1、四川省峨眉第二中学2020-2021学年高二数学下学期4月月考试题 理本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷.草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共50分）注意事项：1选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上. 2第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题只有一项是符合题目要求的. 1.()A.i B.i C.i D.i2函数yf(x)的
2、导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)在区 间(a，b)内的极大值点的个数为( )A1 B2C3 D43函数f(x)(x3)ex的单调递减区间是( )A(,2) B(0,3) C(1,4) D(2,)4已知函数f(x)logax(a0且a1),若f(1)1,则a( )Ae B. C. D.5. 已知a为实数，若复数z(a21)(a1)i为纯虚数，则( )A1 B0 C1i D1i 6f(x)x(2 020ln x)，若f(x0)2 021，则x0等于( )A1 Bln 2 Ce De27函数f(x)xex，x0,4的最大值为( )A0 B. C. D.8已知函数f(x)xln x，则
3、f(x)( )A在(0，)上单调递增 B在(0，)上单调递减C在上单调递减 D在上单调递增9.一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )A242 B244 C204D20210.正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值()A. B. C. D.11已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 021(x)( )Asin xcos x Bsin xcos x Csin xcos x Dsin xcos x12.已知函数f(x1)是偶函
4、数，当x(1，)时，函数f(x)sin xx，设af，bf(3)，cf(0)，则a，b，c的大小关系为( )Aabc Bcab Cbca Dbac第二部分（非选择题 90分）注意事项：1考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2本部分共11小题，共100分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13已知函数f(x) x2x,则f(x)_ 14.设z，则|z|_ 15.若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是_16.已知
5、曲线f(x)x3ax在x0处的切线与曲线g(x)ln x相切，则a的值为_三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17（本题10分） (1)已知曲线yx3.求曲线在点P(1,2)处的切线方程；(2)若函数f(x)x3x2ax4恰在1,4上单调递减，则实数a的值为?18（本题12分）已知函数f(x)ln x,定义域(0,)其中aR,且曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值19（本题12分）已知函数f(x)xb(x0),其中a,bR.(1)若曲线yf(x)在点P(1,f(1)处的切线方程为y
6、3x1,求函数f(x)的解析式；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)若对于任意的a,不等式f(x)10在上恒成立,求b的取值范围20.（本题12分）峨眉山市某商场销售脆红李的经验表明，该脆红李每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出脆红李11千克(1)求a的值；(2)若脆红李的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售脆红李所获得的利润最大21.（本题12分）如图所示，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，DABDCB，E为线段BD上的一点，且EBEDECBC，连接CE并延长
7、交AD于F.(1)若G为PD的中点，求证：平面PAD平面CGF；(2)若BC2，PA3，求二面角BCPD的余弦值22.（本题12分）已知函数f(x)ln xx2axa (aR)(1)若函数f(x)在(0，)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在xx1和xx2处取得极值，且x2 x1(e为自然对数的底数)，求f(x2)f(x1)的最大值2022届高二下期4月月考数学试卷理科答案二、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.(B)A.i B.i C.i D.i2函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)在区间(a，b)内的极大值点的个数为(A
8、)A1 B2C3D43.设x，yR，若(xy)(y1)i(2x3y)(2y1)i，则复数zxyi在复平面上对应的点位于(D)A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4已知函数f(x)logax(a0且a1),若f(1)1,则a(C)Ae B. C. D.5. 已知a为实数，若复数z(a21)(a1)i为纯虚数，则(D)A1 B0 C1i D1i6f(x)x(2 020ln x)，若f(x0)2 021，则x0等于(A)A1 Bln 2 Ce De27函数f(x)xex，x0,4的最大值为(D)A0 B. C. D.8已知函数f(x)xln x，则f(x)(C)A在(0，)上单调递增 B在
9、(0，)上单调递减 C在上单调递减 D在上单调递增9.一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为(A)A242 B244 C204D202解析：如图所示，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIEDCMH，则该几何体的表面积S(22)52212242.10.正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值()A. B. C. D.解析：如图，连接BE，因为ABCD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE1，BC2，由勾股定理得BE.又由AB平面BC
10、C1B1可得ABBE，所以tanEAB.故选C.11已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 021(x)(C)Asin xcos x Bsin xcos x Csin xcos x Dsin xcos x解析：f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)的解析式以4为周期重复出现，2 02145051，f2 021(
