1、高考资源网（） 您身边的高考专家32立体几何中的向量方法第1课时用空间向量解决立体几何中的平行问题内容标准学科素养1.理解直线的方向向量与平面的法向量2.掌握用待定系数法求平面法向量的方法3.掌握利用向量证明空间中的平行关系的基本方法.利用直观想象发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第65页基础认识知识点一直线的方向向量与平面的法向量为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来，那么如何用向量表示空间中的点、直线、平面的位置呢？(1)取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示(2)空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及
2、一个定方向确定点A是直线l上一点，向量a表示直线l的方向(方向向量)在直线l上取a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得t.这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点(3)空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定设这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对(x，y)，使得xayb.这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点另外也可以用平面的法向量表示空间中平面的位置 知识梳理直线的方向向量与平面的法向量(1)用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直
3、线l方向的向量a(即直线的方向向量)形式在直线l上取a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得t作用定位置点A和向量a可以确定直线l的位置定点可以具体表示出l上的任意一点(2)用向量表示平面的位置通过平面上的一个定点O和两个向量a和b来确定：条件平面内两条相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得xayb通过平面上的一个定点A和法向量来确定：平面的法向量直线l，直线l的方向向量，叫做平面的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量a，叫做直线l的一个方
4、向向量平面的法向量直线l，取直线l的方向向量n，叫做平面的法向量注意：平面的法向量及其求法在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：(1)设平面的法向量为n(x，y，z)；(2)找出(求出)平面内的两个相交的向量a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)；(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组(4)解方程组，取其中的一个n的坐标，即得平面的一个法向量知识点二用空间向量处理平行关系知识梳理设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lmabakb(kR)线面平行laa0面面平行vkv(kR)自我检测1若两条直线的方向向量分别是a(2,4，5)，b(6
5、，x，y)，且两条直线平行，则x_，y_.答案：12152已知直线l的方向向量为a(1,2,0)，平面的法向量为n(2,1，1)，则()AlBlCl Dl或l答案：D3已知A(1,2,3)，B(0,1,2)，C(1,3,2)，则平面ABC的一个法向量为()A. B.C. D.答案：A授课提示：对应学生用书第66页探究一利用方向向量和法向量判定线线、线面、面面的位置关系教材P104练习2设u，v分别是平面，的法向量，根据下列条件判断平面，的位置关系：(1)u(2,2,5)，v(6，4,4)；(2)u(1,2，2)，v(2，4,4)；(3)u(2，3,5)，v(3,1，4)解析：(1)uv0，uv
6、，.(2)uv， 或与重合(3)u与v不垂直，也不平行，与相交例1根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l1与l2的方向向量分别是a(2,3，1)，b(6，9,3)；(2)直线l1与l2的方向向量分别是a(2,1,4)，b(6,3,3)；(3)平面与的法向量分别是u(1，1,2)，v；(4)平面与的法向量分别是u(2，3,4)，v(4，2,1)；(5)直线l的方向向量、平面的法向量分别是a(0，8,12)，u(0,2，3)解析(1)a(2,3，1)，b(6，9,3)，ab，ab，即l1l2.(2)a(2,1,4)，b(6,3,3)，ab0且akb(kR)，a，b既不共线也不垂直，即
7、l1与l2相交或异面(3)u(1，1,2)，v，uv3210，uv，即.(4)u(2，3,4)，v(4，2,1)，uv0且ukv(kR) ，u与v既不共线也不垂直，即和相交但不垂直(5)a(0，8,12)，u(0,2，3)，ua，ua，即l.方法技巧(1)两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行或重合(垂直)；否则两平面相交但不垂直跟踪探究1.设平面的法向量为(1,3，2)，平面的法向量为
8、(2，6，k)，若，则k_.解析：，(1,3，2)(2，6，k)，k4.答案：4探究二求平面的法向量例2已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面ABC的一个法向量解析设平面ABC的法向量为n(x，y，z)A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，(2,1,3)，(1，1,0)则有即解得令z1，则xy3.故平面ABC的一个法向量为n(3,3,1)方法技巧求平面法向量的方法与步骤(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，；(2)设平面的法向量为n(x，y，z)；(3)联立方程组并求解；(4)所求出向量中的三个坐标
9、不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量跟踪探究2.如图所示，在四棱锥SABCD中，底面是直角梯形，ABC90，SA底面ABCD，且SAABBC1，AD，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量解析：如图，以A为原点，以，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则，.易知向量是平面SAB的一个法向量设n(x，y，z)为平面SDC的法向量，则即取x2，则y1，z1，平面SDC的一个法向量为(2，1,1)探究三利用空间向量证明线面平行教材P118复习参考题A组13题节
10、选如图，点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH.证明：(1)E，F分别为AB，BC的中点，.同理，.又E，F，H，G不共线，E，F，G，H四点共面(2)E，H分别为AB，AD的中点，DBHE.又HE平面EFGH，BD平面EFGH，BD平面EFGH.例3(1)在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PDDC，E是PC的中点证明：PA平面EDB.证明如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PDDCa.法一：连接AC，交BD于点G，连接EG，依题意得D(0,0,0
11、)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E.因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为，所以.又(a,0，a)，所以2，这表明PAEG.而EG平面EDB，且PA平面EDB，所以PA平面EDB.法二：设平面BDE的法向量为n(x，y，z)，又，则有即即令z1，则所以n(1，1,1)，又(a,0，a)，所以n(1，1,1)(a,0，a)aa0.所以n.又PA平面EDB，所以PA平面EDB.法三：假设存在实数，使得，即(a,0，a)，则有解得所以，又PA平面EDB，所以PA平面EDB.(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD平面CD1B1.证明以D为原点，
12、分别以向量，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设棱长为1，则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，(1,0，1)，(0,1，1)，(1,1,0)，(0,1，1)设平面A1BD的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则令z11，得x11，y11.平面A1BD的一个法向量为n1(1,1,1)设平面CD1B1的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则令y21，得x21，z21，n2(1,1,1)n1n2，即n1n2.平面A1BD平面CD1B1.方法技巧利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：方法一
13、：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直跟踪探究3.如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD2，AB1，PA平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD.解析：PA平面ABCD，BAD90，AB1，AD2，如图，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)不妨令P(0,
14、0，t)，(1,1，t)，(1，1,0)设平面PFD的法向量为n(x，y，z)，由得令z1，解得xy，n.设点G的坐标为(0,0，m)，又E，则.要使EG平面PFD，只需n0，即0m10，即m0，解得mt，从而满足AGAP的点G即为所求授课提示：对应学生用书第67页课后小结(1)利用向量解决立体几何问题的“三部曲”：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；根据运算结果的几何意义来解释相关问题(2)证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明素养培优忽视直线与平面平行的条件致误若直线l的方向向量为a(3，1,4)，平面的法向量为n，则直线l与平面的位置关系是_易错分析直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线可能与平面平行，也可能在平面内考查直观想象和逻辑推理的学科素养自我纠正因为an(3，1,4)0，所以an.所以l或l.故填l或l.答案：l或l- 9 - 版权所有高考资源网
