1、江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题）1. 设集合A=x|x2+2x-3=0，B=-3，-1，1，3，则AB=（）A. B. C. D. 2. =（）A. B. C. iD. 2i3. “0x1”是“log2（x+1）1”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件4. 已知tan=，且（，），则cos（-）=（）A. B. C. D. 5. 已知非零向量，满足|+|=|，且（-）=0，则，的夹角为（）A. B. C. D. 6. 将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y=
2、g（x）的图象，则=（）A. B. C. D. 7. 已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列，若，b1+b6+b11=7，则的值是（）A. 1B. C. D. 8. 在九章算术方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，制之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x=2，类比上述结论可得log22+log2（2+log2（2+）的正值为（）A. 1B. C. 2D. 49. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为
3、（）A. B. C. D. 10. 函数的大致图象是( )A. B. C. D. 11. ABC中，A（-5，0），B（5，0），点C在双曲线上，则=（）A. B. C. D. 12. 已知函数f（x）=ex-ax有两个零点x1，x2，则下列判断：ae；x1+x22；x1x21；有极小值点x0，且x1+x22x0则正确判断的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量=（x，x-2），=（3，4），若，则向量的模为_14. 已知，均为锐角且tan=7，则+=_15. 设D为ABC所在平面内一点，=-+，若=（R），则=_16. 已
4、知函数，g（x）=mx+1，若f（x）与g（x）的图象上存在关于直线y=1对称的点，则实数m的取值范围是_三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若S2=4，S5=25（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=，求数列bn的前n项和Tn18. 在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（1）求B的值；（2）若a=4，求ABC的面积19. 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SB=SD（1）证明：BDSA；（2）若面SBD面ABCD，SBSD，BAD=60，AB=1，求B到平面SAD的距离20. 已知函数f（x）=ax-sinx
5、-1，x0，（1）若，求f（x）的最大值；（2）当时，求证：f（x）+cosx021. 已知抛物线C1的方程为x2=2y，其焦点为F，AB为过焦点F的抛物线C1的弦，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P（1）求的值；（2）如果圆C2的方程为x2+y2=8，且点P在圆C2内部，设直线AB与C2相交于C，D两点，求|AB|CD|的最小值22. 在极坐标系中，已知两点O（0，0），B（2，）（1）求以OB为直径的圆C的极坐标方程，然后化成直角方程；（2）以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）若直线l与圆C相交于M，N两点，圆C
6、的圆心为C，求MNC的面积23. 已知函数f（x）=|x+1|-m|x-2|（mR）（1）当m=3时，求不等式f（x）1的解集；（2）当x-1，2时，不等式f（x）2x+1恒成立，求m的取值范围答案和解析1.【答案】A【解析】解：A=-3，1，B=-3，-1，1，3，AB=-3，1故选：A可以求出集合A，然后进行交集的运算即可本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算，属于基础题2.【答案】C【解析】解：=i，故选：C将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用复数的乘法法则进行化简本题考查两个复数相除的方法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数3.【答案】A【解析】解：由log2（
7、x+1）1得0x+12，解得-1x1，则“0x1”是“log2（x+1）1”的充分不必要条件，故选：A根据不等式之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键4.【答案】A【解析】解：因为tana=，所以cosa=2sina，所以cos2a=4sin2a，因为sin2a+cos2a=1，所以sin2a=，因为（，），所以sina0sina=-故选：A利用同角三角函数关系解答本题主要考察了同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查5.【答案】C【解析】解：由|+|=|，得，由（-）=0，得，两式联立得，所以=，又0，1
