1、第45讲随机事件的概率夯实基础【p105】【学习目标】1了解事件和、积、互斥、对立事件2了解频率与概率3掌握互斥与对立事件的概率计算【基础检测】1做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率是；当实验次数越来越大时，事件A发生的频率越来越稳定，越来越接近于事件A发生的概率；概率是反映事件发生的可能性大小，但事件的频率可用来近似估计概率；频率与试验次数无关，概率与实验次数有关以上说法正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】正确，不对【答案】C2若干个人站成一排，其中为互斥事件的是()A“甲站排头”与“乙站排头”B“甲站排头”与“乙不站排尾”C“甲站排头”与“乙站排尾”D“甲不站
2、排头”与“乙不站排尾”【解析】事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生“甲站排头”与“乙站排头”必不可能同时发生，故选A.【答案】A3围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A. B. C. D1【解析】设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则CAB，且事件A与B互斥所以P(C)P(A)P(B)，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.【答案】C4一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为_【解析】因为一枚硬币连掷
3、5次，没有正面向上的概率为，所以至少一次正面向上的概率为1.【答案】【知识要点】1频率和概率(1)在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，则n次试验中事件A出现的次数m为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的_频率_；(2)如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记为P(A)，称为事件A的_概率_，简称为A的概率；(3)频率和概率有本质区别，频率随试验次数的改变而变化，概率却是一个常数；对于给定的事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)2事件的关
4、系与运算定义符号表示与集合类比包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B).BA(或AB)BA相等关系若BA且AB，那么称事件A与事件B相等.ABAB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件).AB(或AB)AB交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件).AB(或AB)AB互斥事件若AB为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥.ABAB对立事件若AB为不可能事件，且AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件.AB且AB(包
5、含试验的全部结果)A是B的补集AUBBUA3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围为：_0，1_(2)必然事件的概率为_1_，不可能事件的概率为_0_(3)互斥事件概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)_P(A)P(B)_；如果事件A1，A2，A3，An彼此互斥，则P(A1A2A3An)_P(A1)P(A2)P(A3)P(An)_；特别地，若事件B与事件A互为对立事件，则P(AB)P(A)P(B)1，得P(A)_1P(B)_典 例 剖 析【p106】考点1随机事件的关系(1)同时投掷两枚硬币一次，那么互斥而不对立的两个事件是()A“至少有1个正面朝上”“都是反面朝上”B“至少有
6、1个正面朝上”“至少有1个反面朝上”C“恰有1个正面朝上”“恰有2个正面朝上” D“至少有1个反面朝上”“都是反面朝上”【解析】同时投掷两枚硬币一次，在A中，“至少有1个正面朝上”和“都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1个正面朝上”不发生时，“都是反面朝上”一定发生，故A是对立事件；在B中，当两枚硬币恰好一枚正面向上，一枚反面向上时，“至少有1个正面朝上”“至少有1个反面朝上”能同时发生，故B不是互斥事件；在C中，“恰有1个正面朝上”“恰有2个正面朝上”不能同时发生，且其一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立的两个事件；在D中，当两枚硬币同时反面向上时
7、，“至少有1个反面朝上”“都是反面朝上”能同时发生，故D不是互斥事件故选C.【答案】C(2)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是()AAB与C是互斥事件，也是对立事件BBC与D是互斥事件，也是对立事件CAC与BD是互斥事件，但不是对立事件DA与BCD是互斥事件，也是对立事件【解析】由于A，B，C，D彼此互斥，且ABCD是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件【答案】D考点2互斥事件与对立事件的概
8、率袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？【解析】法一：从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C，D，则有P(A)，P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，P(BCD)P(B)P(C)P(D)1P(A)1，解得P(B)，P(C)，P(D)，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，.法二：设红球有n个，则，所以n4，即红球有4个又得到黑球或黄球的概率是，所以黑球和黄球共5个又总球数是12，所以绿球有1245
9、3(个)又得到黄球或绿球的概率也是，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有532(个)所以黑球有124323(个)因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，.黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示：血型ABABO该血型的人所占比例/%2829835已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血小明是B型血，若小明因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？【解析】对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A，B，C，D，它们是彼此互斥的
10、由已知，有P(A)0.28，P(B)0.29，P(C)0.08，P(D)0.35.(1)因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件BD.根据互斥事件的概率加法公式，有P(BD)P(B)P(D)0.290.350.64.(2)法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件AC，且P(AC)P(A)P(C)0.280.080.36.法二：因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(AC)1P(BD)10.640.36.【小结】求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事
11、件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)1P()求解当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法考点3随机事件的频率与概率某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【解析】(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购
12、买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大【小结】(1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反
13、映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值(2)随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率【能力提升】某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(
14、2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求这200名续保人本年度平均保费的估计值【解析】(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a0.30a0.25
15、1.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a元方 法 总 结【p107】1事件把它的各种结果当成元素时，事件对应着集合，则各类事件运算对应着集合的运算2一个事件若能分解成n个互斥事件的和，可用和事件的概率加法公式P(AB)P(A)P(B)3对于“至多有一个发生”，“至少有一个发生”等事件的概率问题常常转化为对立事件的概率，用公式P(A)1P()进行计算【失误与防范】1正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件
16、2需准确理解题意，特别留心“至多”“至少”“不少于”等语句的含义走 进 高 考【p107】1(2018北京)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)【解析】(1)由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102 000，第四类电影中获得好评的电影部数是2000.2550.故所求概率为0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是1400.4500.23000.152000.258000.25100.15610455016051372.故所求概率估计为10.814.(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率
