1、九、排列、组合、二项式、概率：一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步
2、计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出个元素的问题；区别：前者有顺序，后者无顺序。（2）排列数、组合数：排列数的公式：注意：全排列：；记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；排列数的性质：（将从个不同的元素中取出个元素，分两步完成：第一步从个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下个元素中选出个排在余下的个位置上）（将从个不同的元素中取出个元素，分两类完成：第一类：个元素中含有，分两步完成：第一步将排在某一位置上，有不同的方法。第二步从余下
3、个元素中选出个排在余下的个位置上）即有种不同的方法。第二类：个元素中不含有，从个元素中取出个元素排在个位置上，有种方法。组合数的公式：组合数的性质：（从个不同的元素中取出个元素后，剩下个元素，也就是说，从个不同的元素中取出个元素的每一个组合，都对应于从个不同的元素中取出个元素的唯一的一个组合。）（分两类完成：第一类：含，有种方法；第二类：不含，有种方法；）（第一步：先选出1个元素，第二步：再从余下个元素中选出个，但有重复，如先选出，再选出组成一个组合，与先选出，再选出组成一个组合是相同的，且重复了次）（分类：第一类：含，为；第二类：不含，含，为；第三类：不含，不含，含，为；）（将元素分成分成两
4、个部分，第一部分含个元素，第二部分含个元素：在第一部分中取个元素，在第二部分不取元素，有；在第一部分中取个元素，在第二部分取1个元素，有；）（3）排列、组合的应用：解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步切记：排组分清(有序排列、无序组合)，分类分步明确排列组合应用问题主要有三类：不带限制条件的排列或组合题；带限制条件的排列或组合题；排列组合综合题；解排列组合的应用题，通常有以下途径：以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素特殊元素法以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置特殊位置法先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减不合要
5、求的排列数或组合数间接法（4）对解组合问题，应注意以下三点：对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”。命题设计“分组方案”是解组合题的关键所在。（3）解排列、组合题的基本策略与方法：去杂法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。这是解排列组合问题的基本策略之。注意的是：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常
6、常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。插入法（插空法）：某些元素不能相邻采用插入法。即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。“捆绑”法：要求某些元素相邻，把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列，即是“捆绑法”。穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。消序处理：对均匀分组问题在解决时，一定要区分开是“有序分组”还是“无序分组”，若是“无序分组”，一定要清除同均匀分组无形中产生的有序因素。三、二项式定
7、理：（1）通项：（2）二项式系数的性质：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即：二项展开式中，中间的一项或两项的二项式系数相等并且最大，即当为偶数时，第项的二项式系数最大，为；当为奇数时，第项及项的二项式系数最大，为；二项展开式中所有项的二项式系数之和等于，即；二项展开式中，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，即；（3）、展开式中的系数求法（的整数且）如：展开式中含的系数为（4）二项式定理的应用：求展开式中的指定的项或特定项： 如：若，展开式中含有常数项，则的最小值是 ；求的展开式中的常数项。注意：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式
8、定理解决。求展开式中的某一项的系数：如：在的展开式中，的系数是 ；求展开式中的系数和：如：的所有各项的系数和是（赋值法：令）；（令）求二项式展开式的系数最大项的问题：求展开式中系数最大的项，通常设展开式各项系数分别为；设第项系数最大，则；然后求出不等式组的整数解。如：求展开式中系数最大的项。利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：如：求证：能被64整除（）证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。；（）如：求证：进行近似计算：求数的次幂的近似值时
9、，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数)的形式。当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：；如：求的近似值，使结果精确到0.01；四、概率：（1）随机事件的概率：必然事件：在一定条件下必然要发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；事件的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它的附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率；记作；范围：；特例：必然事件，不可能事件；（2）等可能事件的概率： 基本条件：一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的
10、结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是，如果某个事件包含的结果有个，那么事件的概率；从集合角度看概率：在一次试验中，等可能出现的个结果组成一个集合，这个结果就是集合的个元素；各基本事件均对应于集合的含有1个元素的子集，包含个结果的事件对应于的含有个元素的子集；因此，从集合的角度看，事件的概率是子集的元素个数（记作与集合的元素个数的比值，即；（3）互斥事件有一个发生的概率： 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。互斥事件的概率：如果事件互斥，那么事件发生的概率，等于事件分别发生的概率的和，即：；如果事件彼此互斥，那么事件发生的概率等于这 个事件分别发生的
11、概率的和，即对立事件：如果表示事件发生，表示事件不发生，那么事件与中必有一个发生，这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件；对立事件的概率：对立事件概率的和等于1，即：；（4）相互独立事件同时发生的概率： 相互独立事件：事件 (或)是否发生对事件(或)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件；注意：如果事件互相独立，那么与，与，与都是互相独立事件。相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即；（5）独立重复试验：独立重复试验：若次重复试验中，每次试验结果的概率都
12、不依赖于其它各次试验的结果，则称这次试验是独立的。独立重复试验的概率：如果在一次试验中，某事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，这个事件恰好发生次的概率：；五、统计：（1）抽样方法： 简单随机抽样：一般地，设一个总体的个体数为，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。注意：如果用简单随机抽样从个体数为的总体中抽取一个容量为的样本，那么每个个体被抽到的概率都等于；、抽签法：先将总体中的所有个体（共有个）编号（号码可以从1到），并把号码写在形状、大小相同的号签上，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌；抽签时，每次从中抽
13、出1个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本。注意：抽签法简便易行，当总体的个体数不多时，适宜采用这种方法。、随机数表法：先将件产品编号，可以编为00，0l，02，然后在附表l随机数表中任选一个数作为开始。得到一系列的两位数字号码，若大于或前面已有此号码将它去掉，这样可以得到一个容量为的样本。系统抽样的概念：可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样。系统抽样的步骤：、采用随机的方式将总体中的个体编号；、将整个的编号分段(即分成几个部分)，要确定分段的间隔；当（N为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，；当不是整数时，
14、运用简单的随机抽样，从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体个数N能被n整除，这时；、在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号；、按照事先确定的规则抽取样本（通常是将加上间隔，得到第2个编号，再将加上，得到第3个编号，这样继续下去，直到获取整个样本）。分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样；其中所分成的各部分叫做层。类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率相等从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组（2）能作出频率分布的直方图，注意：直方图中每一个小矩形表示样本落在这个范围的频率。理解：频数、频率、累积频率、概率的概念。（3）期望与方差：期望（平均数）：；方差：注意：的期望为，方差为，则（1）的期望为，方差为；（2）的期望为，方差为；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