8、80，所以=60，故选：C把|+|=|平方展开，又（-）=0，联立解出，再利用向量的夹角公式，求出角考查了向量数量积的运算，向量的夹角公式，联立解方程组，中档题6.【答案】D【解析】解：将函数f（x）=cos（3x+）图象上所有的点向右平移个单位长度后，得到函数g（x）=cos3（x-）+=cos（3x-）的图象，则=cos（3-）=cos=-故选：D利用y=Asin（x+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用特殊角的三角函数值求解即可本题主要考查y=Asin（x+）的图象变换规律，三角函数求值，属于基础题7.【答案】D【解析】【分析】本题考查等差数列和等比数列的中项性质和特殊角的正切函
9、数值，考查运算能力，属于基础题由等差数列和等比数列的中项性质，以及特殊角的正切函数值，可得所求值【解答】解：数列an是等比数列，数列bn是等差数列，若，b1+b6+b11=7，可得（a6)3=3，3b6=7，即有a6=，b6=，则=tan=tan=tan=，故选D8.【答案】C【解析】解：由题意可得x=log2（2+x），x0，2x=x+2，解得x=2故选：C通过类比推理的方法，得到求值的方法：列方程，求解即可类比推理方法的前提是两种对象部分有共同属性，由特殊点向特殊点推理通过类比推理考核研究问题的深度、思维发散情况和观察的仔细程度属于中档题9.【答案】C【解析】解：依题意，设A表示“从中任选
10、2名学生去参加活动，恰好选中2名女生”，则事件A包含的基本事件个数为=3种，而基本事件的总数为=10，所以P（A）=，故选：C根据计数原理以及排列组合求出“恰好选中2名女生”包含的基本事件个数和基本事件的总数，即可得到所求本题考查了古典概型的概率，考查了计数原理和排列组合考查分析解决问题的能力，属于基础题10.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断【解答】解：由于f(x)=x+cosx，f(-x)=-x+c
11、osx，f(-x)f(x)，且f(-x)-f(x)，故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；又当x=时，x+cosx=x，即f(x)的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D故选：B11.【答案】D【解析】解：ABC中，A（-5，0），B（5，0），点C在双曲线上，A与B为双曲线的两焦点，根据双曲线的定义得：|AC-BC|=2a=8，|AB|=2c=10，则=故选：D根据题意，求出ABC的三边关系，再利用正弦定理化简，求出它的值即可本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零
12、点问题，利用导数研究函数的单调性，是难题利用函数的导数，判断函数的单调性，对四个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于，f（x）=ex-ax，f（x）=ex-a，令f（x）=ex-a0，当a0时，f（x）=ex-a0在xR上恒成立，f（x）在R上单调递增当a0时，f（x）=ex-a0，ex-a0，解得xlna，f（x）在（-，lna）单调递减，在（lna，+）单调递增函数f（x）=ex-ax有两个零点x1、x2，a0，f（lna）0，elna-alna0，ae，所以正确；对于，x1+x2=ln（a2x1x2）=2lna+ln（x1x2）2+ln（x1x2），取a=，f（2）=e2-2a
13、=0，x2=2，f（0）=10，0x11，x1+x22，所以正确；对于，f（0）=10，0x11，x1x21不一定，所以不正确；对于，f（x）在（-，lna）单调递减，在（lna，+）单调递增，有极小值点x0=lna，且x1+x22x0=2lna，所以正确综上，正确的命题序号是故选B13.【答案】10【解析】解：，4x-3（x-2）=0，解得x=-6，=（-6，-8），|=10故答案为：10根据向量平行的坐标表示得到x=-6，然后根据向量模的定义求出向量的模，本题考查了向量的概念与向量的模，属基础题14.【答案】【解析】解：tan=7，tan（+）=-1又0，0，0+，则+=故答案为：由已知结
14、合两角和的正切求得tan（+），再由角的范围求解+的值本题考查两角和的正切，考查由已知三角函数值求角，是基础题15.【答案】-3【解析】解：D为ABC所在平面内一点，=-+，则：，整理得：，则：，解得：，若=，则：=-3；故答案为：-3直接利用向量的线性运算求出结果本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题16.【答案】-，3e【解析】解：g（x）=mx+1关于直线y=1对称的直线为y=h（x）=1-mx，直线y=1-mx与y=2lnx在，e2上有交点作出y=1-mx与y=2lnx的函数图象，如图所示：若直线y=1-mx经过点（，-2），则m=3e，若直线y=1-mx与y=2lnx
15、相切，设切点为（x，y）则，解得-m3e故答案为：-，3e求出g（x）关于直线y=1的对称函数h（x），令f（x）与h（x）的图象有交点得出m的范围本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题17.【答案】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，若S2=4，S5=25则：，解得，所以an=1+2（n-1）=2n-1（2）由于an=2n-1，所以bn=则=【解析】（1）直接利用等差数列的定义求出数列的通项公式（2）利用数列的通项公式的求法及应用，进一步利用裂项相消法求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法
