1、教学设计32均值不等式整体设计教学分析均值不等式也称基本不等式本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解教材用作差配方法证明均值不等式作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”本节的新课标要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值
2、不等式解决简单的最大(小)问题从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影书中练习A、B和习题都是基本题，要求全做鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂
3、上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2b22ab的联系三维目标1通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等2通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德3通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯重点难点教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不
4、等式的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然思路2.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提
5、出问题推进新课活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式其中，任意两个正实数a、b的叫做数a、b的算术平均值，数叫做a、b的几何平均值均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当ab，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础利用不
6、等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2b22ab.这是一个很重要的结论一般地，如果a、bR，那么a2b22ab(当且仅当ab时取“”)也可让学生重新证明这个结论：a2b22ab(ab)2，当ab时，有(ab)20.当ab时，有(ab)20，所以(ab)20，即a2b22ab.这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当ab时成立“当且仅当”即指充要条件下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，ACa，BCb.过点C作垂直于AB的弦DD，连结A
7、D、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？图1 (本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础)这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形容易证明ACDDCB.所以可得CD.或由射影定理也可得到CD.从图中我们可直观地看到表示的是半弦长，表示的是半径长由于半弦长不大于半径，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为：.显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当ab时，等号成立还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式如若a、bR，则，当且仅当ab时，式中等号成立好多书上就把它称为基本不等式在同
8、样条件下还可写成：ab2或2ab等讨论结果：(1)(2)略(3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长(4)若a、bR，则，当且仅当ab时，式中等号成立；若a、bR，则ab2，当且仅当ab时，式中等号成立；若a、bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，式中等号成立例1(教材本节例1)活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例中的和相当于均值不等式中的a、b.因此必须有，R.点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯.变式训练已知a、b、c都是正实数，求证：(ab)(bc)(ca)
9、8abc.证明：a0，b0，c0，ab20，bc20，ca20.(ab)(bc)(ca)2228abc，即(ab)(bc)(ca)8abc.例2已知(ab)(xy)2(aybx)，求证：2.活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论本题结论中，注意与互为倒数，它们的积为1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明与为正数开始证题证明：(ab)(xy)2(aybx)，axaybxby2ay2bx.axaybybx0.(axbx)(ayby)0.(ab)(xy)0，即ab与xy同号与均为正数22(当且仅当时取“”)2.点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断与是正还是负
10、，是我们今后解题中常用的方法例3若ab1，P，Q(lgalgb)，Rlg，则()ARPQ BPQRCQPR DPRQ活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用根据P、Q、R三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数ylgx的单调性答案：B解析：ab1，lgalgb0.(lgalgb)2，即QP.又，lglg(lgalgb)RQ.故PQR.点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式例4(教材本节例2)活动：这是一个实际问题教师引导学生分析，根据题意在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的
11、积的最大值联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”正是正数，定是定值，相等是能取到等号1“a”是“对任意的正数x,2x1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件2若正数a、b满足abab3，则ab的取值范围是_答案：1A解析：一方面，当
12、a时，对任意的正数x，有2x2x1；另一方面，对任意正数x，都有2x1，只要2x21，即得a.29，)解法一：令t(t0)，由abab323，得t22t3，解得t3，即3，故ab9.解法二：由已知得abba3，b(a1)a3，b(a1)aba(a1)1a3a14a15259.当且仅当a1时取等号，即ab3时，ab的最小值为9.ab的取值范围是9，)点评：此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力通过思考ab与ab的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法1由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收获？2教
13、师强调，本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数()，几何平均数()及它们的关系()两关系式成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具习题32A组，4,5,6.习题32B组，1,2.设计感想1本节设计突出重点均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住但使用均值不等式求函数最值时要注意：x，y都是正数；积xy(或和xy)为定值；x与y必须能够相等2本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重
14、在让学生体会方法将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的重要结果：一是如果a，bR，那么a2b22ab(当且仅当ab时取“”)；二是均值不等式：如果a，b是正数，那么(当且仅当ab时取“”)在这个不等式中，为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不大于半径a2b22ab与成立的条件是不同的，前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数本节课我们进一步探究
