1、高考仿真测试(五)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(2014辽宁大连双基测试,2)i是虚数单位,化简复数-1+i1+i的结果为()A.iB.-1C.-iD.1解析:依题意得,-1+i1+i=i2+i1+i=i(1+i)1+i=i,故选A.答案:A2.(2014山东高考,文4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
2、解析:“至少有一个”的否定为“没有”.答案:A3.(2014河北衡水中学第二次调研,3)给定命题p:函数y=ln(1-x)(1+x)为偶函数;命题q:函数y=ex-1ex+1为偶函数,下列说法正确的是()A.pq是假命题B.(p)q是假命题C.pq是真命题D.(p)q是真命题解析:对于命题p:y=f(x)=ln(1-x)(1+x),令(1-x)(1+x)0,得-1x0,|2的部分图象如图所示,则y=fx+6取得最小值时x的集合为()A.xx=k-6,kZB.xx=k-3,kZC.xx=2k-6,kZD.xx=2k-3,kZ解析:根据所给图象,周期T=47
3、12-3=,故=2,=2.因此f(x)=sin(2x+),另外图象经过点712,0,代入,有2712+=k(kZ),再由|2,得=-6,fx+6=sin2x+6,当2x+6=-2+2k(kZ),即x=-3+k(kZ)时,y=fx+6取得最小值.答案:B6.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0f(-1)=f(-2)=f(-3)3,则()A.c3B.3c6C.69解析:由f(-1)=f(-2)=f(-3),得-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,解得a=6,b=11.从而可得f(x)=x3+6x2+11x+c.又由0f(-1)3,得0-1+6-
4、11+c3,即60)焦点F的直线l与抛物线交于B,C两点,l与抛物线的准线交于点A,且|AF|=6,AF=2FB,则|BC|=()A.92B.6C.132D.8解析:不妨设直线l的倾斜角为,其中00时,g(x)=log2x,则函数f(x)g(x)的大致图象为()解析:因为函数f(x)=4-x2为偶函数,g(x)是奇函数,所以函数f(x)g(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除A,B.又当x0时,g(x)=log2x,当x1时,g(x)0,当0x1时,g(x)2时,f(x)0,当0x0,所以C错误,故选D.答案:D9.(2014河南新乡许昌平顶山第二次调研,10)在三棱锥P-ABC中,PA平面
5、ABC,ACBC,D为侧棱PC上的一点,它的正视图和侧视图如图所示,则下列命题正确的是()A.AD平面PBC,且三棱锥D-ABC的体积为83B.BD平面PAC,且三棱锥D-ABC的体积为83C.AD平面PBC,且三棱锥D-ABC的体积为163D.AD平面PAC,且三棱锥D-ABC的体积为163解析:由正视图可知,PA=AC,且点D为线段PC的中点,所以ADPC.由侧视图可知,BC=4.因为PA平面ABC,所以PABC.又因为BCAC,且ACPA=A,所以BC平面PAC,所以BCAD.又因为ADPC,且PCBC=C,所以可得AD平面PBC,VD-ABC=1312PASABC=163.答案:C10
6、.(2014河北衡水中学第二次调研,12)已知函数f(x)满足f(x)=2f1x,当x1,3时,f(x)=ln x,若在区间13,3内,函数g(x)=f(x)-ax的图象与x轴有3个不同的交点,则实数a的取值范围是()A.0,1eB.0,12eC.ln33,1eD.ln33,12e解析:当x13,1时,1x1,3,f1x=ln1x=-ln x,12f(x)=-ln x,f(x)=-2ln x,当x13,1时,f(x)=-2ln x.函数g(x)的图象与x轴有3个不同的交点,函数f(x)的图象与y=ax有3个不同的交点,函数f(x)的图象如图所示,直线y=ax与y=ln x相切是一个边界情况,直
7、线y=ax过(3,ln 3)时是一个边界情况,符合题意的直线需要在这2条直线之间,y=ln x,y=1x,k=1x0,切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0),与y=ax相同,即a=1e,当y=ax过点(3,ln 3)时,a=ln33.综上可得,ln33a1e,故选C.答案:C二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2014云南昆明第一次调研,2)已知集合A=x|x|3,B=x|x-20,则AB=.解析:由已知得,A=x|-3x3,B=x|x2,利用数轴可知AB=x|x3.答案:x|x312.(2014东北三校一模,5)直线m,n均不在平面,内,给出下列命题:若mn,n,
8、则m;若m,则m;若mn,n,则m;若m,则m.其中正确的命题是.解析:由空间直线与平面平行关系可知正确;由空间直线与平面平行关系可知正确;由线面垂直,线面平行的判定和性质可知正确;由线面垂直,面面垂直的判定和性质可知正确.答案:13.(2014东北三校一模,14)正方形ABCD的边长为2,DE=2EC,DF=12(DC+DB),则BEDF=.解析:如图,以B为原点,BC所在直线为x轴,AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.则B(0,0),E2,23,D(2,2).由DF=12(DC+DB),知F为BC的中点,故BE=2,23,DF=(-1,-2),BEDF=-2-43=-103.答案:-10
