1、第2讲随机变量及其分布列一、选择题1(2014新课标全国卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8B.0.75 C0.6D.0.45解析已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P0.8.答案A2体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为p(p0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)1.75，
2、则p的取值范围是()A. B. C. D.解析X的可能取值为1,2,3，P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2，E(X)p2p(1p)3(1p)2p23p3，由E(X)1.75，即p23p31.75，得p(舍)0p.答案C3(2014杭州模拟)在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头赢剪刀”“剪刀赢布”“布赢石头”现有甲、乙两人玩这个游戏，共玩3局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势设甲赢乙的局数为，则随机变量的数学期望是()A.B. C.D.1解析的可能取值0,1,2,3.考查每一局的情况，易知在每一局中甲赢的概率为.P(0)；P(1)3；P(2)3；P(3).因此可求
3、得期望E()1.答案D4(2014成都诊断)某人射击一次击中的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为()A.B. C.D.解析该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是P1C2，三次全部击中目标的概率是P2C3.所以此人至少有两次击中目标的概率是PP1P2C2C3.答案C二、填空题5(2014绍兴质量调测)有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分；若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分小张摸一次得分的期望是_分解析小张得100分的概率为，得50分的概率为，小张得分的数学期望为E(X)(分)答案6(2014广安诊断)有三位同
4、学过节日互赠礼物，每人准备一件礼物，先将礼物集中在一个袋子中，每人从中随机抽取一件礼物，设恰好抽到自己准备的礼物的人数为，则的数学期望E()_.解析的可能取值为0,1,3，P(0)；P(1)；P(3)；E()0131.答案17(2014金丽衢十二校联考)有甲、乙、丙三位同学，投篮命中的概率如下表：同学甲乙丙概率0.5aa现请三位同学各投篮一次，设表示命中的次数，若E()，则a_.解析可取值0,1,2,3.P(0)0.5(1a)(1a)0.5(1a)2；P(1)0.5(1a)(1a)20.5a(1a)0.5(1a2)；P(2)0.5a220.5a(1a)0.5a(2a)；P(3)0.5aa0.5
5、a2.E()P(0)0P(1)1P(2)2P(3)3.即0.5(1a2)a(2a)1.5a2，解得a.答案8袋中有大小、质地相同的5个球，2白3黑，现从中摸球，规定：每次从袋中随机摸取一球，若摸到的是白球，则将此球放回袋中，并再放同样的一个白球入袋；若摸到的是黑球，则将球放回袋中，并再放同样的一个黑球入袋，连续摸两次球且按规定操作后袋中白球的个数记为X，则X的数学期望为_解析首先，连续摸两次球且按规定操作后袋中白球的个数可能为2,3,4.P(X2)P(两次都摸到黑球)；P(X4)P(两次都摸到白球)；P(X3)1P(X2)P(X3).X的分布列为X234PE(X)234.答案三、解答题9(20
6、14天津卷)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望解(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A).所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3)所以，随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期
7、望E(X)0123.10(2014益阳模拟)甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级若海选合格记1分，海选不合格记0分假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为，他们海选合格与不合格是相互独立的(1)求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；(2)记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望E()解(1)记“甲海选合格”为事件A，“乙海选合格”为事件B，“丙海选合格”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件E，则P(E)1P( )1.(2)的所有可能取值为0,1,2,3.P(0)
8、P( )；P(1)P(A )P( B )P( C)；P(2)P(A C)P(A B )P(BC)；P(3)P(ABC).所以的分布列为0123PE()0123.11(2014潍坊模拟)某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项做答，且各题做答互不影响(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望解(1)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，则P(A)，P(B).该考生选择题得50分的概率为：P(A)P(A)P(B)P(B)22.(2)考生所得分数X30,35,40,45,50.P(X30)22；P(X35)C222C；P(X40)22C2C22；P(X45)C222C；P(X50)22.所以，该考生所得分数X的分布列为X3035404550PE(X)3035404550.
