其定义域内是增函数,当x=0时函数g(x)取得最小值为3-3a.当x=2时函数g(x)取得最大值为3-a.故得函数g(x)的值域为N=3-3a,3-a.因为MN,所以 .解得1a2.12.设函数f(x)=-ln|ax|(a0),若f(x)有4个零点,则a的可以取的值有()A.1B.2C.3D.4【解析】选BCD.因为函数定义域为x|x0,且f(-x)=f(x),所以函数为偶函数,故函数f
7、(x)有4个零点等价于x0时,f(x)有2个零点,当x0时,f(x)=-ln ax(a0),则f(x)=-=-=,当x+,f(x)+,当x0,f(x)+,由f(x)=0得x=,当x时,f(x)0,当0x时,f(x)0,如图:所以f(x)有极小值f,要使函数有4个零点,只需f0即可,即f=-ln=-ln=-ln ae1,所以a可取2,3,4.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知函数f(x)=-x3+ax在区间(-1,1)上是增函数,则实数a的取值范围是_.【解析】由题意应有f(x)=-3x2+a0在区间(-1,1)上恒成立,则a3x2在x(-1,1
8、)时恒成立,故a3.答案:a314.已知Sn是等比数列an的前n项和,a5=-2,a8=16,则S6等于_.【解析】因为an为等比数列,所以a8=a5q3,所以q3=-8,所以q=-2.又a5=a1q4,所以a1=-,所以S6=.答案:15.(2019北京高考)设等差数列an的前n项和为Sn,若a2=-3,S5=-10,则a5=_,Sn的最小值为_.【解析】设公差为d,a2=a1+d=-3,S5=5a1+d=-10,即a1+2d=-2,解得a1=-4,d=1,所以a5=a1+4d=0,Sn=na1+d=,当n=4或5时,Sn最小,为-10.答案:0-1016.已知f是定义在上的函数,f是f的导
9、函数,且总有fxf,则不等式fxf的解集为_.【解析】设g=,g=xf等价于,解得0xxf的解集为.答案:四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020全国卷)设数列满足a1=3,an+1=3an-4n.(1)计算a2,a3,猜想的通项公式并加以证明;(2)求数列的前n项和Sn .【解析】(1)由题意可得a2=3a1-4=9-4=5,a3=3a2-8=15-8=7,由数列的前三项可猜想数列是以3为首项,2为公差的等差数列,即an=2n+1,证明如下:当n=1时,a1=3成立;假设n=k(k1,kN*)时,ak=2k+1成立.那么
10、n=k+1时,ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1也成立.则对任意的nN*,都有an=2n+1成立.(2)由(1)可知,an2n=(2n+1)2n,Sn=32+522+723+(2n-1)2n-1+(2n+1)2n,2Sn=322+523+724+(2n-1)2n+(2n+1)2n+1,由-得:-Sn=6+2-(2n+1)2n+1=6+2-(2n+1)2n+1=(1-2n)2n+1-2,即Sn=(2n-1)2n+1+2.18.(12分)已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间0,1上单调递增,在区间1,2)上单调递减.(1)求a的值;(2)若点A(x
11、0,f(x0)在函数f(x)的图像上,求证:点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图像上.【解析】 (1)由函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间0,1上单调递增,在区间1,2)上单调递减,所以x=1时,取得极大值,所以f(1)=0.又f(x)=4x3-12x2+2ax,所以4-12+2a=0a=4.(2)点A(x0,f(x0)关于直线x=1的对称点B的坐标为(2-x0,f(x0),f(2-x0)=(2-x0)4-4(2-x0)3+4(2-x0)2-1=(2-x0)2(2-x0)-22-1=-4+4-1=f(x0),所以A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图像上.19.(
12、12分)(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通项公式;(2)若a10,求使得Snan的n的取值范围.【解析】(1)设an的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此an的通项公式为an=10-2n.(2)由S9=-a5得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.由a10知d0,故Snan等价于n2-11n+100,解得1n10.所以n的取值范围是n|1n10,nN.20.(12分)设x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.(1)求常数a,b;(2)试判断x
13、=-2,x=4是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.【解析】f(x)=3x2+2ax+b.(1)由极值点的必要条件可知:f(-2)=f(4)=0,即解得a=-3,b=-24.或f(x)=3x2+2ax+b=3(x+2)(x-4)=3x2-6x-24,也可得a=-3,b=-24.(2)由f(x)=3(x+2)(x-4).当x0,当-2x4时,f(x)4时,f(x)0,所以x=4是极小值点.21.(12分)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通项公式;(2)求数
14、列a2nbn的前n项和(nN*).【解析】(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,an的通项公式为an=3n-2,bn的通项公式为bn=2n.(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn由a2n=6n-2,有Tn=42+1022+1623+(6n-2)2n,2Tn=422+1023+1624+(6n-8)2n+(6n-2
15、)2n+1,上述两式相减,得-Tn=42+622+623+62n-(6n-2)2n+1=-4-(6n-2)2n+1=-(3n-4)2n+2-16. 得Tn=(3n-4)2n+2+16.所以,数列a2nbn的前n项和为(3n-4)2n+2+16.22.(12分)已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,bR),g(x)=f(x)+f(x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式;(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值.【解析】 (1)由题意得f(x)=3ax2+2x+b.因此g(x)=f(x)+f(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.因为函数g(x
16、)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),即对任意实数x,有a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b,从而3a+1=0,b=0,解得a=-,b=0,因此f(x)的解析式为f(x)=-x3+x2.(2)由(1)知g(x)=-x3+2x,所以g(x)=-x2+2.令 g(x)=0,解得x1=-,x2=,则当x时,g(x)0,从而g(x)在区间(-,-,+)上是减函数;当-x0,从而g(x)在-,上是增函数.由前面讨论知,g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x=1,2时取得,而g(1)=,g()=,g(2)=.因此g(x)在区间1,2上的最大值为g()=,最小值为g(2)=.关闭Word文档返回原板块