9、314.(2014云南第一次统测,14)已知f(x)=ax-cos2x,x8,6.若x18,6,x28,6,x1x2,f(x2)-f(x1)x2-x10),g(x)=f(x)-12x-b有且仅有一个零点时,b的取值范围是.解析:要使函数g(x)=f(x)-x2-b有且仅有一个零点,只需要函数f(x)的图象与函数y=x2+b的图象有且仅有一个交点,通过在同一直角坐标系中画出两个函数的图象并观察得,要符合题意,须满足b1或b=12或b0.答案:b1或b=12或b0三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014辽宁高考,文17)在A
10、BC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac.已知BABC=2,cos B=13,b=3,求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解:(1)由BABC=2得cacos B=2.又cos B=13,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+22=13.解ac=6,a2+c2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2.因为ac,所以a=3,c=2.(2)在ABC中,sin B=1-cos2B=1-132=223,由正弦定理,得sin C=cbsin B=23223=429.因为a=bc,所以C为锐角,因此cos C=1-sin2C
11、=1-4292=79.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=1379+223429=2327.17.(本小题满分12分)(2014课标全国高考,文18)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:质量指标值分组75,85)85,95)95,105)105,115)115,125)频数62638228(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图;(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品
12、至少要占全部产品80%”的规定?解:(1)2分(2)质量指标值的样本平均数为x=800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08=100.质量指标值的样本方差为s2=(-20)20.06+(-10)20.26+00.38+1020.22+2020.08=104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.10分(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.12分18.(本小题满分12
13、分)(2014东北三校一模,19)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD垂直于AB和DC,侧棱SA底面ABCD,且SA=2,AD=DC=1,点E在SD上,且AESD.(1)证明:AE平面SDC;(2)求三棱锥B-ECD的体积.(1)证明:侧棱SA底面ABCD,CD底面ABCD,SACD.1分又底面ABCD是直角梯形,AD垂直于AB和DC,ADCD.又ADSA=A,CD侧面SAD.3分又AE侧面SAD,AECD.又AESD,CDSD=D,AE平面SDC.5分(2)解:由(1)知,CD平面ASD,CDSD,SEDC=12EDDC.7分在RtASD中,SA=2,AD=1,AESD
14、,ED=15,AE=25,SEDC=12151=510,9分ABCDCD平面SCDAB平面SCDAB平面SCD,故点B到平面SCD的距离等于点A到平面SCD的距离AE,11分故VB-ECD=13SECDAE=115.12分19.(本小题满分12分)已知数列an是首项为a,公差为1的等差数列,bn=1+anan,若对任意的nN*,都有bnb8成立,求实数a的取值范围.解:依题意得bn=1+1an,对任意的nN*,都有bnb8,即数列bn的最小项是第8项,于是有1an1a8.4分又数列an是公差为1的等差数列,因此有a80,即a+70,8分由此解得-8ab0)的右焦点为F(1,0),右顶点为A,且
15、|AF|=1.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P,且与直线x=4交于点Q,问:是否存在一个定点M(t,0),使得MPMQ=0?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)由c=1,a-c=1,得a=2,b=3,故椭圆C的标准方程为x24+y23=1.4分(2)由y=kx+m,3x2+4y2=12得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,6分=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,即m2=3+4k2.设P(xP,yP),则xP=-4km3+4k2=-4km,yP=kxP+m=-4k2m+m=3m,即P-4km,3m.
16、9分M(t,0),Q(4,4k+m),MP=-4km-t,3m,MQ=(4-t,4k+m),MPMQ=-4km-t(4-t)+3m(4k+m)=t2-4t+3+4km(t-1)=0恒成立,故t=1,t2-4t+3=0,即t=1.存在点M(1,0)符合题意.13分21.(本小题满分14分)(2014河北唐山一模,21)已知f(x)=(1-x)ex-1.(1)求函数f(x)的最大值;(2)设g(x)=f(x)x,x-1,且x0,证明:g(x)0,f(x)单调递增;当x(0,+)时,f(x)0时,f(x)0,g(x)01.7分当-1x0时,g(x)x.设h(x)=f(x)-x,则h(x)=-xex-1.当x(-1,0)时,0-x1,0ex1,则0-xex1.从而当x(-1,0)时,h(x)0,h(x)在(-1,0上单调递减.当-1xh(0)=0,即g(x)1.综上,总有g(x)1.14分
