1、高考资源网（ ），您身边的高考专家辽宁省六校协作体2020届高三上学期期中考试数学文科试题一、选择题（本大题共12小题）1. 已知集合P=x|-4x2，Q=x|x2-x-60，则PQ=（）A. B. C. D. 2. 已知z=（m+3）+（m-1）i（mR）在复平面内对应的点为P，则P点不可能在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知s，则=（）A. B. C. 3D. 24. 已知f（x），g（x）分别是定义在上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A. B. C. 1D. 35. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分
2、别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则角A的值为（）A. B. C. D. 6. ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 7. 关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面、，下列命题正确的是（）A. ,且,则B. ,且,则C. ,且,则D. ,且,则8. 等差数列,的第四项等于A. 3B. 4C. D. 9. 已知三棱锥A-BCD中，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（）A. B. C. D. 10. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度是60m，则河流
3、的宽度BC等于( ) A. B. C. D. 11. 关于函数f（x）=cos|x|+|cosx|有下述四个结论：f（x）是偶函数f（x）在区间（0，1）单调递减f（x）在-，有2个零点f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A. B. C. D. 12. 已知函数f(x)ex-ax有两个零点x1，x2，x1x2，则下面说法正确的是（ ）A. B. C. D. 有极小值点,且二、填空题（本大题共4小题）13. 函数y=10lgx的值域是_14. 若向量，则与夹角的余弦值等于_15. 下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是_16. 如图，已知ABC中，点D在边BC上，AD为BA
4、C的平分线，且则的值为_，ABC的面积为_三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知函数f（x）=2cos2x-cos（2x+）-1（）求函数f（x）的最小正周期和对称轴方程；（）讨论函数f（x）在上的单调性18. 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE （1）证明：DE平面PBC（2）试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（3）记阳马P-ABCD的体积
5、为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值19. 辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校文科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：100，110），110，120），120，130），130，140），140，150（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表；中位数精确到0.01）（2）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如表所示：分组区间100，110）110，
6、120）120，130）130，140）x：y1：31：13：410：1从数学成绩在130，150的学生中随机选取2人，求选出的2人中恰好有1人数学成绩在140，150的概率20. 已知数列an、bn满足a1=2，b1=1，且（1）令cn=an+bn，dn=an-bn，证明：cn是等差数列，dn是等比数列；（2）求数列an和bn的通项公式；（3）求数列an和bn的前n项和公式21. 已知函数（e=2.71828是自然对数的底数，=1.64872）（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y=ex在点处的切线也是曲线y=lnx的切线22
7、. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的普通方程是，曲线C1的参数方程是（为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是=2bsin（1）写出l及C1的极坐标方程；（2）已知，b=1，l与C1交于O，M两点，l与C2交于O，N两点，求2|OM|2+|OM|ON|的最大值23. 设a0，b0，c0，ab+bc+ca=1（1）求证：（2）求证：答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合P=x|-4x2，Q=x|x2-x-60=x|-2x3，PQ=x|-4x3故选：A由集合P，Q，能求出PQ本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案
