1、第2课时分析法及其应用教学教法分析(教师用书独具)三维目标1知识与技能结合学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：分析法了解分析法的思维过程、特点2过程与方法会用分析法证明数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，提高学生思维能力3情感、态度与价值观通过学生参与，激发其学习数学的兴趣，端正严谨治学的态度，提高逆向思维的论证能力重点难点重点：掌握分析法的思维过程、特点及其解题步骤，会用分析法证明数学问题难点：根据问题的特点，结合分析法的思考过程、 特点，应用分析法证明较复杂的数学问题分析法是从结论到条件的逻辑推理方法，即从题目结论入手索证结论成立的充分条件，经过一系列的中间推理索证，最后要把
2、证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，所以对结论变形、转化是问题解决的关键，也是问题的突破点，应该重点讲解教学方案设计(教师用书独具)教学建议 建议本节课采取探究式教学方法，教师主要作用在“引导”“点拨”，让学生自主思考分析法的证明特点，掌握分析法的证明格式与解题步骤，对于不同类型的问题如何思考、如何进行逆向推理，教师应给出必要的指导另外应注意引导学生学会由结论去索证问题成立的充分条件，从结论入手并不是说证明就不需要已知条件，而是证明过程要时时处处关注已知，将证明引向已知或明显成立的式子是证明的关键证明过程每一步都需可逆在解答每一个例证前，最好先引导学生分析出
3、思维路线图，然后再由学生给出证明教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识直接证明的方法之一分析法让学生自主完成填一填，使学生进一步了解分析法的证明格式、步骤等引导学生分析例题1中所证结论的转化条件及转化方向，师生共同探究逆向推理思路，学生自主完成证明过程，教师指导完善，并完成互动探究学生分组探究例题2的证明思路，总结分析法证明数列问题的规律方法完成变式训练中三角恒等问题的证明完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法并进行反馈矫正归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法学生自主完成例题3，总结分析法综合法相结合综合应用的特点并仿照例题3完成变式训练让学生自主分析例
4、题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法老师组织解法展示，引导学生总结解题规律课前自主导学课标解读1.了解分析法证明数学问题的格式、步骤(重点)2.理解分析法的思考过程、特点，会用分析法证明较复杂的数学问题(难点)知识分析法【问题导思】证明不等式：22成立，可用下面的方法进行证明：要证明20,20，只需证明(2)2(2)2.展开得114114，只需证明67，显然67成立22成立1本题证明从哪里开始？【提示】从结论开始2证题思路是什么？【提示】寻求每一步成立的充分条件1分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条
5、件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法2分析法的框图表示QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件课前互动探究类型1应用分析法证明不等式例题1 设a，b为实数，求证：(ab)【思路探究】分析：讨论(ab)成立的条件，分ab0和ab0两种情况【自主解答】若ab0，b0，证明不等式ab.【证明】要证ab，只需证a3b3a2bb2a，只需证a3b3a2bb2a0，即证(ab)2(ab)0.又a0，b0，(ab)2(ab)0显然成立因此，原不等式成立.类型2用分析法证明其他问题例题2 在数列an中，a1，an1an，设bn2nan，证明：数列bn是等差数列【思路探究】分析bn成为等差数列的
6、条件是否成立【自主解答】要证bn为等差数列，只要证bn1bnd(常数)(n1)，即证2n1an12nan为常数即证2n1(an)2nan为常数，而2nan12nan1为常数成立bn是等差数列规律方法1利用分析法证明时，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误2逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解变式训练已知，k(kZ)，且sin cos 2sin ，sin cos sin2，求证：.【证明】cos2sin22(12sin2)12sin24sin22sin21，由已知得：4sin2sin2cos
7、22sin cos ，12sin cos ，2sin22sin cos ，4sin22sin21成立，成立.类型3综合法和分析法的综合应用例题3已知ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边求证：(ab)1(bc)13(abc)1.【思路探究】利用分析法得出c2a2b2ac，再利用综合法证明其成立【自主解答】要证(ab)1(bc)13(abc)1，即证，只需证3.化简，得1，即c(bc)(ab)a(ab)(bc)，所以只需证c2a2b2ac.因为ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B60，所以cos B，即a2c2b2ac成立(ab)1(bc)13(abc
8、)1成立规律方法1综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路2在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用变式训练已知a、b、c是不全相等的正数，且0x1.求证：logxlogxlogxlogx alogx blogx c.【证明】要证明logxlogxlogxlogx alogx blogx c，只需要证明logx()logx(abc)由已知0x1，只需证明abc.由公式0，0，0.又a，b，c是不全相等的正数，abc.即abc成立logxlogxlogxlogx alogx blogx c成立.易错易误辨析因逻辑混乱而出错典例设向量a(4cos ，sin )，b(si
