1、12应用举例第1课时距离测量问题内容标准学科素养1.引导学生认识正、余弦定理是解决测量问题的一种方法2.运用正、余弦定理等知识和方法解决测量距离和长度的实际问题.运用数学建模提升数学运算发展逻辑推理运用直观想象授课提示：对应学生用书第7页基础认识知识点基线的概念与选择原则图1(1)如何测量一个可到达的点到另一个不可到达点之间的距离？如图1，测量AB的距离图2提示：测出AC与BAC和ACB.(2)如何测量两个不可到达点之间的距离？如图2，测量AB的距离提示：测出DC及ADB，BDC，DCA，ACB.知识梳理(1)基线的定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段(2)选择基线的原则：在测量过程中，
2、要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度，一般来说，基线越长，测量的精确度越高自我检测1轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则14时两船之间的距离是()A50 n mileB70 n mileC90 n mile D110 n mile答案：B2A，B两点间有一小山，先选定能直接到达点A，B的点C，并测得AC60 m，BC160 m，ACB60，则A，B两点间的距离为_答案：140 m授课提示：对应学生用书第7页探究一测量一个不可到达点的距离阅读教材P11例1测量器材：米尺、测
3、角仪方法步骤：(1)在河的一岸选基线AC.(2)测出基线长AC.(3)测量角度BAC和ACB.(4)利用正弦定理计算AB.例1如图，一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走，开始在A处，经观察，在河的对岸有一参照物C，与学生前进方向成30角，学生前进200 m后到达点B，测得该参照物与前进方向成75角求点A与参照物C的距离解析由题意得AB200 m，ABC105，BCA45.由正弦定理得，AC100(1)，即A与C的距离为100(1) m.延伸探究如果本例条件不变，求河的宽度解析：作CDAB于D点(图略)，由于CAB30，CDAC50(1)(m)即河的宽度为50(1) m.方法技巧测量从一个可到达的点与
4、一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决探究二测量不可到达的两点间的距离阅读教材P11例1测量器材：米尺、测角仪方法步骤：(1)选基线CD，并测量长度(2)测角度BCA，ACD，CDB，BDA.(3)用正弦定理计算AC，BC.(4)用余弦定理计算AB.例2某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距a km的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离解析ADCADBBDC60.ACD60，DAC60，ADCDa km.在BC
5、D中，DBC1803010545，由正弦定理，得BDCDaa(km)在ADB中，由余弦定理得AB2AD2BD22ADBDcosADBa2(a)22aaa2，ABa km.故蓝方这两支精锐部队间的距离为a km.方法技巧测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是先把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，再把求未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，最后运用正弦定理解决问题其实质是综合应用正、余弦定理求解边长跟踪探究1如图，对于河对岸A、B两点，给出不同于本例题解法的另外一种测量方法解析：测量者可以在河岸边选定点E，C，D，使A，E，C及D，E，B三点共线，测得ECa，E
6、Db，并且分别测得BECAED，BCA，ADB，在AED和BEC中，应用正弦定理得AE，BE.在ABE中，应用余弦定理计算出A，B两点间的距离AB.探究三测量不通、不可视的两点间的距离阅读教材P24 A组第3题如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向已测得隧道两端的两点A，B到某一点C的距离a，b及ACB，求A，B两点的距离，以及ABC，BAC.解析：AB，cosABC，从而确定ABC的大小则BACABC.例3如图所示，为了开凿隧道，要测量隧道上DE间的距离，为此在山的一侧选取适当的点C，测量AC400 m，BC600 m，ACB60，又测得A，B两点到隧道口的距离AD80 m
7、，BE40 m(点A，D，E，B在同一直线上)，试计算隧道DE的长(精确到1 m)解析在ABC中，由余弦定理可得AB2AC2BC22ACBCcosACB400260022400600280 000，AB200，DEABADEB2008040409(m)方法技巧此类问题是已知三角形的两边及夹角求第三边问题，故直接用余弦定理跟踪探究2如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)测量A，B，b测量a，b，C测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为()A3B2C1D0解
8、析：AB；AB；AB.答案：A探究四海平面上两点间的距离阅读教材P19习题A组第1题 如图，货轮在海上以35 n mile/h的速度沿着方位角为148的方向航行为了确定船位，在B点观察灯塔A的方位角是126，航行半小时后到达C点，观察灯塔A的方位角是78.求货轮到达C点时与灯塔A的距离解析：在ABC中，ABC14812622，BAC1267848，BC.由正弦定理，故AC.例4一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为45距离10海里的C处，并沿方位角为105的方向
9、，以9海里/时的速度航行“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救并在B处追上商船求“黄山”舰追上商船所需要的最短时间及所经过的路程解析如图所示，A，B，C构成一个三角形设所需时间为t小时，则AB21t，BC9t.又已知AC10，依题意知，ACB120.由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACB，所以(21t)2102(9t)22109tcos 120，所以(21t)210081t290t，即360t290t1000.所以t或t(舍去)所以AB2114(海里)即“黄山”舰需要用小时追上商船，共航行14海里方法技巧根据题意，画出适合的三角形，找出已知与所求，结合余弦定理解三角形授课提
10、示：对应学生用书第9页课后小结(1)运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别(2)正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解素养培优1
11、对题意理解不清或定理记忆不准确致误如图所示，为了在一条河上建一座桥，施工前先要在河两岸打上两个桥位桩A，B，若要测量A，B两点之间的距离，需要测量人员在岸边定出基线BC，现测得BC50米，ABC105，BCA45，则A，B两点的距离为_米易错分析此类题易将已知条件与三角形的边角关系对应错，或运用定理致错考查了直观想象、数学运算、数学抽象的学科素养自我纠正在ABC中，BC50米，ABC105，BCA45，所以BAC180ABCBCA1801054530.由正弦定理得，所以AB50.故A，B两点间的距离为50米答案：502不能正确分类讨论实际问题海事救护船A在基地的北偏东60，与基地相距100 n mile，渔船B被困海面，已知B距离基地100 n mile，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是_易错分析此题出错的原因是不能根据题意，分类讨论出具体情况，而丢解考查了直观想象、数学运算的学科素养自我纠正如图，设基地位于O处，则在ABO中，OA100，OB100，BAO30.由正弦定理得：sinABO，ABO60或120.(1)当ABO60时，AOB90，所以AB200(n mile)(2)当ABO120时，AOB30，所以ABOB100 n mile.即渔船B与救护船A的距离是100 n mile或200 n mile.答案：100 n mile或200 n mile