8、】B【解析】解：由z=（m+3）+（m-1）i（mR），得P（m+3，m-1），由，得m1；由，得m；由，得m-3；由，得-3m1由上可知，P点不可能在第二象限故选：B由z求得z的坐标，分别由实部、虚部大于或小于0联立不等式组求解m值，则答案可求本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题3.【答案】C【解析】解：由sin2=2sincos，可得，即tan2-3tan+1=0可得故选：C由二倍角化简，sin2=2sincos，可得，弦化切，即可求解本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基本知识的考查4.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，属于
9、基础题.将原代数式中的x替换成-x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可【解答】解：由f（x）-g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成-x，得f（-x）-g（-x）=-x3+x2+1，根据f（x）=f（-x），g（-x）=-g（x）,得f（x）+g（x）=-x3+x2+1，令x=1，计算得f（1）+g（1）=1故选：C5.【答案】C【解析】解：在ABC中，bcosC+ccosB=asinA，sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，sinA0，sinA=1，由于A为三角形内角，可得A=故选：C根据正弦定理把已知等式中的边转
10、化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，即可得出结论本题主要考查了正弦定理的应用解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查6.【答案】D【解析】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，满足=2，=2+，又，的方向应该为的方向所以，所以=2，=12cos120=-1，4=412cos120=-4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选：D由题意，知道，根据已知三角形为等边三角形解之本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系7.【答案】C【解析】解：若m，n且，则m与n可能平行与可能异面，故A错误；若m，n且，则m
11、n，故B错误；当n且时，存在直线l，使ln，又由m，故ml，则mn，故C正确；若n且，则n或n，若m，则m与n可能平行，也可能垂直，也可能相交，故D错误；故选：C根据空间中面面平行及线面平行的性质，我们易判断A的对错，根据线线垂直的判定方法，我们易判断出B的真假；根据空间中直线与直线垂直的判断方法，我们可得到C的正误；根据线面平行及线面平行的性质，我们易得到D的对错，进而得到结论本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，熟练掌握空间中线与面之间位置关系的定义及判定方法是解答本题的关键8.【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列的第4项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，是基础题由等
12、差数列的性质得log3（2x）+log3（4x+2）=2log3（3x），求出x=4，等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，由此能求出第四项【解答】解：等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），log3（2x）+log3（4x+2）=2log3（3x），x（x-4）=0，又2x0，x=4，等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，d=log312-log38=，第四项为=log327=3故选A9.【答案】C【解析】解：三棱锥A-BCD中，该三棱锥是由长方体的面对角线构成（如图）、设长方体的棱长分别为a，b，c，则a2+b2=5
13、，b2+c2=4，a2+c2=3，则该三棱锥的四个顶点所在球面的半径R=故选：C三棱锥A-BCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可本题考查球的表面积球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，是基础题，解答的关键是构造球的内接长方体，利用体对角线的长为球的直径解决问题10.【答案】B【解析】【分析】本题考查实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题由题意画出图形，由两角差的正切求出15的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案【解答】解：如图，
