1、开卷速查(五十六)圆锥曲线的综合问题A级基础巩固练1已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于异于椭圆顶点的两点A，B，且2.(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围解析：(1)由题意，知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为1(ab0)，由题意，知a2，bc，又a2b2c2，则b，所以椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线l的斜率存在，设其方程为ykxm，与椭圆方程联立，即消去y，得(2k2)x22mkxm240，(2mk)24(2k2)(m24)0，由根与系数
2、的关系，知又2，即有(x1，my1)2(x2，y2m)，所以x12x2.则所以22.整理，得(9m24)k282m2，又9m240时等式不成立，所以k20，得m24，此时0.所以m的取值范围为.2已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1和F2，由四个点M(a，b)、N(a，b)、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形(1)求椭圆的方程；(2)过点F1的直线和椭圆交于两点A，B，求F2AB面积的最大值解析：(1)由条件，得b，且3，所以ac3.又a2c23，解得a2，c1.所以椭圆的方程1.(2)显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为xmy1，直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y
3、2)联立方程消去x，得(3m24)y26my90，因为直线过椭圆内的点，无论m为何值，直线和椭圆总相交y1y2，y1y2.SF2AB|F1F2|y1y2|y1y2|1244，令tm211，设yt，易知t时，函数单调递减，t函数单调递增，所以当tm211，即m0时，ymin.SF2AB取最大值3.B级能力提升练32014江西如图，已知双曲线C：y21(a0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点)(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N.证明：当点P在C上移动时，
4、恒为定值，并求此定值解析：(1)设F(c,0)，因为b1，所以c，直线OB的方程为yx，直线BF的方程为y(xc)，解得B.又直线OA的方程为yx，则A，kAB.又因为ABOB，所以1，解得a23，故双曲线C的方程为y21.(2)由(1)知a，则直线l的方程为y0y1(y00)，即y.因为直线AF的方程为x2，所以直线l与AF的交点M；直线l与直线x的交点为N，.则，因为P(x0，y0)是C上一点，则y1，代入上式得，所求定值为.42014福建已知双曲线E：1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，
5、l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由解析：方法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为y2x，y2x，所以2，所以2，故ca，从而双曲线E的离心率e.(2)由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|a，|AB|4a，又因为OAB的面积为8，所以|OC|AB|8，因此a4a8，解得a2，此时双曲线E的方程为1.若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲
6、线E：1也满足条件设直线l的方程为ykxm，依题意，得k2或k2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)由得y1，同理得y2.由SOAB|OC|y1y2|得，8，即m24|4k2|4(k24)由得(4k2)x22kmxm2160.因为4k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)，又因为m24(k24)，所以0，即l与双曲线E有且只有一个公共点因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.方法二：(1)同方法一(2)由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)依题意得m.由得y1，同理得y2.设直线l与
7、x轴相交于点C，则C(t,0)由SOAB|OC|y1y2|8，得|t|8，所以t24|14m2|4(14m2)由得(4m21)y28mty4(t2a2)0.因为4m212或k2.由得(4k2)x22kmxm20，因为4k20，所以x1x2，又因为OAB的面积为8，所以|OA|OB|sinAOB8，又易知sinAOB，所以8，化简得x1x24.所以4，即m24(k24)由(1)得双曲线E的方程为1，由得，(4k2)x22kmxm24a20，因为4k20，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当4k2m24(4k2)(m24a2)0，即(k24)(a24)0，所以a24，所以双曲线E的方程为1.当lx轴时，由OAB的面积等于8可得l：x2，又易知l：x2与双曲线E：1有且只有一公共点综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.
