1、第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例 考纲传真(教师用书独具)1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 (对应学生用书第61页) 基础知识填充1平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积ab等
2、于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积2平面向量数量积的运算律(1)交换律：abba；(2)数乘结合律：(a)b(ab)a(b)；(3)分配律：a(bc)abaC3平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b结论几何表示坐标表示模|a|a|数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2夹角cos cos abab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|知识拓展1两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线2平面向量数量积运算的常用公式(1)(a
3、b)(ab)a2b2.(2)(ab)2a22abb2.(3)(ab)2a22abb2.3当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量()(2)由ab0，可得a0或b0.()(3)由abac及a0不能推出bC()(4)在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD为矩形. ()答案(1)(2)(3)(4)2(2016全国卷)已知向量，则ABC()A30B45C60D120A因为，所以.又因为|cosABC11cosABC，所以cosABC.又0
4、ABC180，所以ABC30.故选A3(2015全国卷)向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1B0 C1D2C法一：a(1，1)，b(1,2)，a22，ab3，从而(2ab)a2a2ab431.法二：a(1，1)，b(1,2)，2ab(2，2)(1,2)(1,0)，从而(2ab)a(1,0)(1，1)1，故选C4(教材改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_2由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.5(2017全国卷)已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab与a垂直，则m_.7a(1,2)，b(m,1
5、)，ab(1m,21)(m1,3)又ab与a垂直，(ab)a0，即(m1)(1)320，解得m7.(对应学生用书第62页)平面向量数量积的运算(1)(2016天津高考)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()ABCD(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_. 【导学号：79170135】(1)B(2)11(1)如图所示，.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE2EF，所以，所以.又，则()2222.又|1，BAC60，故11.故选B(2)法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正
6、方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值为1.法二：由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB1，所以|11，当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC1，所以()max|11.规律方法1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义2(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量(2)注意向量夹角的大小，以及夹角0，90，180三种特殊情形变式训练1(1)已
7、知(2,1)，点C(1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为 ()AB3 CD3(2)(2018榆林模拟)已知在矩形ABCD中，AB3，BC，2，点F在边CD上若3，则的值为() 【导学号：79170136】A0B C4D4(1)C(2)C(1)因为点C(1,0)，D(4,5)，所以CD(5,5)，又(2,1)，所以向量在方向上的投影为|cos，.(2)由3得()3，所以|1，|2，所以()()624.平面向量数量积的性质角度1平面向量的模(1)(2017合肥二次质检)已知不共线的两个向量a，b满足|ab|2且a(a2b)，则|b|()AB2 C2D4(2)(2018西安模拟)已知平面向
8、量a，b的夹角为，且|a|，|b|2，在ABC中，2a2b，2a6b，D为BC的中点，则|_.(1)B(2)2(1)由a(a2b)得a(a2b)|a|22ab0.又|ab|2，|ab|2|a|22ab|b|24，则|b|24，|b|2，故选B(2)因为()(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22bab2)4(322cos4)4，所以|2.角度2平面向量的夹角(1)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _.(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_(1)(2)
9、(1)因为a2(3e12e2)2923212cos 49，所以|a|3，因为b2(3e1e2)2923112cos 18，所以|b|2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e9e1e22e991128，所以cos .(2)2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，4k660，k3.又若(2a3b)c，则2k312，即k.当k时，2a3b(12，6)6c，即2a3b与c反向综上，k的取值范围为.角度3平面向量的垂直(2016山东高考)已知向量a(1，1)，b(6，4)若a(tab)，则实数t的值为_5a(1，1)，b(6，4)，tab(t6，t4)又a(tab)，
10、则a(tab)0，即t6t40，解得t5.规律方法1.求两向量的夹角：cos ，要注意0，2两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.3求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：(1)a2aa|a|2或|a|.(2)|ab|.(3)若a(x，y)，则|a|.平面向量与三角函数的综合(2018佛山模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值 【导学号：79170137】解(1)因为m，n(sin x，cos x)，mn.所以mn0，即sin xcos x0，所以s
11、in xcos x，所以tan x1.(2)因为|m|n|1，所以mncos，即sin xcos x，所以sin，因为0x，所以x，所以x，即x.规律方法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等变式训练2(2018郴州模拟)已知向量a，b(cos x，1)(1)当ab时，求tan 2x的值；(2)求函数f(x)(ab)b在上的值域解(1)ab，a，b(cos x，1)sin x(1)cos x0，即sin xcos x0，得sin xcos x，tan x，tan 2x.(2)a，b(cos x，1)，absin xcos x，b2cos2x(1)2cos2x1，f(x)(ab)babb2sin xcos xcos2x1sin 2x(1cos 2x)sin.x，2x，sin，f(x)sin.故函数f(x)(ab)b在上的值域为.