14、DAB=15，tan15=tan（45-30）=2-在RtADB中，又AD=60，DB=ADtan15=60（2-）=120-60在RtADC中，DAC=60，AD=60，DC=ADtan60=60BC=DC-DB=60-（120-60）=120（-1）河流的宽度BC等于120（-1）m故选B11.【答案】A【解析】解：关于函数f（x）=cos|x|+|cosx|有下述四个结论：f（x+）=f（x），可得T=f（-x）=f（x），f（x）是偶函数，正确；f（x）在区间（0，1）上，f（x）=2cosx，f（x）在区间（0，1）上单调递减，正确；考察在x0，上，当x上时，f（x）=2cosx，有
15、一个零点；当x上时，f（x）=cosx-cosx=0，有无数个零点因此f（x）在-，有无数个零点，因此不正确由可得：f（x）的最大值为2，正确其中所有正确结论的编号是故选：A由可得：f（x）是偶函数，且周期T=只要考察在x0，上，当x上时，f（x）=2cosx；当x上时，f（x）=0，即可得出结论本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性，属于中档题目对于A：根据对数的运算性质判断即
16、可，对于B：利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出ae；对于C：f（0）=10，0x11，x1x21不一定，对于D：f（x）在（-，lna）单调递减，在（lna，+）单调递增即可得出结论【解答】解：x1+x2=ln（a2x1x2）=2lna+ln（x1x2）2+ln（x1x2），取a=，f（2）=e2-2a=0，x2=2，f（0）=10，0x11，x1+x22，A不正确；f（x）=ex-ax，f（x）=ex-a，令f（x）=ex-a0，当a0时，f（x）=ex-a0在xR上恒成立，f（x）在R上单调递增，f（x）只有一个零点，不符合题意当a0时，f（x）=ex-a0，ex-a0，解
17、得xlna，f（x）在（-，lna）单调递减，在（lna，+）单调递增函数f（x）=ex-ax有两个零点x1x2，f（lna）0，a0，elna-alna0，ae，B不正确；f（0）=10，0x11，x1x21不一定，C不正确；f（x）在（-，lna）单调递减，在（lna，+）单调递增，有极小值点x0=lna，且x1+x22x0=2lna，D正确故选：D13.【答案】（0，+）【解析】解，依题意，函数y=10lgx的定义域为x|x0，所以y=10lgx=x，值域为（0，+），故答案为：（0，+）先求出函数的定义域，在根据对数运算即可得到函数的值域本题考查了函数的值域，对数运算，考查了计算能力，
18、做题时注意定义域优先的原则本题属于基础题14.【答案】【解析】【分析】根据向量的坐标即可求出，从而可以求出，这样即可求出与夹角的余弦值考查向量加法、数乘和数量积的坐标运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式【解答】解：，；，；=故答案为：15.【答案】8【解析】解：根据三视图，由几何体的定义知：该几何体是底面半径为2，母线长为3的圆柱，从中挖掉一个同底等高的圆锥，圆柱的体积为322=12，圆锥的体积为故此空间几何体的体积为12-4=8故答案为8由三视图及题设条件知，此几何体为一个圆柱从中挖掉一个同底等高的圆锥，它们的高与半径已知，故可用圆柱的体积减去圆锥的体积来求此几何体的
19、体积本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是一个组合体的体积，由于其开关的特殊性，本题采取了割补的方法求体积，补充了一个圆锥使几何体成了一个圆柱，然后用圆柱的体积减去圆锥的体积来求此几何体的体积三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能16.【答案】;1【解析】解：在ABD中，由正弦定理可得：=，在ACD中，由正弦定理可得：=，
20、sinBAD=sinCAD，sinADB=sinADC，=设BAD=，则SABD=1sin=，SACD=2sin=，SABC=12sin2=2sincos，+=2sincos，解得cos=，可得=，SABC=ABACsinBAC=sin2=1故答案为：;1由已知利用正弦定理得出结论=，根据三角形的面积公式求出BAD，即可得出三角形的面积本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题17.【答案】（本题满分为14分）解：（）f（x）=2cos2x-cos（2x+）-1=cos2x-cos2x+sin2x=sin（2x+）3分=2，函数f（x）的最
21、小正周期T=，5分令2x+=k+，kZ，解得：x=+，kZ，对称轴方程为：x=+，kZ7分（）令2k-2x+2k+，kZ，解得：-+kx+k，kZ，设A=，B=x|-+kx+k，kZ，可得：AB=-，9分当x时，f（x）在区间-，上单调递增；在区间，上单调递减14分【解析】（）利用三角函数恒等变换的应用可得f（x）=sin（2x+）利用周期公式可求f（x）的最小正周期令2x+=k+，kZ，解得对称轴方程（）结合x的范围利用正弦函数的图象和性质即可得解本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题18.【答案】证明：（1）因为PD
22、底面ABCD，所以PDBC由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCD=D，所以BC平面PCDDE平面PCD，所以BCDE又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DEPC而PCBC=C，所以DE平面PBC解：（2）由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD，BCE，DEC，DEB（3）由已知，PD是阳马P-ABCD的高，所以=；由（1）知，DE是鳖臑D-BCE的高，BCCE，所以在RtPDC中，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE=，于是=4【解析】（1）推导出PDBC，BCCD，从而BC平面
