1、模块综合评价(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1在复平面内，复数z(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：因为z1i，所以z1i，所以z在复平面内对应的点位于第四象限答案：D2若复数z满足2zz32i，其中i为虚数单位，则z()A12i B12iC12i D12i解析：法一设zabi(a，bR)，则2zz2a2biabi3abi32i.由复数相等的定义，得3a3，b2，解得a1，b2，所以z12i.法二由已知条件2zz32i，得2zz32i，
2、解组成的关于z，z的方程组，得z12i.故选B.答案：B3设f(x)10xlg x，则f(1)等于()A10 B10ln 10lg eC.ln 10 D11ln 10解析：f(x)10xln 10，所以f(1)10ln 1010ln 10lg e.答案：B4已知函数f(x)x22f(1)ln x，则曲线yf(x)在x1处的切线斜率为()A1B2C1D2解析：f(x)2x，令x1得f(1)212f(1)，所以f(1)2.即曲线yf(x)在x1处的切线斜率k2，故选D.答案：D5用反证法证明命题：“若a，bN，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为()Aa，b都能被3整除
3、Ba，b都不能被3整除Ca，b不都能被3整除 Da不能被3整除解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”答案：B6若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9解析：因为f(x)12x22ax2b，又因为在x1处有极值，所以ab6，因为a0，b0，所以ab9，当且仅当ab3时取等号，所以ab的最大值等于9.答案：D7观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的特点，按此规律，则第100项为()A10 B14 C13 D100解析：设nN*，则数字n共有n个，所以100，即n(n1)200，又因为nN*，所以n13，到第13
4、个13时共有91项，从第92项开始为14，故第100项为14.答案：B8某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A900元 B840元C818元 D816元解析：设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意，得l1512224072(x0)，l72.令l0，解得x4或x4(舍去)当0x4时，l4时，l0.故当x4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元故选D.答案：D9过原点的直线l与抛物线yx22ax(a0)所围成
5、的图形面积为a3，则直线l的方程为()Ayax ByaxCyax Dy5ax解析：设直线l的方程为ykx，由得交点坐标为(0，0)，(2ak，2akk2)，图形面积Skx(x22ax)dxa3，所以ka，所以直线l的方程为yax，故应选B.答案：B10证明不等式n1(nN*)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立；(2)假设nk(kN*且k1)时，不等式成立，即 k1，则当nk1时， (k1)1.所以当nk1时，不等式成立上述证法()A过程全都正确Bn1时验证不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析：验证及归纳假设都正确，但从nk到nk1的推理中没有使用归纳假设
6、，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求故应选D.答案：D11.已知函数f(x)满足f(0)0，导函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积为()A. B.C2 D.解析：由f(x)的图象知，f(x)2x2，设f(x)x22xc，由f(0)0知，c0，所以f(x)x22x，由x22x0得x0或x2.故所求面积S(x22x)dx.答案：B12已知函数f(x)xln x，若对任意的x1都有f(x)ax1，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，1)C1，) D不能确定解析：由f(x)ax1在区间1，上恒成立，得不等式aln x在区间1，)上恒成立令g
7、(x)ln x，则g(x).当x1时，g(x)0，所以g(x)在区间1，上单调递增，所以g(x)的最小值是g(1)1，故a的取值范围是(，1答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_解析：因为z(12i)(3i)3i6i2i255i，所以z的实部是5.答案：514在ABC中，D为边BC的中点，则()将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_解析：将“ABC”类比为“四面体ABCD”，将“D为边BC的中点”类比为“BCD的重心”，于是有类比结论：在四面体ABCD中，G为BCD的重心，则()答案
8、：在四面体ABCD中，G为BCD的重心，则()15由抛物线yx2，直线x1，x3和x轴所围成的图形的面积是_解析：如图所示，Sx2dx1(3313).答案：16已知f(x)x33x2a(a为常数)，在3，3上有最小值3，那么在3，3上f(x)的最大值是_解析：f(x)3x26x3x(x2)，当x3，2)和x(0，3时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(2，0)时，f(x)0，f(x)单调递减，所以极大值为f(2)a4，极小值为f(0)a，又f(3)a，f(3)54a，由条件知a3，所以最大值为f(3)54357.答案：57三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程
9、或演算步骤)17(本小题满分10分)已知aR，问复数z(a22a4)(a22a2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？解：由a22a4(a1)233.(a22a2)(a1)211.知z的实部为正数，虚部为负数，所以复数z的对应点在第四象限设zxyi(x，yR)，则因为a22a(a1)211，所以xa22a43，消去a22a，得yx2(x3)，所以复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为yx2(x3)18(本小题满分12分)设函数f(x)，a，b(0，)(1)用分析法证明：ff；(2)设ab4，求证：af(b)，bf(a)中至少有一个大于.证明：(1)要证明ff，只需证明，只需证明，
10、即证，即证(ab)20，这显然成立，所以ff.(2)假设af(b)，bf(a)都小于或等于，即，所以2ab2，2ba2，两式相加得ab4，这与ab4矛盾，所以af(b)，bf(a)中至少有一个大于.19(本小题满分12分)已知函数f(x)ex2(x23)(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数yf(x)的极值解：(1)函数f(x)ex2(x23)，则f(x)ex2(x22x3)ex2(x3)(x1)，故f(0)3e2，又f(0)3e2，故曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y3e23e2(x0)，即3e2xy3e20.(2)令f(x)0，可得x1或x3，如下
11、表：x(，3)3(3，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以当x3时，函数取极大值，极大值为f(3)，当x1时，函数取极小值，极小值为f(1)2e3.20(本小题满分12分)已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)在1，e上的最大值，最小值；(2)求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3图象的下方解：(1)由f(x)x2ln x有f(x)x，当x1，e时，f(x)0，所以f(x)maxf(e)e21.f(x)minf(1).(2)设F(x)x2ln xx3，则F(x)x2x2，当x1，)时，F(x)0，且F(1)0故x1，)时F(x)0，所以x2ln x
12、x3，得证21(本小题满分12分)已知函数f(x)x22(a1)x2aln x(a0)(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)0在区间1，e上恒成立，求实数a的取值范围解：(1)因为a1，所以f(x)x24x2ln x，所以f(x)(x0)，f(1)3，f(1)0，所以切线方程为y3.(2)f(x)(x0)，令f(x)0得x1a，x21，当0a1时，在x(0，a)或x(1，)时，f(x)0，在x(a，1)时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(0，a)和(1，)，单调递减区间为(a，1)；当a1时，f(x)0，所以f(x
13、)的单调递增区间为(0，)；当a1时，在x(0，1)或x(a，)时，f(x)0，在x(1，a)时，f(x)0，所以f(x)的单调增区间为(0，1)和(a，)，单调递减区间为(1，a)(3)由(2)可知，f(x)在区间1，e上只可能有极小值点，所以f(x)在区间1，e上的最大值必在区间端点取到，所以f(1)12(a1)0且f(e)e22(a1)e2a0，解得a，所以a的取值范围是.22(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(nN*)(1)试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式解：(1)因为anSnSn1(n2)所以Snn2(SnSn1)，所以SnSn1(n2)因为a11，所以S1a11.所以S2，S3，S4，猜想Sn(nN*)(2)当n1时，S11成立假设nk(k1，kN*)时，等式成立，即Sk，当nk1时，Sk1(k1)2ak1ak1Skak1，所以ak1，所以Sk1(k1)2ak1.所以nk1时等式也成立，得证所以根据、可知，对于任意nN*，等式均成立由Snn2an，得n2an，所以an.