15、均值不等式的应用由此展开新课思路2.(直接导入)通过上节课a2b22ab(a、bR)与(a0，b0)的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路教师打开多媒体课件，从而展开新课推进新课活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式与a2b22ab的联系给出了均值不等式的一个几何直观解释均值不等式与a2b22ab都有着广泛的应用对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的后者成立的条件是a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充分必要条件；而前者成立的条件是a与b都为正实数
16、，并且a与b都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如a0，b0，仍然能使成立两个不等式中等号成立的条件都是ab，故ab是不等式中等号成立的充要条件在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”当条件不完全具备时，应创造条件本节课我们将进一步探究均值不等式的应用讨论结果：(1)(2)略(3)应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”例1(教材本节例3)活动：本例是求函数的最值教师引导学生将f(x)变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何
17、使用均值不等式的条件，并掌握基本技能.变式训练函数yloga(x3)1(a0且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中mn0，则的最小值为_答案：8解析：yloga(x3)1恒过点(2，1)，A(2，1)又A在直线上，2mn10，即2mn1.又mn0，m0，n0.而224228，当n，m时取“”的最小值为8.例2(1)已知x，求函数y4x2的最大值；(2)已知a、b为实数，求函数y(xa)2(xb)2的最小值活动：(1)因为4x50，所以首先要“调整”符号又(4x2)不是常数，所以应对4x2进行拆(添)项“配凑”(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方
18、法求其最小值但若注意到(xa)(bx)为定值，则用变形不等式()2更简捷解：(1)x，54x0.y4x2(54x)3231.当且仅当54x，即x1时，上式等号成立当x1时，ymax1.(2)y(xa)2(xb)2(xa)2(bx)222，当且仅当xabx，即x时，上式等号成立当x时，ymin.点评：若x、yR，xys，xyp.若p为定值，则当且仅当xy时，s的值最小；如果s为定值，则当且仅当xy时，p的值最大简称“和定积最大，积定和最小”从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.变式训练已知在ABC
19、中，ACB90，BC3，AC4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是_答案：3解析：方法一：以CA、CB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线AB方程为1，设P(a，b)，则1(a0，b0)ab1212()23，当且仅当“a”时等号成立方法二：设P到BC的距离为a，到AC的距离为b.由相似三角形易得，1.以下解法同一例3当x1时，求函数f(x)的值域活动：教师引导学生观察函数f(x)的分子、分母特点，可作如下变形：f(x)x15.这样就可以应用均值不等式了解：x1，x10.f(x)x152525，当且仅当(x1)25时，即x1时取“”另一解x11(舍去)，故函数值域为25
20、，)点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：各项均为正数；和或积有一个为定值；等号一定取到，这三个条件缺一不可.变式训练已知x1x2x3x2 0061，且x1、x2、x3、x2 006都是正数，则(1x1)(1x2)(1x2 006)的最小值是_答案：22 006解析：x10，则1x12，同理，1x22，1x2 0062，各式相乘，得(1x1)(1x2
21、)(1x2 006)22 00622 006.取“”的条件为x1x2x3x2 0061，所求最小值为22 006.例4设0x2，求函数f(x)的最大值，并求相应的x值试问0x时，原函数f(x)有没有最大值？0x1时，f(x)有没有最大值？若有，请你求出来；若没有，请你说明理由活动：对本例中的函数可变形为f(x)，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨解：0x2，83x0.f(x)4，当且仅当3x83x，即x时取“”函数f(x)的最大值为4，此时x.又f(x)，当0x时，f(x)递增；当x
22、时，f(x)递减当0x时，原函数f(x)没有最大值当0x1时，有最大值f(1)，即f(1).点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解体会不等式的功能在于“和与积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆(添)项或配凑因式1函数f(x)的最大值为()A. B. C. D12求函数yx(x0)的最小值，以及此时x的值3已知x、yR，且2x8yxy0，求xy的最小值答案：1B解析：当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)，当且仅当，即x1时取等号2解：x0，x22，当且仅当x，即x1时取等号当x1时，x的值最小，最小值是2.3解：由2x8yxy0得y(x8)2x.x0，y0，x80.xyxx810
23、21018，当且仅当x8，即x12时，xy取最小值18.1由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？2教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构习题32A组2、3、7、8、9；习题32B组3、
24、4.设计感想1本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练2本节设计关注了教学进程的和谐发展整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高3本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方备课资料一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)(1)设a1，a2，a3，an为正实数，这n个数的算术平均值记为A，几何平均值记为G，即A，G，即AG，当且仅当a1a2
25、an时，AG.特别地，当n2时，；当n3时，.(2)用局部调整法证明均值不等式AG.设这n个正数不全相等不失一般性，设0a1a2an，易证a1Aan，且a1Gan.在这n个数中去掉一个最小数a1，将a1换成A，再去掉一个最大数an，将an换成a1anA，其余各数不变，于是得到第二组正数：A，a2，a3，an1，a1anA.这一代换具有下列性质：两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A1，那么A1A，第二组数的几何平均值最大设第二组数的几何平均值为G1，则G1，A(a1anA)a1an(Aa1)(anA)，由a1Aan，得(Aa1)(anA)0，则A(a1anA)a1an.Aa2a3a
26、n1(a1anA)a1a2an1an，即G1G.二、备用习题1已知a0，b0，且ab2，则()Aab Bab Ca2b22 Da2b232若a、b、c、d、x、y是正实数，且P，Q，则() APQ BPQ CPQ DPQ3若函数yf(x)的值域是，3，则函数F(x)f(x)的值域是()A，3 B2，C， D3，4某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨5直线l过点M(2,1)且分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，O为坐标原点，求AOB面积最小时l的方程6经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路
27、汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y(v0)(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？参考答案：1C解析：对于选项C：a2b22.故C正确2C解析：a、b、c、d、x、y是正实数，QP.3B解析：令tf(x)，则t，3F(x)G(t)t.该函数在t1处取得最小值2，在t3处取得最大值.故选B.420解析：设一年总费用为y万元，则y44x4x2160，当且仅当4x，即x20时，等号成立5解：设直线l的方程为y1k(x2)，即ykx12k(k0)令x0，得y12k；令y0，得x2.SAOB(12k)(2)2(2k)k0，2k0.SAOB224，当且仅当2k，即k时取等号此时l的方程为yx2.6解： (1)依题意，得y，当且仅当v，即v40时，上式等号成立，所以ymax11.1(千辆/时)(2)由条件得10，整理，得v289v1 6000，即(v25)(v64)0，解得25v64.答：当v40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时(设计者：郑吉星)
