1、课 题：4.3 任意角的三角函数（二）教学目的：1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.教学重点：三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离2.比值叫做的正弦 记作： 比值叫做的余弦 记作： 比值叫做的正切 记作： 比值叫做的余切 记作： 比值叫做的正割 记作： 比值叫做的余割 记作： 以上六种函数，统称为三角函
2、数.3.突出探究的几个问题： 角是“任意角”，当b=2kp+a(kZ)时，b与a的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用三角函数是以“比值”为函数值的函数而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.定义域： R R 4.注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.(4)定义中只说怎样
3、的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与的终边位置无关.(5)比值只与角的大小有关.二、讲解新课： 1. 三角函数在各象限内的符号规律：第一象限：sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0第二象限：sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0第三象限：sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0第四象限：sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦. 为正 全正为正 为正2. 终边相同的角的同一三角函数值
4、相等例如390和-330都与30终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390=sin30 cos390=cos30sin(-330)=sin30cos(-330)=cos30诱导公式一（其中）: 用弧度制可写成 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问题三、讲解范例：例1 确定下列三角函数值的符号(1)cos250 （2） （3）tan（672） (4)解：(1)250是第三象限角 cos2500(2)是第四象限角，(3)tan（672）tan（482360）tan48而48是第一象限角，tan（672）0(4) 而是第四象限角，.例2 求
5、证角为第三象限角的充分必要条件是证明：必要性：是第三象限角，充分性：sin0，是第三或第四象限角或终边在轴的非正半轴上tan0，是第一或第三象限角.sin0，tan0都成立.为第三象限角.例3 求下列三角函数的值(1)sin148010 (2) （3）.解:(1)sin148010sin（40104360）Sin40100.6451(2) (3)例4 求值：sin(-1320)cos1110+cos(-1020)sin750+tg4950解：原式=sin(-4360+120)cos(3360+30)+cos(-3360+60)sin(2360+30)+tg(360+135)=sin120cos
6、30+cos60sin30+tg135=-1=0四、课堂练习：1.确定下列各式的符号(1)sin100cos240 (2)sin5+tan5分析:由角所在象限分别判断两个三角函数值的符号,再确定各式的符号.解(1)100是第二象限的角,240是第三象限的角.sin1000,cos2400,于是有sin100cos2400.(2)5是第四象限的角sin50,tan50,于是有sin5+tan50.2. .x取什么值时,有意义?分析：因为正弦、余弦函数的定义域为R，故只要考虑正切函数的定义域和分式的分母不能为零.解:由题意得解得: 即:所以,当时，有意义.3若三角形的两内角a，b满足sinacos
7、b0，则此三角形必为（B）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上三种情况都可能4若是第三象限角，则下列各式中不成立的是（B）A：sina+cosa0 B：tana-sina0C：cosa-cota0 D：cotacsca05已知q是第三象限角且，问是第几象限角？解： 则是第二或第四象限角又 则是第二或第三象限角 必为第二象限角6已知，则q为第几象限角？解： 由 sin2q0 2kp2q2kp+p kpqkp+ q为第一或第三象限角五、小结 本节课我们重点讨论了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一组公式，两者的作用分别是：前者确定函数值的符号，后者将任意角的三角函数化为0到3
8、60角的三角函数，这两个内容是我们日后学习的基础.六、课后作业： 1. 确定下列三角函数值符号：2.化简. 解法一：(定义法) 设点P(x,y)是角终边上的一点，且|OP|=r,则将sin=,cos=,tan=,cot=代入得： 原式= 解法二：(化弦法) 原式= 解法三：(换元法) 设cos2=a,则sin2=1-a,tan2=,代入得 原式 评注：“切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义、换元方法，使得三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想.七、板书设计（略）八、课后记：已知sin3+cos3=1,求下列各式的值： (1)sin+cos；(2)sin
9、4+cos4 分析：对已知式的左边利用代数公式进行变形，使原式转化为关于sin+cos的方程，然后求解. (1)解法一：(sin+cos)3 =sin3+3sin2cos+3sincos2+cos3 =(sin3+cos3)+3(1-cos2)cos+3(1-sin2)sin =1+3cos-3cos3+3sin-3sin3 =1+3(sin+cos)-3(sin3+cos3) =3(sin+cos)-2. (sin+cos)3-3(sin+cos)+2=0. 令sin+cos=t,则t3-3t+2=0(t-1)2(t+2)=0. t=1或t=-2 即sin+cos=1或sin+cos=-2(
10、舍去). 解法二：sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=(sin+cos)(1-sincos). (sin+cos)(1-sincos)=1. 注意到sincos可用sin+cos表示，并令sin+cos=t,则sincos=,故上式化为t(1-)=1t3-3t+2=0.(下同解法一). (2)解：sin+cos=1，(sin+cos)2=1sincos=0. 故sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=1-2sin2cos2=1. 评注：对于sin+cos,sin-cos,sincos三个式子，只要已知其中一个的值，都可计算另外两个的值.
