1、第5讲 数形结合思想在解题中的应用一、知识整合 1数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。2实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的
2、几何意义。 3纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 4数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。二、例题分析 例1. 分析：， 例2. 解：法一、常规解法： 法二、数形结合解法： 例3. A. 1个B. 2个C. 3个D. 1个或2个或3
3、个 分析：出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。 例4. 分析： 例5. 分析：构造直线的截距的方法来求之。 截距。 例6. 分析：以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截 例7. MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（ ） 分析：设椭圆另一焦点为F2，（如图）， 又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点， ON是MF1F2的中位线， 若联想到第二定义，可以确定点M的坐标，进而求MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之显得有些复杂。例8. 分析： 例9. 解法一（代数法）：，
4、解法二（几何法）： 例10. 分析：转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。 解： 第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图） 相切于第一象限时，u取最大值 三、总结提炼数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。四、强化训练见优化设计。【模拟试题】一、选择题： 1. 方程的实根的个数为（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 2. 函数的图象恰有两个公共点，则实数a的取
5、值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 设命题甲：，命题乙：，则甲是乙成立的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 不充分也不必要条件 4. 适合且的复数z的个数为（ ） A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个 5. 若不等式的解集为则a的值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 6. 已知复数的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 若时，不等式恒成立，则a的取值范围为（ ） A. （0，1）B. （1，2）C. （1，2D. 1，2 8. 定义在R上的函数上为增函数，且函数的图象的对称轴为，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 9.
6、 若复数z满足，则的最大值为_。 10. 若对任意实数t，都有，则、由小到大依次为_。 11. 若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为_。 12. 函数的最小值为_。 13. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是_。三、解答题： 14. 若方程上有唯一解， 求m的取值范围。 15. 若不等式的解集为A，且，求a的取值范围。 16. 设，试求下述方程有解时k的取值范围。 【试题答案】一、选择题 1. C 提示：画出在同一坐标系中的图象，即可。 2. D 提示：画出的图象 情形1： 情形2： 3. A 4. C 提示：|Z1|=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆
7、，显然点Z对应的复数满足条件，另外，点O对应的复数O，因其辐角是多值，它也满足，故满足条件的z有两个。 5. B 提示：画出的图象，依题意，从而。 6. C 提示：由可知，z2对应的点在以（0，0）为圆心，以2为半径的圆上， 而 表示复数对应的点的距离， 结合图形，易知，此距离的最大值为： 7. C 提示：令， 若a1，两函数图象如下图所示，显然当时， 要使，只需使，综上可知 当时，不等式对恒成立。 若，两函数图象如下图所示，显然当时，不等式恒不成立。 可见应选C 8. A 提示：f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位而得到的，又知f(x+2)的图象关于直线x=0（即y轴）对称，
8、故可推知，f(x)的图象关于直线x=2对称，由f(x)在（）上为增函数，可知，f(x)在上为减函数，依此易比较函数值的大小。二、填空题： 9. 提示：|Z|=2表示以原点为原心，以2为半径的圆，即满足|Z|=2的复数Z对应的点在圆O上运动，（如下图），而|z+1i|=|z（1+i）|表示复数Z与1+i对应的两点的距离。 由图形，易知，该距离的最大值为。 10. 提示：由知，f(x)的图象关于直线x=2对称，又为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f(x)的图象，易知的大小。 11. 提示：设，画出两函数图象示意图，要使方程有四个不相等实根，只需使 12. 最小值为 提示：对，联想到两点的距离
9、公式，它表示点（x，1）到（1，0）的距离，表示点（x，1）到点（3，3）的距离，于是表示动点（x，1）到两个定点（1，0）、（3，3）的距离之和，结合图形，易得。 13. 提示：y=xm表示倾角为45，纵截距为m的直线方程，而则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距，即。三、解答题： 14. 解：原方程等价于 令，在同一坐标系内，画出它们的图象， 其中注意，当且仅当两函数的图象在0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m=1，或时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为3，01。 注：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。 15. 解：令表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x轴的上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，表示过原点的直线系，不等式的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x值。 由于不等式解集 因此，只需要 a的取值范围为（2，+）。 16. 解：将原方程化为：， 令，它表示倾角为45的直线系， 令，它表示焦点在x轴上，顶点为（a，0）（a，0）的等轴双曲线在x轴上方的部分， 原方程有解， 两个函数的图象有交点，由下图，知 k的取值范围为