11、x)f1(x)sin x+cos x.12.已知函数f(x1)是偶函数，当x(1，)时，函数f(x)sin xx，设af，bf(3)，cf(0)，则a，b，c的大小关系为(D)Aabc Bcab Cbca Dbac解析：函数f(x1)是偶函数，函数f(x)的图象关于直线x1对称，aff，bf(3)，cf(0)f(2)又当x(1，)时，函数f(x)sin xx，当x(1，)时，f(x)cos x10，即f(x)sin xx在(1，)上为减函数，bac.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13已知函数f(x) x2x,则f(x)_解析：f(x)2x1.14.设z
12、，则|z|_解析：zi，|z|1.15.若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是_解析：函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，等价于f(x)1cos 2xacos xcos2xacos x0在(，)恒成立设cos xt，则g(t)t2at0在1,1恒成立，所以解得a.16.已知曲线f(x)x3ax在x0处的切线与曲线g(x)ln x相切，则a的值为_解析：由f(x)x3ax，得f(x)3x2a.f(0)a，f(0)，曲线yf(x)在x0处的切线方程为yax.设直线yax与曲线g(x)ln x相切于点(x0，ln x0)，g(x)，将代入得ln
13、 x0，x0e，ae三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17（本题10分） (1)已知曲线yx3.求曲线在点P(1,2)处的切线方程；(2)若函数f(x)x3x2ax4恰在1,4上单调递减，则实数a的值为?解(1)P(1,2)在曲线yx3上，且yx2，.2分在点P(1,2)处的切线的斜率为y|x11.4分曲线在点P(2,4)处的切线方程为y21(x1)，即xy+10.5分(2)f(x)x23xa，.7分且f(x)恰在1，4上单调递减，f(x)x23xa0，.8分因此1，4是方程f(x)0的两根，则a(1)44.10分18（本题12分）已知函数f(x)l
14、n x,定义域(0,)其中aR,且曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解：(1)对f(x)求导,得f(x)(x0),.2分由f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线yx,f(1)2.4分知f(1)a2,解得a.6分(2)由(1)知f(x)ln x,则f(x),.8分令f(x)0,解得x1（舍去）或x5.9分当x(0,5)时,f(x)0,故f(x)在(5,)为增函数.11分由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5,无极大值.12分19（本题12分）已知函数f(x)xb(x0),其中a,bR.(1)若曲线yf(
15、x)在点P(1,f(1)处的切线方程为y3x1,求函数f(x)的解析式；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)若对于任意的a,不等式f(x)10在上恒成立,求b的取值范围解：(1)f(x)1(x0),由已知及导数的几何意义得f(1)3,则a2.2分由切点P(1,f(1)在直线y3x1上可得1b4,解得b5,.3分所以函数f(x)的解析式为f(x)x5.4分(2)由(1)知f(x)1(x0)当a0时,显然f(x)0,这时f(x)在(,0),(0,)上是增函数.5分当a0时,令f(x)0,解得x,.6分当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表：x(,)(,0)(0,)(,)f(x)00f(x
16、)极大值极小值所以当a0时,f(x)在(,),(,)上是增函数,在(,0),(0,)上是减函数.8分(3)由(2)知,对于任意的a,不等式f(x)10在上恒成立等价于.10分即对于任意的a成立,从而得b,所以满足条件的b的取值范围是.12分20.（本题12分）峨眉山市某商场销售脆红李的经验表明，该脆红李每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出脆红李11千克(1)求a的值；(2)若脆红李的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售脆红李所获得的利润最大解(1)因为x5时，y11，
17、所以1011，a2.2分(2)由(1)知，该商品每日的销售量y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2, 3x6.4分从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).6分于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减（若没有例表，求出单调递增或单调递减范围各给2分），表中有一处错扣一分.10分由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4
18、元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分21.（本题12分）如图所示，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，DABDCB，E为线段BD上的一点，且EBEDECBC，连接CE并延长交AD于F.(1)若G为PD的中点，求证：平面PAD平面CGF；(2)若BC2，PA3，求二面角BCPD的余弦值解：(1)证明：在BCD中，EBEDECBC，故BCD90，CBEBEC60.DABDCB，BADBCD90，ABECBE60，FEDBECABE60.ABEF，EFDBAD90，EFAD，AFFD.又PGGD，GFPA.2分又PA平面ABCD，GF平面ABCD，AD平面ABCD，GFAD.又G
19、FEFF，(没有就扣1分)AD平面CGF.又AD平面PAD，平面PAD平面CGF.6分(2)以A为坐标原点，射线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(3，,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，故(1,，0),(3,，3),(3，,0)设平面BCP的一个法向量为n1(1，y1，z1)，则即解得即n1.8分设平面DCP的一个法向量为n2(1，y2，z2)，则即解得即n2(1，2).10分所以cosn1，n2，由图知二面角BCPD为钝角，所以二面角BCPD的余弦值为.12分（符号错就扣1分）22.（本题12分）已知
20、函数f(x)ln xx2axa(aR)(1)若函数f(x)在(0，)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在xx1和xx2处取得极值，且x2 x1(e为自然对数的底数)，求f(x2)f(x1)的最大值解(1)f(x)xa(x0)，.2分又f(x)在(0，)上单调递增，恒有f(x)0，即xa0恒成立，amin，.4分而x2 2，当且仅当x1时取“”，a2 （没有“三相等，扣1分”）即函数f(x)在(0，)上为单调递增函数时，a的取值范围是(，2.6分(2)f(x)在xx1和xx2处取得极值，且f(x)xa(x0)，.8分x1，x2是方程x2ax10的两个实根，由根与系数的关系得x1x2a，x1x21，.9分f(x2)f(x1)ln(xx)a(x2x1)ln(xx)ln(xx)ln，.10分设t(t )，令h(t)ln t(t )，则h(t)0，h(t)在，)上是减函数，.12分h(t)h()，故f(x2)f(x1) 的最大值为.
