1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义内容标准学科素养1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量的问题.应用直观想象提升数学运算学会逻辑推理授课提示：对应学生用书第52页基础认识知识点一向量数乘的定义阅读教材P8788，思考并完成以下问题aaa其结果能否写成3a?(1)若a，延长到B，使|OA|AB|，再延长AB到C，使|AB|BC|，则_其方向如何？长度如何？提示：3a，方向与a同向，长度是a的3倍(2)作a，延长PQ到M，使|PQ|QM|，
2、再延长QM到N，使|MQ|MN|，则_其方向如何？长度如何？提示：3a，方向与a反向，长度是a的3倍知识梳理向量数乘运算实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下：(1)|a|a|(2)a(a0)的方向特别地，当0或a0时，0a0或00知识点二向量数乘的运算律思考并完成以下问题类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？(1)23a与32a相等吗？提示：23a3a3a6a，32a2a2a2a6a，23a32a.(2)3a2a与(32)a相等吗？提示：相等，都等于5a.(3)3(ab)与3a3b相等吗？如何用几何图形表示提示：相等，如图a，b，3a，3b，则a
3、b，延长EA到M，使AM2，则3(ab)由于3a3b，由图可知DC綊EM，即3(ab)3a3b.知识梳理运算律：设，为任意实数，则有：(1)(a)a；(2)()aaa；(3)(ab)ab；特别地，有()a(a)(a)；(ab)ab知识点三向量共线定理思考并完成以下问题引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？(1)若b2a，b与a共线吗？提示：共线(2)如果a0，b0，若b与a共线，一定有b2a吗？提示：不一定，还可以为任意实数知识梳理(1)向量共线定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba(2)向量的线性运算向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算，
4、对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)1a2b思考(1)如果a0，那么b与a共线吗？存在吗？提示：b与a共线，存在无数个值(2)如果a与b不共线，ab，存在吗？提示：存在，0.自我检测1下列各式计算正确的有()(7)6a42a；7(ab)8b7a15b；a2ba2b2a；4(2ab)8a4b.A1个B2个C3个 D4个答案：C2设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2(kR)与向量ne22e1共线，则()Ak0 Bk1Ck2 Dk答案：D授课提示：对应学生用书第53页探究一向量的线性运算教材P88例5方法步骤：按数乘运算律进行角度1向量式的化简与运算例1化简：(1
5、)2；(2).解析(1)原式ababab0.(2)原式ab.角度2解含向量的方程(组)例2已知其中a，b为已知向量，求x，y.解析由得yxb，代入，得3x4a，3xxba，即17x4b3a，xba，ybbabab.方法技巧向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算跟踪探究1.
6、(1)3(6ab)9_(2)若3(xa)2(x2a)4(xab)0，则x_答案：(1)9a(2)4b3a探究二向量共线的判定及应用教材P89例6方法步骤：(1)作图；(2)运算；(3)判定角度1判定向量共线或三点共线例3已知非零向量e1，e2不共线(1)若ae1e2，b3e12e2，判断向量a，b是否共线；(2)若e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线解析(1)b6a，a与b共线(2)证明：e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线方法技巧(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判
7、断共线(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用ba(a0)，还要说明向量a，b有公共点延伸探究1.将本例(2)改为：已知非零向量e1，e2不共线，如果e12e2，5e16e2，7e12e2，则共线的三个点是_解析：2e14e22，与共线，又有共同点，故A，B，D共线答案：A、B、D角度2利用向量共线求参数值例4已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定k的值解析ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能
8、有k1.方法技巧由向量相等或零向量，构造其系数的实数方程，对于非零向量e1和e2，且不共线，当e1e2时，则0.跟踪探究2.设e1，e2是两个不共线向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，若有A，B，D三点共线，求k值解析：(2e1e2)(e13e2)e14e2，因为A，B，D三点共线，所以，共线，所以存在实数使，所以2e1ke2(e14e2)，所以所以k8.探究三用已知向量表示其他向量教材P89例7方法步骤：用含有，的三角形或平行四边形，求所要表示的向量例5如图，OADB是以向量a，b为邻边的平行四边形，又，试用a，b表示，.解析ab，(ab)，b(ab)babab.又由ab，得ab
9、.ab.方法技巧用已知向量表示未知向量是用向量解题的基本功解题时，应注意解题的方向，尽量把未知向量往已知向量的方向进行转化要善于利用三角形法则和平行四边形法则以及向量线性运算的运算律当题目中含有平面几何的相关问题时，我们可以利用平面几何的性质进行化简另外，直接表示较困难时，应考虑方程思想的应用延伸探究2.在例5中，试用a，b表示.解析：22(ab)ab.授课提示：对应学生用书第54页课后小结1共线向量定理的“双向”应用证明向量共线：a是一个非零向量，若存在一个实数，使ba，则b与非零向量a共线用一个向量表示另外一个向量：若b与非零向量共线，则存在一个实数，使ba.2证明或判断三点共线的方法(1
10、)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得(或等)即可(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x，y，使xy，且xy1.3数乘向量的结果是一个向量，特别地，a00或a0.不能把实数与实数的乘积的有关规律随意地拓展到数乘向量中来4在共线向量定理ba中，要求a0.素养培优1忽视向量共线的方向典例设两向量e1，e2不共线，若向量2te17e2与向量e1te2共线，求实数t的值易错分析忽视两非零向量反向共线的情况而漏掉一解自我纠正解析向量2te17e2与向量e1te2共线，存在实数，使得2te17e2(e1te2)，即2t，且7t，解得t.故所求实数t的值为.2忽视共线向量定理中a0典例已知实数m，n和向量a，b，有下列说法：m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，则ab；若mana，则mn.其中正确的说法有_自我纠正 解析符合向量运算的分配律，正确；中，当m0时，mamb0，但a与b不一定相等，不正确；中，如果a0，则m，n为任意实数，不正确答案