9、n ，4cos )，若tan tan 16，求证：ab.【错解】ab，且a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，(4cos )(4cos )sin sin ，即sin sin 16cos cos ，16，tan tan 16，即结论正确【错因分析】以上证明混淆了已知和结论，把头脑中的分析过程当成了证明过程，如果按分析法书写就正确了；当然，本题用综合法书写证明过程更简洁【防范措施】分析法的优点是方向明确，思路自然，故利于思考，但表述易错；综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思路，用综合法书写解题过程【正解】分析法：要证明ab，而a(4cos ，s
10、in )，b(sin ，4cos )，即要证明(4cos )(4cos )sin sin ，即要证sin sin 16cos cos ，即要证16，即要证tan tan 16，而tan tan 16已知，所以结论正确综合法：tan tan 16，16，即sin sin 16cos cos ，(4cos )(4cos )sin sin ，即a(4cos ，sin )与b(sin ，4cos )共线，ab.课堂小结1综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知2分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述
11、较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来当堂双基达标1直接证明中最基本的两种证明方法是()A类比法和归纳法B综合法和分析法C比较法和二分法 D换元法和配方法【解析】根据综合法和分析法的定义可知，二者均为直接证明方法【答案】B2欲证，只需要证()A()2()2B()2()2C()2()2D()2()2【解析】0，0，要证，只需证，即证()2()2.【答案】C3在证明命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的过程“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”中应用了
12、()A分析法B综合法C分析法和综合法综合使用D间接证法【解析】符合综合法的证明思路【答案】B4已知ab0，试用分析证明.【证明】要证明(由ab0，得ab0)只需证(a2b2)(ab)(a2b2)(ab)，只需证(ab)2a2b2，即2ab0，因为ab0，所以2ab0显然成立因此当ab0时，成立.课后知能检测一、选择题1下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是间接证明法；分析法是逆推法其中正确的语句有()A2个B3个C4个D5个【解析】结合综合法和分析法的定义可知均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故不正确【答案】C2要证明(a0)可选择的方法有多种，其中最合
13、理的是()A综合法 B类比法C分析法 D归纳法【解析】要证，只需证2a722a72，只需证，只需证a(a7)(a3)(a4)，只需证012，故选用分析法最合理【答案】C3已知f(x)是奇函数，那么实数a的值等于()A1 B1 C0 D1【解析】当a1时，f(x)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数a1,0时得不出f(x)为奇函数，故A正确【答案】A4下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)”的是()Af(x) Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)【解析】若满足题目中的条件，则f(x)在(0，)上为减函数，在A、B、C、D四选项中，由基本函数性质
14、知，A是减函数，故选A.【答案】A5对一切实数x，不等式x2a|x|10恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2 B2,2C2，) D0，)【解析】用分离参数法可得a(|x|)(x0)，而|x|2，a2，当x0时原不等式显然成立【答案】C二、填空题6设A，B(a0，b0)，则A、B的大小关系为_【解析】AB0.【答案】AB7若抛物线y4x2上的点P到直线y4x5的距离最短，则点P的坐标为_【解析】数形结合知，曲线y4x2在点P处的切线l与直线y4x5平行设l：y4xb.将y4xb代入y4x2，得4x24xb0，令0，得b1.4x24x10，x，y1.【答案】(，1)8补足下面用分析法证明基本不
15、等式ab的步骤：要证明ab，只需证明a2b22ab，只需证_，只需证_由于_显然成立，因此原不等式成立【解析】要证明ab，只需证明a2b22ab，只需证a2b22ab0，只需证(ab)20，由于(ab)20显然成立，因此原不等式成立【答案】a2b22ab0(ab)20(ab)20三、解答题9如图223所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，EFBDG.图223求证：平面B1EF平面BDD1B1.【证明】要证明平面B1EF面BDD1B1，只需证面B1EF内有一线垂直于面BDD1B1，即EF面BDD1B1.要证EF面BDD1B1，只需证EF垂直平面BDD1B1内两
16、条相交直线即可，即证EFBD，EFB1G.而EFAC，ACBD，故EFBD成立故只需证EFB1G即可又B1EF为等腰三角形，EF的中点为G，B1GEF成立EF面BDD1B1成立，从而问题得证10设a，b0，且ab，用分析法证明：a3b3a2bab2.【证明】要证a3b3a2bab2成立只需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立，又因ab0，只需证a2abb2ab成立，只需证a22abb20成立，即证(ab)20成立而依题设ab，则(ab)20显然成立由此命题得证11已知a0，b0，用两种方法证明：.【证明】法一(综合法)：因为a0，b0，所以()()(ab)()所以.法二(分析法)：要证，
17、只需证abab，即证(ab)()0，因为a0，b0，ab与同号，所以(ab)()0成立，所以成立.教师备课资源(教师用书独具)备选例题已知函数f(x)lg(1)，x(0，)，若x1，x2(0，)，且x1x2.求证：f(x1)f(x2)f()【思路探究】用分析法，逆推所证不等式成立的充分条件【自主解答】要证f(x1)f(x2)f()，只需证lg(1)lg(1)2lg(1)，只需证(1)(1)(1)2.(1)(1)(1)2.由于x1，x2(0，)，且x1x2，0，即(1)(1)(1)2，f(x1)f(x2)f()规律方法本题依托对数函数，考查分析法的应用，对对数函数的性质要会灵活运用备选变式已知非零向量a，b且ab，求证：.【证明】要证，只要证|a|b|ab|，即证|a|2|b|22|a|b|2|a22abb2|.ab，ab0，|a|2|b|22|a|b|2|a|22|b|2(|a|b|)20成立，原不等式成立