16、及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型18.【答案】解：（1）法一：由正弦定理得，sinBcosC+cosBsinC-sinC=sinBcosC，；sinC0，B（0，），.（1）法二：由余弦定理得化简得，.B（0，），.（2）由，得sinC=,在ABC中，由正弦定理，得，.【解析】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键考查学生的计算能力（1）结合正弦定理或余弦定理进行化简，进行求解即可（2）求出sinC的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算即可19.【答案】（本小题满分12分）证明：
17、（1）连接AC交BD于O，连接SO（1分）在菱形ABCD中，BDAC，O是BD的中点，又因为SB=SD，所以BDSO，又ACSO=O，所以BD面SAC（4分）又SA面SAC，所以BDSA（5分）解：（2）因为面SBD面ABCD，面SBD面ABCD=BD，SOBD，SO面SBD，所以SO面ABCD，即SO是三棱锥S-ABD的高（7分）依题意可得，ABD是等边三角形，所以BD=AD=1，在等腰RtSBD，（9分）经计算得，SA=1，等腰三角形ASD的面积为（10分）设B到平面SAD的距离为h，则由VB-SAD=VS-ABD，得，解得，所以B到平面SAD的距离为（12分）【解析】（1）连接AC交BD
18、于O，连接SO，推导出BDSO，BD面SAC，由此能证明BDSA（2）推导出SO是三棱锥S-ABD的高，设B到平面SAD的距离为h，由VB-SAD=VS-ABD，由此能求出B到平面SAD的距离本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20.【答案】（1）解：当时，由f（x）=0，得，时，f（x）0；时，f（x）0，因此f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为，f（x）的最大值为=；（2）证明：先证，令，则=，由，x0，与的图象易知，存在x00，使得g（x0）=0，故x（0，x0）时，g（x）0
19、；x（x0，）时，g（x）0，g（x）的单调递减区间为（0，x0），单调递增区间为（x0，），g（x）的最大值为maxg（0），g（），而g（0）=0，g（）=0又由，x0，当且仅当，取“=”成立，即f（x）+cosx0【解析】本题考查利用导数求函数的最值，考查函数恒等式的证明，考查数学转化思想方法，属难题（1）当时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在不同区间段内的符号确定函数单调性，求得函数极值点，进一步求得函数最值；（2）利用导数证明，再由且x0时，可得当时，f（x）+cosx021.【答案】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为，所以设AB的方程为，
20、代入抛物线方程得x2-2kx-1=0，所以x1，x2为方程的解，从而x1+x2=2k，x1x2=-1，又因为，因此kPAkPB=x1x2=-1，即PAPB，所以（2）由（1）知x1x2=-1，联立C1在点A，B处的切线方程分别为，得到交点由点P在圆x2+y2=8内得，又因为，其中d为O到直线AB的距离所以又AB的方程为，所以d=，令，由得m33又由，所以m2，33），从而所以，当m=2时，【解析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的方程为，代入抛物线方程得x2-2kx-1=0，所以x1，x2为方程的解，从而x1x2=-1，利用函数的导数求解切线的斜率，然后求解（2）由（1）知x
21、1x2=-1，联立C1在点A，B处的切线方程分别为，得到交点判断点P在圆内，求出弦长AB，求出O到直线AB的距离的表达式d=，利用构造法结合基本不等式求解最小值即可本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题22.【答案】解：（1）设P（，）为圆上任意一点，则|OP|=，POB=-，在RtPOB中，cos（-）=，即，2=2cos+2sin，化为x2+y2=2x+2y，圆C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=2（2）由直线l的参数方程消去参数t化为普通方程y=2x+1，圆心C（1，1）到直线l的距离为d=，弦长|MN|=2=，S=
22、【解析】（1）设出点P的坐标，利用RtOPB中的边角关系即可求出；（2）求出圆心到直线的距离和弦长即可得出面积熟练掌握求圆的极坐标方程及与直角坐标方程的互化、直线与圆的相交弦长问题及点到直线的距离是解题的关键23.【答案】解：（1）当m=3时，f（x）=|x+1|-3|x-2|，由f（x）1，得或或，解得：x2或2x3，故不等式的解集是（，3）；（2）当x-1，2时，f（x）=x+1-m（2-x），f（x）2x+1恒成立，即x+1-m（2-x）2x+1恒成立，整理得：（2-x）m-x，当x=2时，0-2成立，当x-1，2时，m=1-，令g（x）=1-，-1x2，02-x3，1-，故g（x）max=，故m【解析】（1）代入m的值，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为x+1-m（2-x）2x+1恒成立，当x-1，2时，m=1-，令g（x）=1-，求出g（x）的最大值，求出m的范围即可本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题