23、PCD，进而BCDE，再由DEPC，能证明DE平面PBC（2）由BC平面PCD，DE平面PBC，能得到四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD，BCE，DEC，DEB（3）由PD是阳马P-ABCD的高，得到=；由DE是鳖臑D-BCE的高，得到由此能求出的值本题考查线面垂直的证明，考查四面体EBCD是否为鳖臑的判断，考查两个几何体的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19.【答案】解：（1）0.05+0.4+0.3=0.750.5，0.75-0.5=0.25，这100名学生语文成绩的中位数是，这100名学生语文成绩的平均数是：1050.05+1150.4+1
24、250.3+1350.2+1450.05=123（2）数学成绩在100，140）之内的人数为，数学成绩在140，150的人数为100-97=3人，设为a1，a2，a3，而数学成绩在130，140）的人数为人，设为b1，b2，从数学成绩在130，150的学生中随机选取2人基本事件为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），共10个，选出的2人中恰好有1人数学成绩在140，150的基本事件为：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，
25、b2），共6个，选出的2人中恰好有1人数学成绩在140，150的概率是【解析】（1）由中位数两侧的面积相等即可求得中位数，由同一组数据用该区间的中点值乘以对应的概率即可求得平均值；（2）根据对应的比例关系可求得数学成绩在130，140）的人数，进而可求得选出的2人中恰好有1人数学成绩在140，150的概率本题主要考查频率分布直方图中的中位数平均数的求法，古典概型，属于中档题20.【答案】（1）证明：由题设得4（an+bn）=4（an-1+bn-1）+8，即an+bn=an-1+bn-1+2，因此cn-cn-1=2（n2），又c1=a1+b1=3，所以数列cn是首项为3，公差为2的等差数列又由题
26、设得4（an-bn）=2（an-1-bn-1），即2（an-bn）=an-1-bn-1，因此，又d1=a1-b1=1，所以数列dn是首项为1，公比为的等比数列（2）由（1）知即，解得，（3）由于，所以，整理得，同理，所以整理得【解析】（1）直接利用定义求出数列为等差和等比数列（2）利用（1）的结论，求出数列的通项公式（3）利用分组法求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型21.【答案】解：（1）f（x）的定义域为x|x1所以f（x）在（-，1），（1，+）上单调递增又，所以f（x）在区间（1，+
27、）有唯一零点x1，即，又，所以f（x）在区间（-，1）有唯一零点-x1综上所述，f（x）有且仅有两个零点（2）因为，所以点在曲线y=lnx上由题设所以直线AB的斜率因为曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线y=lnx在点处切线的斜率也是，所以曲线y=ex在点处的切线也是曲线y=lnx的切线【解析】（1）.得出f（x）在（-，1），（1，+）上单调递增又，所以f（x）在区间（1，+）有唯一零点x1，即又，所以f（x）在区间（-，1）有唯一零点-x1，进而得出结论（2）曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线y=lnx在点处切线的斜率也是，进而得出结论本题是导数的综合应用，利用导数求单调性进而得零点，及
28、导数的几何意义，属于难题22.【答案】解：（1）将x=cos，y=sin代入y=xtan得tan=tan，l极坐标方程是C1的普通方程是x2+y2-2ax=0，其极坐标方程是=2acos；（2）C1：=cos，C2：=2sin，将=分别代入C1，C2得|OM|=-cos，|ON|=2sin2|OM|2+|OM|ON|=2cos2-2cossin=，当时，2|OM|2+|OM|ON|取最大值【解析】（1）将x=cos，y=sin代入y=xtan可得l的极坐标方程，对曲线C1的参数方程消去可得其普通方程，然后再转化为极坐标方程即可；（2）将=分别代入C1，C2得|OM|=-cos，|ON|=2si
29、n，然后根据2|OM|2+|OM|ON|=2cos2-2cossin求出其最大值本题考查了直角坐标方程与参数方程转化为极坐标方程和三角函数的图象与性质，考查了转化思想和计算能力，属中档题23.【答案】证明：（1），同理，；（2）由（1）得a2+b2+c2ab+bc+caab+bc+ca=1，a2+b2+c21（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+2（a+b+c）23，即【解析】（1）根据，同理可得，三式相加可得（2）根据ab+bc+ca=1，结合a2+b2+c2ab+bc+ca，可进一步证明本题考查了基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
