1、高中数学数列题目精选精解【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质1. 研究通项的性质例题1. 已知数列满足. （1）求；（2）证明：.解：（1）. （2）证明：由已知，故， 所以证得. 例题2. 数列的前项和记为（）求的通项公式；（）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求. 解：（）由可得，两式相减得：，又 故是首项为1，公比为3的等比数列 （）设的公比为，由得，可得，可得故可设，又，由题意可得，解得等差数列的各项为正， 例题3. 已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且对任意的都成立，数列是等差数列. 求数列与的通项公式；是否存在，使得，请说明理由. 点拨：（1）左边相当
2、于是数列前n项和的形式，可以联想到已知求的方法，当时，. （2）把看作一个函数，利用函数的思想方法来研究的取值情况. 解：（1）已知）时，）得，求得，在中令，可得得，所以N*）. 由题意，所以，数列的公差为，）. （2），当时，单调递增，且，所以时， 又，所以，不存在，使得. 例题4. 设各项均为正数的数列an和bn满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项an，bn 解： 依题意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 a2n+1 = bnbn+1 an、bn为正数， 由得， 代入并同除以得： ，
3、为等差数列 b1 = 2 ， a2 = 3 ， ， ，当n2时，又a1 = 1，当n = 1时成立， 2. 研究前n项和的性质例题5. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求、的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）时，.而为等比数列，得，又，得，从而.又.（2）， ） ，得，.例题6. 数列是首项为1000，公比为的等比数列，数列满足 ，（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和. 解：（1）由题意：，数列是首项为3，公差为的等差数列，由，得，数列的前项和的最大值为. （2）由（1）当时，当时，当时，当时，. 例题7. 已知递增的等比数列满足，且是，的等差中项. （
4、1）求的通项公式；（2）若，求使成立的的最小值. 解：（1）设等比数列的公比为q（q1），由 a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=（舍）an=22（n1）=2n（2） ，Sn=（12+222+323+n2n）2Sn=（122+223+n2n+1），Sn=2+22+23+2nn2n+1=（n1）2n+12，若Sn+n 2n+130成立，则2n+132，故n4，n的最小值为5. 例题8. 已知数列的前n项和为Sn，且成等差数列，. 函数. （I）求数列的通项公式；（II）设数列满足，记数列的前n项和为Tn，试比较的大小. 解
5、：（I）成等差数列， 当时，. 得：，当n=1时，由得， 又是以1为首项3为公比的等比数列，（II）， ，比较的大小，只需比较与312的大小即可. 当时，当时，当时，. 3. 研究生成数列的性质例题9. （I） 已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；（II） 设、是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列. 解：（）因为cn+1pcn是等比数列，故有（cn+1pcn）2=（ cn+2pcn+1）（cnpcn1），将cn=2n3n代入上式，得2n1+3n1p（2n3n）2=2n2+3n2p（2n+13n+1）2n+3np（2n13n1）， 即（2p）2n+（3p）3n2=（2p）2n+
6、1+（3p）3n+1 （2p）2n1+（3p）3n1，整理得（2p）（3p）2n3n=0，解得p=2或p=3. （）设an、bn的公比分别为p、q，pq，cn=an+bn. 为证cn不是等比数列只需证c1c3. 事实上，=（a1pb1q）2=p2q22a1b1pq，c1c3=（a1b1）（a1 p2b1q2）= p2q2a1b1（p2q2）. 由于pq，p2q22pq，又a1、b1不为零，因此c1c3，故cn不是等比数列. 例题10. n2（ n4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a24=1，求S=a11 + a22 + a33 + +
7、ann 解： 设数列的公差为d， 数列（i=1，2，3，n）的公比为q则= a11 + （k1）d ， akk = a11 + （k1）dqk1依题意得：，解得：a11 = d = q = 又n2个数都是正数， a11 = d = q = ， akk = ，两式相减得：例题11. 已知函数的图象经过点和，记（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求的最小值；（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.解：（1）由题意得，解得， （2）由（1）得， 得. ，设，则由得随的增大而减小时，又恒成立， （3）由题意得恒成立 记，则是随的增大而增大 的最小值为，即.（二）证明等差与等比数列1. 转化为等差等比
8、数列.例题12. 数列中，且满足，.求数列的通项公式；设，求；设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题意，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若，时，故 （3），若对任意成立，即对任意成立，的最小值是，的最大整数值是7. 即存在最大整数使对任意，均有例题13. 已知等比数列与数列满足N*. （1）判断是何种数列，并给出证明；（2）若. 解：（1）设的公比为q，。所以是以为公差的等差数列. （2）所以由等差数列性质可得2. 由简单递推关系证明等差等比数列例题14. 已知数列和满足：，（），且是以为公比的等比数列. （I）证明：；
9、（II）若，证明：数列是等比数列；（III）求和：. 解法1：（I）证：由，有，. （II）证：，. 是首项为5，公比为的等比数列. （III）解：由（II）得，于是. 当时，. 当时，. 故解法2：（I）同解法1（I）. （II）证： ，又，是首项为5，公比为的等比数列. （III）由解法1中（II）的类似方法得，. . 例题15. 设数列（1）证明：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列满足，bn=f （bn1）（nN*，n2），求数列的通项公式；（3）设，求数列的前n项和n. （1）证明：由相减得：数列是等比数列（2）解：是首项为，公差为1的等差数列，. . （3）解：时 得：所以：.
10、 例题16. 的各个顶点分别为，设为线段的中点，为线段OC的中点，为线段的中点. 对每一个正整数为线段的中点. 令的坐标为，. （1）求及；（2）证明：（3）记，证明：是等比数列. （1）解：因为y1=y2=y4=1， y3=，y5=，所以 得a1=a2=a3=2. 又由，对任意的正整数n有an+1=an 恒成立，且a1=2， 所以an为常数数列， an=2，（n为正整数）（2）证明：根据， 及=an=2， 易证得yn+4=1（3）证明：因为bn+1=（1）（1）=，又由b1=1y4=， 所以bn是首项为，公比为的等比数列. 【模拟试题】一、填空题1. 在等差数列a中，已知a=2，a+a=13
11、，则a+a+a等于= . 2. 已知数列的通项，则其前项和 . 3. 首项为24的等差数列，从第10项开始为正，则公差的取值范围是 . 4. 在等比数列中，和 是二次方程 的两个根，则的值为 . 5. 等差数列an中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n= . 6. 等差数列an的前m项和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_ 7. 已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，= ，若为正整数，n的取值个数为_。8. 已知数列对于任意，有，若，则. 9. 记数列所有项的和为，第二项及以后各项的和为，第三项及以后各项的和为 ，第项及以后各项的和为，若，则等于 . 10. 等差数列共有项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_.11. 等差数列中，若且，则的值为 .12. 设为等差数列的前项和. 已知，则等于 . 13. 已知函数定义在正整数集上，且对于任意的正整数，都有，且，则_ _. 14. 三个数成等比数列，且，则b的取值范围是 . 15. 等差数列的前项和为，. （I）求数列的通项与前项和为；（II）设（），求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 16. 已知数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足（nN*），证明：是等差数列.
